当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第四章 导数与微分 > 第二节 导数与微分的运算 > 反函数求导法
接下来我们介绍一下反函数的求导公式
我们的结论是这样子的
我们就是说
若f(x)在x_0可导
且f'(x_0)不等于0
则其反函数在y_0等于f(x_0)处可导
而且反函数在这一点的导数值
应该就等于原来函数在x_0这点导数值的倒数
我想这是关于反函数的导数的计算公式
也叫反函数的求导公式
实际上它就是把反函数在相应点的导数值
与原来函数在相应点的导数值联系起来了
这个关系应该是很容易掌握
它是互为倒数关系的
就是只要大家注意一下导数是个点性质
所以这个地方强调的是函数在x_0这点的导数
与反函数在y_0那点的导数值是对应的
而y_0与x_0的关系自然是y_0是x_0这点的函数值
接下来我们对这个公式也给出一个证明
这个证明也就是要证这个东西
也就是说如果我的x是等于f的反函数值的时候
那我现在要做的就是Δx
也就是它的反函数在y_0加上Δy这点的值
减掉它的反函数在y_0这点的值
再除上Δy
在Δy趋向于0时它的极限是否存在
存在的时候极限值等于什么
因为我们这个是反函数的函数值的改变量
而反函数的函数值的改变量
应该是原来函数自变量的改变量
然后也就是考虑一下Δx比上Δy
这个比值的极限存在不存在
存在的时候极限值等于什么
那这一个我们就给它转化成这一个极限
也就是Δy比上Δx分之一
然后接下来我们让Δx趋向于0
实际上所谓这个导数公式的证明
也就是我们要想办法证明这个等号是成立的
那我给大家解释一下
为什么这个等号成立
因为函数在这点可导
所以说函数在这点就是连续的
根据反函数的连续性
那么它的反函数在相应的点y_0处也是连续的
也就是说在Δy趋向于0的极限过程下
这个Δx一定是趋向于0的
这是利用了连续函数的反函数也是连续
所以说我这个可以写成Δx趋向于0的
接下来你就问说你这儿做了一个倒数运算
原来Δx在分子上
它当然等于0不等于0都是可以的
但你做倒数运算
以为这你的Δx是一定不会等于0的
为什么
因为我们知道在这个极限过程中
Δy是不会等于0的
而所谓一个函数它的反函数存在
它应该是有所谓的一一对应关系
那么在Δy不等于0的前提下
它Δx自然也是不等于0的
也就是原来的函数它不可能出现
就是说一个自变量对应着两个函数值或者说
它的反函数出现了一个自变量
对应着两个函数值这样的情况
就是这个地方也就是利用了它反函数存在
所以说这个对应关系应该是一一的
那么在Δy不等于0的前提下
Δx自然是不等于0的
这样我就证明了这个等号是成立的
这样写出来就利用原来的极限导数是存在的
所以说
这个极限应该是可以这样写的
也就是Δx趋向于0
Δy比上Δx
这也就是f'(x_0)分之一
所以说关于反函数这个求导公式的证明
就是刚才我们强调过的
只要你说清楚Δy趋向于0时
Δx趋向于0
Δy不等于0时
Δx也不等于0
这个就直接套用导数定义就可以了
这是这个结论
这个结论我们从记忆的角度讲
大家可以这样去想
也就是说如果我这样去记这个东西
它的反函数
这个是等于x的
这是反函数给我们的一个关系
如果我们知道
函数与反函数都是可导的时候
我们自然可以用链导法则
也就是两边关于x求导
这边应该就是反函数在这一点取值
就是它的导数在这一点取值
再乘上函数的导数在这点的值
这边应该等于1
所以说在可导的前提下
反函数的导数跟函数导数互为倒数这个关系
实际上我们可以利用复合函数的链导法则得出来
但是这个不能作为刚才这个定理的证明
因为我们反复说过
这个是在导数存在的前提下
我们才可以用链导法则
而在这个定理中给出的条件下
反函数的导数是不是存在
这是需要我们证明的
所以我们定理的证明
一定要用导数定义去进行证明
接下来我们看几个例题
第一个也就是说
y等于arcsinx
我们来求反正弦函数的导数
那大家做的时候
这个也就是x等于siny
所以说y关于x的导数
也就等于这个x关于y的导数的倒数
也就是cosy分之一
因为siny是等于x
那cosy应该是等于1减(siny)方
就是根下1减(siny)平方就是cosy
所以这个应该是这一个表达式
所以你前面需要不需要取正负号
因为大家注意
我们的就是这个y是一个反正弦函数表示的角
它应该是介于负二分之π到二分之π
这个范围里面
在这个范围里面那么cosy永远是非负的
所以说我们在这里平方开方
前面是取正号的
这样一写的时候siny是x
所以说这个也就是根下1减x平方分之一
这就是我们反正弦函数的导数公式
再比如说
我们第二个例子
就是y等于arctanx
那么这个也就是x等于tany
那么我们求y关于x的导数
也就是x关于y的导数的倒数
这个应该就是secy方分之一
而secy方应该等于1+tany方
所以这个也就应该等于1加上tany方分之一
而tany是等于x的
所以这个应该是等于1加上x方分之一
这个就是我们反正切函数的导数公式
在反三角函数里面
我们还有两个常用的导数公式
一个是y等于arccosx
那大家用类似的方法
你能不能求出arccosx的导数
是负的根下1减x方分之一
也就是说arcsinx和arccosx
它的导数在形式上看
正好差一个正负号
类似的
我们还有一个反三角函数的导数公式
是arccot
也就是说反余切函数的导数
大家用同样的方法做出来
应该你会得到这个关系
就是arccot的导数是负的1加上x方分之一
也就是说从形式上看
反正切和反余切函数的导数公式
也是差一个负号
关于导数的求导法则
我们介绍了四则运算、复合函数
和反函数的求导公式之后
那么一元函数的求导法则基本就全介绍完了
有了这些法则之后
结合着我们前面用定义得到的一些
简单函数的导数公式
现在我们就得到了
我们在求导运算里面
常用的一些基本函数的求导公式
也就是我们平时说的
基本导数公式
那我们一起来回忆一下
现在我们知道哪些初等函数的导数公式
也就是说c的导数等于0大家是知道的
x的α次方的导数
应该等于α乘上x的α-1次方
这个也是知道的
然后a的x方的导数应该等于a的x次方乘上lna
特别的e的x次方的导数应该等于e的x次方
指数函数导数公式大家应该知道
在这个地方我想特别提醒大家
指数函数就是这个以e为底的
说在函数里面
你能不能找出几个函数值和导数相等的的函数
实际上正在微积分里面这算一个
另外一个自然就是这一个
我想这两个函数一摆
你自然能够体会到y等于e的x次方这条曲线
它在整个微积分里面的特殊性
也就是说在非零函数里面能够做到这一点的
独此一家别无分号
我们这是这个指数函数的导数
另外对数函数
对数函数我们当然主要强调是自然对数
但是大家想一般的a为底的你会不会求
那你只要把这个东西写成lnx比上lna的导数
我相信你能求出正确结果
刚才我们说了三角函数
sinx的导数是cosx
cosx的导数是负的sinx
正切的导数是sec方
余切的导数是负csc方
以及我们刚刚求出来的arcsin的导数
是根下1减掉x方分之一
arccos的导数是负的根下1减掉x方分之一
还有arctan和arccot
也就是说
我们前面说的六类基本初等函数
它的函数公式到现在我们都得到了
这是我们能够进行简单导数运算的基础
也就是说
在一元函数的导数运算里面
我们只要掌握了四则运算
复合求导、反函数求导公式以及基本导数公式
原则上讲在导数运算里面
你不会再碰到其他障碍了
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
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--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
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--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
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-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
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--原函数的概念
--6-1视频纠正
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--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
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--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
