8-4 级数收敛的Cauchy准则在线视频

我们前面已经讨论了

级数的收敛性概念

我们知道级数的收敛性

是通过数列极限给出定义的

在数列极限时

我们曾经给出了

极限收敛的柯西收敛准则

现在我们来看一下

级数收敛的柯西准则是什么

因为我们对于级数来说

也就是n成1到无穷

an求和

他的前n项和Sn

也就等于k从1到n

ak求和

我们说级数收敛

指的是他的前n项和

这个数列是收敛

而这个数列收敛的柯西准则

是这样描述的

也就是任给ε>0

我们应该能够找到一个N

也就大于0的正整数正整数

然后 使得当n>N时

对于任意的正整数P0

我们有Sn+p-Sn是小

绝对值小于ε

这是关于数列收敛的柯西准则

现在我们注意到

我们的Sn

是这个级数的前n项的和

我们把这个表达式

代到这里面来

我们也就是

带进来之后

这应该就是

k从1到n+p

对ak求和

减掉k从1到n

对ak求和

也就是

这一个不等式是要成立的

那我们把前面的n项

给他减掉

也就是

这一个不等式是对的

就是k从n+1到n+p

对ak求和

这一个是小于ε的

现在我们来看一下

在这个表达式里边

当然就只与级数的

通项ak有关

我们所谓的

级数收敛的柯西准则

指的就是

对任给的ε>0

我们能够找到一个正整数N

使得这个正整数后面的任何一个n

对任意的正整数p来说

这一个不等式都是成立的

我们把这个写成一个定理

这就是我们的

级数收敛的柯西收敛准则

定理 级数an n从1到无穷求和

他收敛的充分必要条件是

任给ε>0

我都存在正整数N

使得当n>N时

对于任意的正整数p

都有对ak

从n+1到n+p求和之后

他的绝对值

是小于ε的

就是通过

这个级数收敛的柯西准则

我们知道

判断一个级数是否收敛

我们主要就是看

这个级数的通项

是不是满足这个条件

也就是

只要我这个N足够大

那么在这个N后面

任意多项的和

绝对值应该是充分小的

所以说这个柯西准则

就给出了

利用级数通项本身的性质

来判断级数是否收敛的

这么一个充分必要条件

在数列极限时

我们还给出了

说如果一个数列

他的极限不存在

那么它的柯西准则是什么

相应的

对于一个级数来说

如果级数是发散的

用柯西准则该怎么说

我们做一个注意事项

来解释一下

也就是说这个级数

n从1到无穷

an 他是发散的

那么它的充分必要条件

就是并不是对所有的ε

后面这个东西都满足

不是对所有的ε

也就是至少有一个不行

所以说

应该是存在一个ε0>0

我们找不到这个N

找不到N

也就是对任意的N都不行

所谓都不行的含义就是说

在这个N后面

并不是任意多项

他加起来的绝对值

都小于ε

不是那就是意味着

我至少能够找到

一个n0是大于N的

我还能找到一个正整数P0

然后

使得这个不等式是对的

也就是说

我从n0+1加到n0+p

就这些项加起来

他的绝对值

是要比这个ε0来的大的

这个就是

我们一个级数发散的

充分必要条件

所以说

我们可以通过

级数收敛的和发散的

充分必要条件

判断一些

特殊级数

他的收敛性

也可以利用这个结论

来讨论一些一般的级数问题

接下来

我们看两个简单的例子

比如说

我们来考虑这个级数

n从1到无穷

n的平方分之一

现在我们利用

柯西收敛准则

来证明一下

这个级数是收敛的

也就是说我要利用

柯西收敛准则

证明这个级数收敛

我就是看一看

对于任意的ε>0

能否找到这样的N

在N后面

任意多项

加起来的绝对值小于ε

那我们首先看一下

对这个级数来说

我的k从n+1加到n+p

也就是这是一个n的

k的 k的平方分之一加起来

这个地方我们给他写开

也就是一个n+1括起来

平方分之一

一直加到n+p括号的

平方分之一

现在我们为了

来说清楚他可以充分小

我们给他做一个放大

也就是他应该是小于

1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)

然后加到

这边是一个1/(n+p-1)(n+p)

也就是我把每一项

分母都变小

当然整个分数就变大

因为这个和

本身是大于0的

大于0的

然后这样放过来之后

我们每一项拆成两项之差

这样求和的时候

我们知道

这个和就是1/n-1/(n+p)

他当然也就小于1/n

我们放到这个地步

我们就知道

这个和

只要我的N充分大

那么 他就可以充分小

所以说

现在我就可以说清楚

任给ε>0

我就取我的N

比如说就等于

这个1/ε取整

为了他是大于0的

我再加一个1

如果这样子的时候

大家看一下

则当n>N时

那也就是n要大于这个数

大于这个数

我就有

1/n他肯定是小于ε的

1/n小于ε

也就是

故对任意的P>0

我自然就有

k从n+1到n+p

k的平方分之一

这个本身是大于0

这面就小于1/n

又小于ε

实际上 大家看一下

我们做到这

我们是不是对这个级数

得到了这么一个性质

对于任意的ε>0

我确确实实

能够找到一个正整数N

只要n>N 那么

对于任意的正整数p来说

他从n+1这一项

加到n+p这一项

加起来的绝对值

应该就小于ε

这就说明这个级数

是满足收敛的柯西准则的

满足了这个条件之后

当然我们就推出了

这个级数是收敛的

n方分之一

n从1到无穷

他是收敛的

这是一个例子

接下来

我们最后看

另外一个简单例子

也就是说

n从1到无穷1/n

这是前面

我们曾经讨论过的调和级数

现在我们换一个角度

我们能不能用柯西准则

来说明这个调和级数是发散的

那我们要想说明他是发散的

我们就是看

是不是可以 能够

对任一个N

在N后面能够找到一个N0和一个P0

使得这个级数

从N0+1项到N0+P0项

加起来大于一个

大于0的数

现在我们看一下

因为我们这个k从n+1到n+p

这样写出来1/k

也就等于 就是

1/(n+1)加到1/(n+p)

现在我们把每一个分母

都给他变成最大的

也就是把前面这些数

都相应的变小

那么这一个数

一定是大于n+p分之一

加起来

因为有p个相加

所以说应该就是乘上p

那我们知道这个n+1分之一

到n+p分之一这些项

加起来之后

他是要大于这个数的

在这里面大家会注意到

无论对什么样的n

只要我把P

取成与n一样

那这个数

就应该等1/2

只要我的p=n

那如果我们知道

这个级数满足这个性质的时候

我们最后该怎么叙述这个题

这个题应该就这样叙述

我就取ε0=1/2

然后 则任给N>0

我就直接取

比如说我的n就等于N+1

他当然是大于N的

接下来我再取

我的p就=n

所以说对给的N

我的n取定了

他是大于N的

我的正整数p也取定了

这时候

则他从n+1到n+p这些项加起来

他就等于这个东西

这个也就大于这个

因为p是等n的

所以说这个数应该等1/2

这就说明了

我们确确实实

对于这个级数来说

存在一个大于0的数

无论对什么样的N

在这后面

我们至少能够找到这么两项

这两项之间的所有项加起来

绝对值是大于这个正数ε的

所以说这个级数他是发散的

这是关于级数收敛的柯西准则

实际上我们就是把

数列极限的柯西准则

直接给他平移过来

他给的是一个充分必要的条件

他用到了级数的通项

也就是说

我从级数的通项满足的性质

从理论上讲

可以来判断这个级数

是收敛的还是发散的