当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第七章 定积分 > 第五节 定积分的几何应用 > 旋转体体积与表面积
好我们现在来介绍定积分的另外一个几何应用
就是在旋转体上的应用
我们先来介绍一下旋转体
我们来看看旋转体是一个什么东西
假如说在xy坐标轴上
xy有这么一个小曲线
这条曲线的方程是y等于y（x）
介于x等于ax等于b之间
有这么一块面积
我们不妨假设y等于y（x）这个函数是大于等于0的
也就这个面积是在x轴的上半侧
那么这么一个这么一个面积
它有两个办法让它旋转
第一个办法是绕着x轴旋转
绕着x轴旋转
绕着x轴这么旋转一圈之后
变成了这么一个立体的图形
这是这个面积绕着x轴旋转一周之后
所产生的这么一个我们把它叫做旋转体
那么我们要研究的就是这个旋转体的体积和表面积
同样这个面积实际上还有另外一种旋转方法
就这个面积绕着y轴转一圈
那我们再来看另外一张图
这么一块面积绕着y轴旋转
绕着y轴旋转转出来的是这么一个东西
也就我们同样这一块面积
我绕着y轴旋转也能转出一个旋转体
那么旋转体当然也有体积也有表面积
我们要来看一下
这个旋转体的体积和旋转体的表面积怎么去研究
我们先来看看绕着x轴转
这时候我们把旋转体的体积写成Vx
下标x表示它是绕着x轴旋转的
我们在x轴上切这么一小块出来
我们把这个小段它的厚度叫做△x
我这么拿刀切两刀出来
切出来的是什么东西
实际上切出来的是这么一个条
我们把这个拿到下面来
实际上切了这么一条出来
就这么切的这么一小片
切了这么一小片之后我们来看看这一小片
这一小片的它的截面积是多少
这个截面积实际上就是等于
因为它是旋转体所以截面积就是一个圆
这个圆半径它的半径不就是这个曲线的
这就是它的半径
所以圆是等于πy平方x
半径就是y（x）
这一小片的厚度是什么
厚度这个不就是厚度
这个厚度实际上就是dx
所以乘上dx实际上就是这一小片的它的体积
我们把这么一个旋转体一片一片切下来
每一个小片的体积我们近似地求下来之后
这当然都是近似值
近似地求下来之后我们把它累加一下
然后我们让△x趋于0
这个过程实际上就是我们定积分的一个过程
分割取点近似黎曼和求极限
实际上就是一个定积分的过程
所以最后从a到b的积分
这个就是我们的体积
也就是说就是等于Vx
这么一个旋转体绕着
这么一个面积绕着x轴转
转出来是这么一个空间的旋转体的体积
就是等于πy平方在a到b上的定积分
我们来看看另外一件事情
同样这一块面积绕着y轴旋转
转出来的这么一个空间区域的旋转体的体积
那么这个体积是我们是这么来看的
你想象一下我在这取了很小的一段
我们直接就说取了dx这么厚度的一段
我们这一小条绕着y轴一转
转出来的是什么东西
实际上转出来的是这么一个东西
转出来是很薄的把它抻开之后
实际上就是一个很薄很薄的这么一个体积一片体积
也就是说我们把这一圈切下来中间切下来
剪开把它铺平了
你可以想象一下这就是一个铁皮卷
一卷一卷一圈一圈绕着一个铁皮
那么实际上这一小条实际上就是一层铁皮的
这么一个卷出来的东西
我们把它剪开给它拉开之后你会发现
这个东西dx实际上就是厚度
厚度就是dx
这一小条的它的高度
就是y等于f等于y（x）就是它的高度
那么这一小条它的水平方向的长度
那么你会发现实际上就是这么一圈的长度
这一圈是什么东西
因为绕着y轴是一个旋转
所以这一圈一定是个圆
这个圆的半径就是x
所以这一个是2πx
所以我们可以发现我们这一小片的体积
实际上是2πx乘上y（x）的dx
这是这一小片的体积
那么我们把这个铁皮卷的每一圈统统剪开
统统把这个铁皮的近似值求下来
我们一圈一圈累加一下
一累加让△x趋于0又是一个定积分的问题
实际上就是从a到bVy等于
所以我们所用的方法实际上就是定积分的方法
分割取点近似求黎曼和求极限
最后我们可以发现我们这些具有很强的对称性的
比如说绕着x轴的旋转体和绕着y轴的旋转体
它本身具有一定的对称性
那么这些空间区域的体积
我们实际上可以用定积分给它表示出来
好我们举一个例子
那么如果说有一个椭圆
x平方除以a平方加上y平方除以b平方等于1
这是一个椭圆
那么这个椭圆的上半部分
这是一个椭圆
椭圆的上半部分所围成的那个面积
绕着x轴转一圈
转出来什么东西
转出来的就是这么一个椭球
要求这个椭球的面积
我们来看看椭球的面积分成左边和右边两个面积
那么我们来看椭球根据旋转体的体积
我们知道Vx就是从
x是从负a到正a
从负a到正aπy平方
y平方πy平方
y平方就是等于b平方乘上1减去x平方除以a平方dx
π乘上y的平方
y的平方当然是1减x平方除以a的平方再乘上b平方
πy平方dx
那么这当然是不难算的东西
最后我们可以得到它是等于三分之四
πab的平方
同样我们可以来算旋转体的表面积
比如说我们举个例子
同样是刚才我们说的那个平面的图形
xy绕着x轴转一圈
就变成了下面如下一个形式的
这么一个旋转体
那么我们要算旋转体的表面积
也就是说这个面积叫做S侧面积
那么旋转体的侧面积我们还是按那个办法算
我们在x轴上取很小的一段
我们把这一段拿下来
如果我们把这一段给它这一片拿下来的话
实际上我们画得好看一点就是这么一小片
就这么一小片
当然这都是曲面上找的
我们把这一小片切断
就像削苹果皮那样削下来这么一小圈的苹果皮
我们把这一小圈的苹果皮切断
实际上变成了上面那种形式
剪断了之后差不多是上面那个形式
我们把这一圈给拉长
一拉长的话你会发现
把它拉长之后会变成这么一小条
我把它扽直了
我们把这一圈给它拉直之后
实际上是出问题的
什么问题
你把苹果一削下来之后你给它拉直了之后
你会发现这不断的有很多很多小的裂缝
实际上这一圈一圈都会有裂开了
实际上都是有裂缝的
有一部分裂缝
但是你用这么一个面积来近似地代替这一块
包括这一块的表面积
你会发现这种近似程度对积分来讲
这些误差都是忽略不计的
所以说我们可以发现这一小条它的表面积
这一小条的面积是多少
先看这一部分
这一部分相当于它的圆的周长这个圆的周长
这个圆是2πy（x）相当于它的周长
这个宽度是多少
我们很在意这个宽度
这个宽度就相当于这个宽度
这个宽度是多少dl弧长
就相当于我们把这不就弧长
这就是一个dl弧长
所以这一小条的面积
近似地等于2πy（x）乘上dl
而我们还知道dl就等于
根号1加上y（x）的导数的括弧平方dx
所以呢这一小条的面积就等于
2πy（x）根号1加上y导数x括弧的平方的dx
这仅仅是这一小条的面积
那么我们把这一个空间旋转体一片一片切下来
每一片的表面积就是等于
2πy根号1加y导数平方的dx每一片
我们把它累加起来
然后我们取极限
△x趋于0的时候的那个极限
所以我们可以知道空间表面积
空间旋转体的表面积就等于一个定积分从a到b
2πy（x）根号1加上y导数x括弧的平方的dx
这就是空间绕着x轴旋转的这么一个旋转体的表面积
我们给一个例子算一下
有一条空间曲线y等于根号x
在什么范围内
在x如果属于0到1这个范围内
绕着x轴转一圈形成的空间旋转体的它的表面积
图形大概是这个样子的
这是1
绕着x轴转一圈
转出来的是这个样子
要求这个是Sx旋转体的表面积
那么根据公式我们可以知道
Sx就等于从0到12π乘上y
y是根号x再乘上根号1加y的导数
y导数的平方
1加上四倍的x分之一dx
也就等于2π我提出来0到1的积分
我把根号x放进去之后
根号x加上四分之一的dx
那么这个积分当然并不难算
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
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--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
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--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
