一致收敛的函数项级数和函数的分析性质（3）在线视频

好 我们现在讨论

函数项级数的分析性质第三部分

就是求导的问题

假如说 有一个函数项级数

∑ un(x) n从1到正无穷

对于这函数项级数来讲

我们有这么一个定理

如果说 函数项级数un(x)

n从1到正无穷 满足下面几条性质

第一条性质 对于任意的正整数n

un在[a,b]这个闭区间上

都是连续可导的

第二条性质

un的导数所构成的函数项级数

在[a,b]上是一致收敛的

我们把un的导数所得到的和函数

叫做T(x)

第三 如果存在着x0属于[a,b]

使得un在x0点的函数项级数是收敛的

那么原来的函数项级数

∑ n从1到正无穷un(x)

在[a,b]这有界闭区间上是一致收敛的

并且 和函数是可微的

和函数的导数

也就是说先求和再求导数

等于导数的级数

也就是先求导数 再求和

那么最后那条性质呢

实际上也就告诉我们

无穷求和运算和求导运算

可以交换运算顺序

那么这一条定理

实际上它的条件分成这么三个

第一呢 每一个函数有光滑性条件

第二个一致收敛的条件

并没有用于原来的函数项级数

而是用于函数项级数的导数

所构成的函数项级数

第三个条件 这个收敛性

原来的函数项级数 只要在一点收敛

那么就可以得到原来的函数项级数

在整个[a,b]区间上是一致收敛的

并且和函数是连续可微的

然后 可以交换运算顺序

下面我们证明 证一下

我们知道 如果说我们做一个记号

Sn(x) 就是原来的函数项级数的

部分和 k从1到n uk(x)

那么我们来看一看

我们想用柯西准则

柯西准则是这么说的

我们要证明 函数项级数是一致收敛

只要证 对于任意的一个ε大于0

存在着一个N是一个正整数

对于任意的n m 大于N

对于任意的x

属于[a,b]这个有界闭区间

都有Sn(x)减去Sm(x) 小于ε

如果柯西准则 我们可以知道

如果想证明Sn这么一个部分和

是一致收敛的

我们只要证明这么一件事就行了

我们来看一看

我们知道 Sn(x) 就应该是等于Sn

在x0这一点取值 再加上从x0到x

Sn的导数 t dt

这是牛顿莱布尼兹公式告诉我们的

因为我们知道Sn的导数t dt的积分

就等于上限减去下限 所以这是

牛顿莱布尼兹公式告诉我们的

我们来看一看Sn(x)减去Sm(x)

柯西准则 实际上它就等于

Sn(x0)减去Sm(x0)再加上

从x0到x Sn导数t减去Sm导数t 的dt

Sn就等于一项 一项

同样Sm 也等于 一项 一项

两个一减的话 就等于它

用一下绝对值的不等式 我们知道

这两个的差 应该小于等于

这个的绝对值 再加上

绝对值积分的绝对值

那么我们也知道积分的绝对值

是小于等于绝对值得积分

所以小于等于这个东西

那么我们再来看一看

因为我们知道在x0点

n从1到正无穷是收敛的

所以 对于任意的一个ε大于0

一定存在着一个N1 是一个自然数

对于任意的n m 大于N1

都有Sn(x0)减去Sm(x0)的绝对值

小于ε

这是它这个级数收敛的柯西准则

我们不妨假设 小于ε除以2

因为为了最后证明完了之后好看一点

又因为 我们知道 ∑n n从1到正无穷

在[a,b]这个区间上 是一致收敛的

所以 同样用一致收敛的柯西准则

对于我们刚才那个ε大于0

一定存在着一个N2是正整数

对于任意的n m大于N2

一定有Sn'(x)减去Sm一阶导数 x

小于ε除以b-a

所以呢 我们可以知道

从x0到x的积分 Sn导数t

减去Sm导数t

这个积分的 它一定小于等于

从x0到x 这个是 应该是

ε除以b-a的dt

再加一个绝对值吧

小于等于ε除以b-a乘上绝对值x-x0

因为x和x0都是在[a,b]

这么一个有界闭区间上 它一定

再除以一个2把吧 好看一点

2倍的 它一定小于等于2分之的ε

所以我们可以知道 我们把这两个不等式

一个不等式 两个不等式

通通代入我们要证明的这个不等式里面

我们可以知道 对于任意的ε

我一定存在着一个N

这个N取的是N1和N2大的那个

对于任意的n m大于N的话

我们都有 Sn(x)减去Sm(x)是小于ε的

2分之ε加上2分之ε正好构成一个ε

这个东西呢不等式

对于任意的x属于[a,b]都成立

所以我们可以知道∑un(x)

n从1到正无穷

它是一个在[a,b]这个有界闭区间上

是一致收敛的

我们把这个和函数记成是S(x)

那么 我们可以知道

两边取极限 lim n趋于正无穷

这个也取极限 n趋于正无穷

这个也取极限 n趋于正无穷

左边那个极限 我们知道

部分和的收敛于和函数

所以 S(x)就等于

第二个极限

在x0这一点的部分和收敛到S(x0)

再加上 因为这个级数是

以导数所构成的级数是一致收敛

那么一致收敛

极限可以跟积分号交换次序

这个极限可以放进去

所以就等于 从x0积到x

Sn的导数部分和的收敛函数

我们把它叫做原来叫做Tx dt

所以我们可以知道

S(x)就等于S在x0点的值

再加上从x0到x T的积分

我们两边求导数之后

我们可以知道 S的导数

就是∑ n从1到正无穷

un(x)的 这是S(x)的导数

就等于 这是一个常数

常数的导数就等于0

这是一个变上限积分

变上限积分求完导数之后

就相当于把x代进去之后

也就是T(x) T(x)就等于

∑n从1到正无穷 un的导数 x

所以这就证完了 我们要证的事情

也就是说

对这个级数先求和 再求导数

就等于先求导数 在求和

也就是说 我们现在在这么一些条件下

尤其要注意的是

它的条件上的一致收敛性

是对于这么一个求完导之后的

函数项级数的一致收敛性

而收敛性的话

只要在一点是收敛的

在这些条件下 我们就可以知道

这个函数项级数 第一件事情

它的和函数 是收敛的

它有一个和函数它是一致收敛的

这是我们可以证明的第一件事情

第二件事情

这个和函数也是连续可导的

第三件事情 和函数的导数

就当与把这放进去 所以

这个定理实际上证明了这三件事情

好 我们来找一个例子来看一下

∑n从1到正无穷

sin nx除以n的三次方

这当然是一个函数项级数

x是在整个一个实轴上

那么这个函数项级数 我们来看一看

由它的每一项的导数所构成的级数

∑n从1到正无穷

sin nx除以n的三次方的

对x的导数 我们知道 这就等于

∑n从1到正无穷 cosnx

再乘上n除以n的三次方

那么最后呢 除以n的平方

这是由导函数构成的函数项级数

我们知道cosnx 除以 n的平方

是小于等于n的平方分之1的

而∑n从1到正无穷 n的平方分之1

是一个收敛的常数项级数

所以 维尔斯特拉斯控制收敛定理

告诉我们 ∑n从1到正无穷

cosnx 除以n的平方

在整个一个实轴上 都是一致收敛的

我随便找一个点 我取x0就等于0

那么我把x0等于0

代入原来的函数项级数

我们可以知道n从1到正无穷

sin n乘上x0除以n的三次方

每一项都是0

所以呢 它是等于0

那么对于这个函数项级数

我们来看看 定理的条件

第一个 每一项nx除以n的三次方

都是连续可导的函数

第二个条件 ∑n从1到正无穷

sinnx 除以n的三次方

每一项求导之后 是一致收敛的

第三个条件 在x0等于0点

原来的函数项级数

sinnx0除以n的三次方

n从1到正无穷 是收敛的

那么根据定理 我们可以知道

第一件事情 就是 这个函数项级数

它在无穷 sinnx除以n的三次方

在整个实轴上 是一致收敛的

实际上这要证明的话也不难

加一下绝对值

每一项到小于n的三次方分之一

n的三次分之一是一致收敛的

所以这也不难 但是呢

我们可以通过我们刚才那个定理

把这件事情直接就说出来了

第二件事情 它的和函数

∑n从1到正无穷

sinnx除以n的三次方

也是连续可导的

第三个结论 就是和函数的导数

也就相当于我们∑n从1到正无穷

sin nx除以n的三次方

和函数的导数 就等于

我们可以把导数放进去

sinnx除以n的三次方导数的和函数

也就等于 ∑n从1到正无穷

cosnx除以n的平方

所以 三个条件 从定理里面

我们可以得到三个结论

第一个结论 原来的级数是一致收敛的

第二个结论

这个一致收敛级数它就有和函数

和函数是连续可导的

第三个结论 就是

和函数的导数就可以逐项导进去

得到最后那个式子