变上限积分在线视频

好今天我们开始一个新的内容

变限积分

第一部分我们来讨论变上限的积分

我们假设f是[a,b]区间上的可积函数

既然在[a,b]区间上可积

那么我们考虑这么一个积分

从a到xf（t）dt

要注意x用过了

所以里面那个

通常我为了区别起见

通常用另外一个变量

所以我不写f（x）dx

而写f（t）dt

因为我们知道定积分的积分值

是跟上限和下限的值

以及被积函数有关系

跟中间的积分变量实际上没有关系

用t也可以

用其他变量也可以

那么我们用了一个t

我们知道给了一个x

那么a到x上f的定积分

是不就有了一个固定值和它对应

我们回过头就再去想想

我们函数的定义

所谓函数就是一个对应法则

给了一个x

只要这个x的范围是在[a到b]上

给了一个x

就有唯一的一个数和它对应

恰好满足了我们原来函数的定义

所以这个积分

实际上我们把x当成变量的话

它就是一个函数

我们把这个函数叫变上限积分

我们把它叫做F（x）

这就是我们的定义

变上限积分

变上限是什么东西

假如说我们把x看成变量的话

那变上限积分

实际是一个函数

它的定义域是[a到b]

也就是变上限积分

对可积函数而言

变上限积分实际上定义了

在[a,b]这个区间里面的一个函数

我们来看一下

F（x）实际上由f（x）生成的

所以我们想F（x）的所有的性质

什么性质

我们讲

微积分的话

我们就讨论函数的这么一些性质

连续不连续

可导不可导

二阶导数有没有

它的单调性如何

它的凸性如何

它的极值

它的泰勒展开

等等等等这一套东西

这是我们微积分所研究的东西

那么对于这么一个变上限积分

所定义的函数

我们也要来研究F（x）的性质

而F（x）这个函数

是由f（x）这个函数生成的

所以F（x）这个函数的性质

从原则上来讲

应该是由f（x）这个函数决定的

那么f（x）的哪些性质决定了

F（x）的哪些性质

我们可以给以下这么几个定理

第一个定理

如果f（x）是一个可积函数

那么由f

而我们现在定义

所生成的变上限积分F（x）

是一个连续函数

我们来证明一下

我们讲过可积函数

所谓可积函数

首先是应该是一个有界函数

有界函数

在有界闭区间

我们才能讨论它的定积分的问题

所有的只要是可积函数

那么它一定是一个有界函数

一定存在一个m，Ｍ

使得ｍ小于等于ｆ（x）小于等于Ｍ

x属于［ａ，ｂ］这个区间内

一定是个有界函数

好那么我们来看一看

对于x0属于［ａ，ｂ］

我们要讨论Ｆ（x）这个函数

在x0点的连续性

那么这时候

我们就要分开情况了

如果x0是在ａ点或者ｂ点

那么这个连续性是一种单侧连续

在ａ点的连续性指的是右连续

在ｂ点的连续性

指的是左连续

所以它是指的是一个单侧连续

那么如果x0是在（ａ，ｂ）开区间里面

是一个内点

那么这种连续实际上是左右双侧连续

那么我们不妨假设它是内点

因为单侧连续的话

证明方法完全都是一样的

所以不妨假设

x0是在（ａ，ｂ）的内点

我们来看看如果说

Δx的范围是很小很小的一个小量

使得x0加上Δx含在（ａ，ｂ）区间内

那么我们来看看

由于自变量的微小变化

那么Ｆ（x0＋Δx）减去

变限积分Ｆ（x0）

什么情况就能说明

Ｆ这个函数是连续函数

如果说我们能证明

ｌｉｍΔx趋于0的时候

Ｆ在（x0＋Δx）的取值点

减去Ｆ在x0点的取值点

如果趋于0的话

我们就说明Ｆ这个函数是连续函数

那么我们来看看

根据定义

Ｆ在x0＋Δx的值

就是从ａ点到x0＋Δx

ｆ（ｔ）ｄｔ

减去ａ到x0

ｆ（ｔ）ｄｔ

我们这里面

又要用到定积分关于积分区域的可加性

我们把前面那个积分拆开

拆分成ａ点到x0点的积分

ｆ（ｔ）ｄｔ

加上从x0到x0＋Δx

ｆ（ｔ）ｄｔ

再减去从ａ到x0点

ｆ（ｔ）ｄｔ

我们把这两个消掉之后

我们可以发现

它就等于

从x0到x0＋Δx

ｆ（ｔ）ｄｔ

所以我们可以知道

绝对值Ｆ（x0＋Δx）减去Ｆ（x0）

实际上就等于

绝对值x0到x0＋Δx

ｆ（ｔ）ｄｔ这个函数的取值

同样我们也可以知道

因为ｆ这个函数是有界函数

是在ｍ和Ｍ之间的

所以我们可以至少可以知道

｜ｆ（ｔ）｜一定小于等于

ｍａx｛｜ｍ｜，｜Ｍ｜｝取大的那个

所以又根据定积分它的性质

可以知道

它小于等于ｆ的绝对值的积分

从x0到x0＋Δx

绝对值ｆ（ｔ）的积分ｄｔ绝对值

那么根据保序关系

我们可以知道

小于等于ｍａx

大的那个

ｍ的绝对值

Ｍ的绝对值

这是一个常数

给了ｍ给了Ｍ之后

它就是一个常数

乘上我们把这个拿出来了之后

就是１的积分

１的积分

当然就等于区间长度差

就等于Δx

就是等于Δx的绝对值

一定是趋于0的

当Δx趋于0的时候

所以下面就有结论了

刚才我们讲过

怎么样才能说明F这个函数

是一个连续函数呢

就是F(x0+Δx)减去F(x0)

如果说当Δx趋于0的时候

这个值趋于0的话

我们就可以证明

它就是一个连续函数

那么我们现在已经证明了

当Δx趋于0的时候

这个差的绝对值趋于0

本身当然也应该趋于0

所以F（x）这个函数

一定是在a、b这个区间上

是一个连续函数

那么我们再来看一看变上限积分

变上限积分告诉我们

如果f(x)是一个可积函数

F（x）就是一个连续函数

从性质上来讲

连续函数一定可积

但反过来我们也可以举出例子

可积函数不一定连续

所以连续函数是比可积函数更

性质更好的一个函数

那么变上限积分

把一个可积函数变成了一个连续函数

所以变上限积分越做

这个函数的性质越好

好我们来看另外一个定理

如果我们给f(x)加更强的条件

f属于连续函数

那么由f所确定的F（x）

等于从a到x的f(t)dt

是一个C（1）类的函数

连续可导函数

并且

F（x）的倒数等于f(x)

那么跟刚才定理比较起来

刚才告诉我们

f是一个可积函数

F就是一个连续函数

现在我们告诉

如果f是连续函数

F就是一个C（1）类的函数

所以C（1）类的函数比

连续函数又高了一级

所以我们可以知道

变上限积分所定义的函数

从光滑性的角度上来讲

比原来的f（x）要高一级

我们证明这件事情

我们取x0属于[a,b]这个区间

我们在x0这一点来求它的导数

来证明它是可导的

并且导函数是一个连续函数

导函数就等于f（x）本身

又要分跟刚才那个情况一样

x0如果是在a点和b点的话

要分两种情况

在a点的话应该是右导数

在b点的话应该是左导数

而x0如果属于[a,b]内点的话

那就是左右同时的一个导数

所以我们不妨假设x0是内点

因为左导和右导的方法

和我们下面要讲的方法

证明的方法是一样的

所以我们就不再重复了

我们取Δx足够小

小到什么程度

小到x0加Δx0还在[a,b]区间里

那么我们来看看

由于自变量的微小变化

所引起的函数值的变化

除以Δx

就准备求F（x）的导数了

看看极限有没有

如果有的话就求导数

我们根据定义

就等于Δx分之一

从a到x0+Δx

f(t)d(t)

减去从a到x0

f(t)d(t)

跟刚才一样

关于积分关于区域的可加性

我们就可以发现

它就等于Δx分之一

从x0到x0加上Δx

f(t)d(t)

下面又运用到我们刚才的性质

刚才我们讲性质的时候我们讲过

如果f是个被积函数

是个连续函数

那么定积分那就有中值定理

定积分的中值定理告诉我们

一定存在一个ξ属于哪个区间

属于在x0到x0+Δx之间

刚才我本来想写区间

为什么我不敢写区间

我不知道Δx大于0还是小于0

所以我不知道这两点

哪一点在左边哪一点在右边

索性我们就写ξ是在

x0到x0+Δx之间

使得这个积分值

实际上就等于

f在ξ点的取值乘上

f拿出去之后

就是1的积分

1的积分就是区间的长度

这个区间的长度就是

上限减下限

就是Δx

还有一个Δx分之一

ΔxΔx抵消

就等于f在ξ点的取值

其中我们一定要记住

ξ是在x0到x0+Δx之间的

那么我们来求极限

limΔx趋于0

这个都加极限都加极限

这个加极限Δx趋于0

我们来看看当Δx趋于0的时候

ξ是夹在x0x0+Δx之间

Δx趋于0ξ一定是趋于x0

而f又是一个连续函数

那么连续函数的极限值就是等于f(x0)

所以这时候实际上

我们已经证了两件事情

第一件事情

F这个函数是一个可导函数

第二件事情

F（x）的导数是不是就等于f（x）

而我们知道

F的导数等于f(x)

而f(x)又是一个连续函数

那么对F（x）这么一个变上限积分而言

那么它的导数是一个连续函数

所以F（x）是一个C1类的函数

实际上我们这一步的话

把我们这一个定理的几个结论

实际上同时统统证出来了

从这两个定理上

我们也可以看出来

变上限积分的光滑性

比原来的函数的光滑性要好一些

这是我们讨论的变上限积分

那么我们再来看看其他变限积分

我们看看变下限的积分

同样我们可以把它写成变下限的积分

f(t)dt

我们把这个变下限积分叫做G（x）的话

条件是一样的

只要f是在a,b这个区间上

是一个可积函数就行

那么这个变下限积分

依然是根据定义来讲

依然是一个很好的一个定义了的函数

那么对于变下限积分来讲

我们可以发现

G（x）就等于负的从b到xf(t)dt

那么这样的话

所有的性质是不就都是一样了

变成了负号的变上限积分

我们有几条性质

第一条性质

f如果是一个可积函数

一定能够得到G是一个连续函数

f如果是一个连续函数

一定可以推出G是一个C1类的函数

而且我们还可以知道

G(x)如果f是一个连续函数

G(x)作为C1类的函数

它的导数就等于负的f(x)

变下限积分求导数

我们再来看看所谓变限积分求导数

这个导数的法则就是

一个函数如果是一个变上限积分

求导数之后

实际上来讲就是

被积函数把上限放进去

如果说是一个变下限积分

就是一个被积函数

把那个x放进去之后

在前面添一个负号

那么这就是变下限积分

所以在这个意义上来讲

变下限积分可以

把它转化成为变上限积分

那么变下限积分

所有的问题跟变上限积分一样