无穷小量的比较在线视频

前面我们介绍了无穷小量的概念

接下来我们介绍一下关于无穷小量比较的问题

就是关于无穷小量的比较我们先想一下

为什么要引进这个问题

实际上在同一个极限过程下

我们实际可以有多个无穷小量

譬如说x平方 sinx tanx 1减掉cosx

就这四个函数在x趋向于0时它都应该是无穷小量

但是我们知道就是在x趋向于0时

这几个函数它趋向于0的快慢是不一样的

现在我们想对同一个极限过程下的无穷小量

我们有没有办法引进一个

刻画它们趋向于0的快慢的这么一个量

实际上我们平时说一个物体运动得快还是慢

大家可以用这个运动物体的速度来刻画它

但对无穷小量来说我们就说类似于运动物体速度这类量

我们找不出来

那我们就退一步讲

我们能不能就是说对两个无穷小量

你做一个比较

就在这两个无穷小量里面

你能找出在这个极限过程下

它的函数值趋向于0的快还是慢的这么一个刻画标准

所谓无穷小的比较实际就是给出了什么

在同一个极限过程下

判断两个无穷小量趋向于0的速度快慢的这样的标准

那我们通过这个形式来刻画

也就是说我们无穷小的比较

我们先看一下它的定义是怎么说的

首先我们知道f（x）和g（x）在同一个极限过程下

都是无穷小量

现在我们考虑就是在这个极限过程下

这两个函数的比值情况

这个函数的比值情况它当然可能是有

比如极限存在等于C

或者是极限不存在但它是无穷大

当然它应该还有第三种情况

就是极限既不存在也不是无穷大的情况

那我们说两个无穷小量能够做比较

我们只考虑前面这两种情况

也就是说如果是这样

则C如果等于0我们就称

分子f是分母g（x）在x趋向x0时的高阶无穷小

所以说什么叫高阶无穷小

然后记号记作就是f（x）等于o（g（x））

当然一定要强调你的极限过程是什么

这就是高阶无穷小的定义

实际上大家一看作为高阶无穷小

表示的就是在这个x趋向x0时

分子的绝对值要远远小于分母的绝对值

所以这个时候说分子是分母的高阶无穷小

第二个也就是C等于1

C等于1这时候我们就称f（x）与g（x）在x趋向x0时

是等价无穷小

然后也给它一个记号

记作f（x）与g（x）等价

同样也要强调一下极限过程

所谓等价两个字大家可以看出来

也就是说在x趋向x0时

f（x）跟g（x）的函数值应该是差不多的

在极限意义下可以认为是一样的

这是所谓的等价无穷小

还一个也就是说

如果这个地方C它既不等于0 C也不等于1

当然这个C指的是极限存在

也就是说极限既不等0又不等1时

这时候我们称f（x）与g（x）在x趋向x0时

是同阶无穷小

这是同阶无穷小的东西

就是说关于同阶无穷小我们要强调一下

一般来说等价无穷小是单独来解释的

因为两个无穷小量是等价关系

这是一个很特殊的就是相互之间的关系

我们要是说同阶的时候往往意味着是

它极限存在不等于0

同时这两个无穷小量也不是等价无穷小

关于无穷小的比较有时候还说

一个无穷小量是另外一个无穷小量的低阶无穷小量

这个指的是什么

实际上大家从字面上就可以理解

说如果f（x）是g（x）的高阶无穷小

那我当然也可以等价的说

g（x）是f（x）的低阶无穷小

所以关于低阶无穷小只要有了高阶无穷小的这个关系之后

就能够把这两个无穷小量的大小关系刻画清楚

所以我们就不再引进了

这是关于无穷小的比较

主要引进了三个概念

高阶无穷小 等价无穷小和同阶无穷小

但是在无穷小的关系里面

大家一定要注意这个地方

就有一种就是说我们并不能做比较

说两个无穷小量它的比值极限既不存在也不是无穷大

这时候这两个无穷小量之间是什么关系

用我们现在的概念来讲我们找不出它们之间是什么关系

所以说无穷小的比较应该是在这个前提条件下才能做的

并不是同一个极限过程下的

任意两个无穷小量我们都可以做比较

但是在不能做比较的无穷小量之间

有这么一种情况值得我们注意

也就是说你譬如

f（x）等于x乘上sin x分之一

然后还一个是g（x）就等于x

我们知道这两个函数在x趋向于0时极限都是0

但是如果我们让它们做一个比较

这个应该就等于sin x分之一

那请大家看一下sin x分之一在x趋向于0时

它极限既不存在也不是无穷大

所以你如果说f（x）跟g（x）在x趋向于0时是什么关系

我们看一下它这三种关系里面

哪一种都不是它俩之间的关系

但是这个比值大家又可以看出来

我加一个绝对值

加一个绝对值之后这个绝对值应该是小于等于1的

也就是说有这个样的无穷小量

说尽管我们没法对它俩进行比较

但是我知道这个比值在这个x0附近是有界的

这样的无穷小量我们就给出一个所谓的大O关系

什么叫大O关系呢

也就是说如果f（x）和g（x）这两个无穷小量的比值

在极限点x0附近有界

我们就说分子与分母是大O关系

记作f（x）等于O（g（x））

当然也要说一下极限过程

我想这也是我们谈无穷小量关系中常说的一种关系

叫大O关系

另外一个请大家注意一下还有是说

一个无穷小量是一个k阶无穷小

那这个k阶指的是什么

实际上这一个x的平方我们就说它是x趋向0时的二阶无穷小

我们有时候说sinx是x趋向于0时的一阶无穷小

1减cosx是x趋向于0时的二阶无穷小

为什么这样说

x平方是二阶无穷小这个大家可能好理解

那为什么说它是二阶无穷小呢

我们的理由就是因为这个1减cosx除上x平方

在x趋向于0时它是趋向于二分之一

它是不等0的

也就是说按照我们刚才的比较定义1减cosx与x平方

在x趋向于0时实际是同阶无穷小

那么因为它与它是同阶的

它是二阶无穷小 我们自然也就说

1减cosx在这个极限过程下也是二阶无穷小

所以这样我们引进一个一般的定义就是这个样子

也就是若 若什么呢

就是x趋向x0时 f（x）比上x－x0 k次方

这个是等于C不等于0的

这个时候我们就说

分子f（x）在这个极限过程下是k阶无穷小

实际上相当于在这个极限过程下

我们找了一个所谓的标准的无穷小量

如果这个无穷小量与标准无穷小量是同阶关系的时候

我们就说它是k阶的

那当然如果我们考虑的极限过程是x趋向于无穷

这个时候你找的标准的参照的无穷小量是谁呢

应该找x的k次方分之一

因为在x趋向于无穷时 x的k次方分之一

k大于0时它是趋向于0的

就以它作为标准的参照物

如果它是等于C不等于0的

这时候咱就说f（x）是x趋向无穷时的k阶无穷小

所以关于无穷小的比较除了我们说的

高阶 等价 同阶之外

还经常会说到两个无穷小量之间具有大O关系

还会说到一个无穷小量是所谓的k阶无穷小

希望大家能够通过我们这样简短的解释

能够体会或者理解什么叫大O关系

什么叫k阶无穷小

接下来我们举一个例题

这个例题就是说我们证明一下

k次根下1+x应该是减掉1

等价于k分之一倍的x

这个是在x趋向于0时

也就是说在x趋向于0时

k次根下1加x减掉1当然趋向于0的

那这个无穷小量与谁是等价的

我们说它与k分之一倍的x是等价的

就是这个也是我们在后面做极限问题时常用的一个结论

譬如说根下1+x减掉1你马上就可以写成

它就等价于二分之一倍的x

因为这就是k等于2的情况

或者说三次根下1+x减1你自然可以写成是

等价于三分之一倍x的形式

那接下来我们来看这个结论怎么给一个简短的解释

或者叫证明

这个当然就用到了我们中学学过的一个简单的代数公式

这个代数公式也就是

a－b乘上a的n－1次方再加上a的n－2次方再乘上b

一直加到a的一次方b的n－2次方

再加上b的n－1次方

这个应该等于a的n次方减b的n次方

要用到这个公式

那接下来大家看一下我们这个可以写成是

1+x的k分之一次方减1

我来比上x 也就是把这个x除过来

除过来之后我为了能够把x消掉

我上面把这个理解成这个公式中的a

而这个1理解成我们公式中的b

现在在这个表达式里面我们上下同乘这个因子

那么下面也就变成了x乘上括号里面

1加上x k分之一的k－1次方

再加上1+x k分之一的k－2次方

一直加到1

而上面这个分子乘上这个因子之后

应该变成是括号里面1+x k分之一的k次方

所以实际上出来的应该是1+x

这个1的k次方当然还是1

这样分子就是x 跟这个x消掉

所以说在x趋向于0时

我们主要看这个分母上中括号趋向于是什么

每一个因子在x趋向于0时都是趋向于1的

然后大家数一数一共有多少项

这个地方是0次方 这个是到k－1次方

所以合起来应该一共有k项

也就说这个中括号应该是趋向于k个1加起来

所以最后它应该趋向于k分之一

那么因为这个的极限在x趋向于0时的极限是k分之一

所以说这个分子除上k分之x的极限应该是1

那么根据等价无穷小的定义

我们自然就证明了

k次根下1+x减掉1应该在x趋向于0时

是等价于k分之x的

这是我们在极限运算中常用的一个等价无穷小

接下来我们来介绍一下

在极限运算中我们常用的一种方法

就是所谓的等价无穷小代换

我们先给一个简单的结论

这结论就是说我们假设f（x）g（x）α（x）β（x）

在x趋向于x0时都是无穷小量

且f（x）与α（x）等价

g（x）与β（x）等价

我们的结论是这样说的

则f（x）比上g（x）在x趋向于x0时的极限

你可以直接写成x趋向于x0时α（x）β（x）

我想这个等号成立就意味着就是这两个表达式

在这个极限过程下的极限情况是完全一样的

换句话说就是如果这个极限是存在的

那么这个极限也是存在而且两者的值是相等的

如果说原来的极限不存在

就是这个新的比值的极限也是不存在的

这是就是说关于这个等式所表达的含义

就是说我们再仔细看一下

从左边这个表达式到右边这个表达式

它相当于把分子用它的等价无穷小代替了

把分母用分母的等价无穷小代替了

实际上我们平时就说在极限运算过程中

乘除因子可以用它的等价无穷小代替

而不影响你讨论的极限问题

实际上这个等式的证明

只要了解了等价无穷小的概念之后应该是不难写的

那我们看一下x趋向x0 f（x）比上g（x）

因为我们那个f（x）跟α（x）是等价的

所以我们可以直接写成f（x）比上α（x）

这面为了保持恒等应该乘上α（x）

而g（x）跟β（x）是等价的

所以我们也写出β（x）比上g（x）

为了保持恒等这面除一个β（x）

那经过这个变形之后

根据我们的条件这个因子极限是1

这个因子极限是1

所以说我们马上就得到了原来这个比值的极限

与α（x）比上β（x）的极限情况是一样的

这就是这个定理的证明

接下来我们看几个具体的题目

比如第一个例题 我们来看一下

x趋向于0时 tanx减掉sinx比上x三次方

这是一个分式极限

而且在这个极限过程下分子分母极限都是0

那我们自然不能直接用除法运算

但它是与三角函数有关的

所以我们做一个简单变形

tanx写成sinx比上cosx

我们把sinx提出来这面乘上cosx分之一减1

我们给它通分

就是cosx 1-cosx

这边是x三次方

那接下来大家知道sinx比上x在x趋向0时的极限是1

也就是sinx的等价无穷小量

我们可以用x来给它表示

在这边1-cosx作为一个整体量

也就作为一个整体因子

我们想一想我们前面给出的结果

1-cosx实际上是与二分之一倍的x平方等价的

然后接下来cosx分之一我们还写到这

底下是x三次方

我想上面这个表达式的极限与下面这个表达式的极限

利用等价无穷小代替情况是一样的

而下面这个表达式自然就是二分之一倍的

x趋向于0 cosx分之一

我们知道cosx的极限在x等于0处的极限应该是1

所以最后的结果是等二分之一

这就是利用等价无穷小代替

我们来求这个分子分母都趋向于0的分式极限它的解答过程

然后接下来我们看第二个例题

我们看一下x趋向于0 e的1-cosx次方减掉1除上x方

这仍然是一个分式极限

同样的在我们讨论的极限过程下

分子分母的极限都等0

那我们看看这个问题怎么处理

这个问题利用我们前面介绍重要极限式得到的极限结果

我们把1减cosx作为一个整体

这就是e的u次方减1

极限过程是u趋向于0

而我们再把e的u次方减1作为整个因子

我们知道它应该是等价于u的

也就是等价于1减掉cosx

这个地方分母我们仍然写成x平方

分子就是用了等价无穷小代替

写成这样之后结果大家自然就知道了

应该是二分之一

这是第二个例题

最后一个例题我们看一下x趋向于0

这一边是一个ln 1加a倍的x的m次方

底下是1减掉cos 括号里面1-cosx

当然在这个地方我们假设a是不等于0的

如果a等0的时候这个分式自然是恒为0

极限当然也等0

那大家看一下这个形式上看起来要比我们

处理的第一个例题和第二个例题表达式都复杂一点

但是我们也仔细分析一下它的结构

分子实际上我们可以看成是ln 1加上u

在这个极限过程下

u是趋向于0的

当然我们讨论的时候m让它大于0

然后这样子的时候利用我们前面介绍过的极限结论

我们知道分子它的等价无穷小量是a的m次方

分母我们把这个括号当成一个整体变量

在这个极限过程下它也是趋向0的

分母我们可以用它的等价无穷小代替

应该就写成二分之一 1-cosx括起来的平方

写到这一步之后分母现在是两个因子乘积

而每一个因子又与二分之一x平方等价

所以我们再用一次等价无穷小代替就是x趋向于0

a x的m次方

这个地方是二分之一

这个应该就写成二分之x平方括起来平方

所以说到了这一步之后我们给它整理成

这个简单形式应该就是八倍的a xm次方除上x四次方

最后这个极限值的结果应该是与m和4的关系有关

那我们写出来它就是如果m是大于4的

那这个极限值应该是等0的

如果m是等4的 极限值是等于八倍的a

如果我们的m是大于0小于4的

那这一个它极限不存在

这时候这个函数在我们考虑的极限过程下是无穷大量

我想这是利用等价无穷小代换

我们来处理的几个简单极限问题

实际上在这个地方有一个问题

也是我们在处理极限问题时同学们经常会碰到的

我给它写出来

也就是说乘除因子可以代换

那么在加减项里面

我们能不能把加减项用它的等价无穷小代换

是这么一个问题

因为一个表达式里面有乘除因子自然也有加减项

那这个时候加减项能不能用等价无穷小代替

我们就看这个极限

譬如说这个极限如果我们看分子的时候

tanx和sinx就是分子的加减项

如果我们加减项用等价无穷小代替的时候

tanx的等价无穷小自然是x

sinx在x趋向于0时的等价无穷小自然也是x

所以大家如果用等价无穷小代替加减项的时候

分子就变成了x减x

结果自然就是0

那刚才我们经过计算知道这个极限它并不等0

而是等二分之一

这就意味着在极限运算中

加减项用它的等价无穷小代替

我们不见得一定能得到正确结果

那我就再进一步问

说这个加减项用等价无穷小代替不能得到正确结果

是不是意味着所有的加减项都不能用等价无穷小代替

实际上在我们后续的学习过程中

大家慢慢地就会了解

加减项能不能用它的等价无穷小代替完之后

仍然能得到正确结果

除了它的首项之外

实际上还依赖于就是与首项相差的后面的项的关系

我们为了搞清楚这个

在介绍了导数之后

我们会特别给出所谓的泰勒多项式

学习了泰勒多项式之后同学们就会知道在加减项里面

什么时候用等价无穷小代替我的结果一定是正确的

而在什么时候加减项用它的等价无穷小代替

我就不能得到正确的结果

这是我们在后面的学习过程中需要学习的内容