闭区间上连续与一致连续的等价性在线视频

下面我们介绍一下

在闭区间上连续和一致连续的等价性

函数连续与一致连续的等价性

我们给出一个定理

这个定理有时候在分析里面

也把它叫Cantor定理

它是这样说的

f（x）在闭区间[a,b]上一致连续

它的充分必要条件是

f（x）属于C[a,b]

我想通过这个结论

我们也可以进一步体会到

闭区间和开区间它实际是有本质差别的

它并不是我们从几何的角度来理解的说

闭区间就是比开区间多了两个端点

在数学上讲它并不是说仅仅多了两个端点的事情

正是因为多了这两个端点

才导致它有了一些本质上的区别

因为前面我们说过

就是说函数如果在一个范围上是一致连续的

那么它一定是逐点连续的

但是逐点连续的东西

并不见得一致连续

但现在说如果这个范围是闭区间的时候

这两个性质是等价的

那我们证一下这个定理

首先这个定理的必要性

我们刚才已经证完了

因为我们曾经给出了说

函数在一个范围上如果是一致连续的时候

那么它在相应范围上一定是逐点连续的

特别的在闭区间上那个结论也是对的

所以说我们只证一证这个定理的充分性

充分性也就是说

我们知道这个函数在这个区间上每一点都是连续的

我们来证明它是一致连续的

在每一点连续这又是一个逐点性质

应该是个局部性质

而要证明它在区间上一致连续

这又是个整体性质

这又到了从局部到整体

前面我们有几个问题

是这样的类似情况

我们当时就说过

由局部推整体

直接推一般不太方便

我们的处理方法就是反证的方法

接下来就一个问题

什么叫一个函数在某个范围上

不一致连续

实际上也就是从逻辑上

我们把一致连续的定义

完全给反过来就行了

所以说不一致连续也就是假设

函数f（x）在[a,b]上

是不一致连续的

也就是我们存在一个ε0大于0

找不到δ也就是对任意的δ大于0来说

我都存在xδ和x一杠δ一方面是属于[a,b]

同时它们的距离xδ减掉x一杠δ

这个距离是小于δ

但是加上一个转折

就是它们的函数值却不那么接近

也就是说这两点函数值差的绝对值

是大于等于ε0的

这实际上就是把一致连续定义里面

那些逻辑关系给它反过来

说不是对于任意的ε就是至少有一个

找不到δ就是对所有的

然后在这里面能找到距离不超过δ的两点

但是函数值不那么接近

在这里面因为这个δ是任意的

我们特别的取δ就等于n分之1

n是正整数

这个时候我们会得到{xn}和{x一杠n}两个数列

它们都是包含在[a,b]里面的

这两个数列满足一方面xn减掉x一杠n是小于n分之一的

另外一方面它们的函数值差的绝对值应该是

大于等于ε0的

接下来我们看一下

这个{xn}和{x一杠n}

都是有界数列

请大家回忆一下我们在前面曾经讲过一个例题

说如果an，bn都是有界数列

那么我们能找到一个共同的下标集

使得它们的子列都收敛

在这个地方

我们也说因为它俩是有界的

所以说我们能够找到xnk和x一杠nk

它们都是收敛的

收敛的

我们把它们的极限记成一个是

k趋向于无穷时xnk譬如说是等于ξ

然后k趋向于无穷时x一杠nk等于η

然后接下来我们看一下

因为{xnk}和{x一杠nk}

应该满足这个关系

由xnk减掉x一杠nk它是小于nk分之一的

这样的时候我们两边一取极限

马上就会得到η是等于ξ的

也就是说

这两个数列不仅同时收敛

而且因为它要满足这个关系

所以说它极限值是相等的

相等的之后考虑到因为这是闭区间中的两个数列

它们的极限点ξ和η都属于那个区间里面

所以说函数在这个点应该是连续函数

是连续函数的时候

大家再来看一下

我们这个f(xnk)和f(x一杠nk)

应该同时满足这个关系式

接下来在这两端关于开区间无穷取极限

用上它在极限点的连续性

那这面就是f(ξ)减掉f(η)这面是大于等于ε0

但是大家注意一下

我们已经证明了这两个点是相等的

也就是说这个绝对值是等于0的

现在我们得到了一个不可能的结果

就是0大于等于一个大于0的数

这就是一个矛盾这个矛盾怎么来的

这个矛盾就是因为

我们假设了它是不一致连续

所以导致了一个显然不可能的结论

那你这个假设那就是不对的

这样我们就证明了

在闭区间上连续和一致连续是等价的

所以说闭区间上它有一些很特殊的性质

实际上这个一致连续性就在连续的前提下

能够推出一致连续性也是一个很重要的根据

这是关于闭区间上那接下来我们问一个问题

说如果是开区间

我们知道一般来说

连续并不能推出一致连续

那在连续的基础上

我们再加上什么条件

我们就能推出一致连续呢

在这我们通过一个例题

来解释一下这个事情

这个例题是这个样子的

说f（x）在（a，b）开区间上一致连续

连续两个字我省掉了

然后它的充分必要条件是

f（x）属于C（a，b）

且x大于a，趋向于a时

它的极限与x小于b，趋向于b时的极限都存在

也就是说在开区间上我们在函数连续的条件上

再加上在两个端点的单侧极限存在

就能推出它一致连续

这个我们简单的解释一下

它的证明过程

这个证明过程是这样子的

先证它的必要性

必要性的时候实际上

有开区间上的一致连续性

来推逐点连续性

这个我们前面已经做过了

说我们要证必要性

只要证明在闭区间一致连续的前提下

它在两个端点的单侧极限存在就行了

这个地方就用到了极限存在的充分必要条件

也就是柯西准则

柯西准则在数列时候

我们曾经专门介绍过

当时是这样说的

说n趋向无穷时

an极限存在的充分必要条件是

对任意的ε大于0我们找到一个N

只要m n都在N后面

那么an减掉am的绝对值就应该小于ε

通俗的讲就是只要你这个项数下标足够大

那么任意两项那个值的差别就应该非常小

那对于函数来说

我们简单解释一下什么叫x趋向x0时

这个极限存在的充分必要条件

应该是这样任给一个ε大于0

找到一个δ大于0

就是只要x1到x0的距离小于δ大于0

然后x2到x0的距离小于δ大于0

那我就应该有f(x1)减掉f(x2)的绝对值小于ε

那我们通俗的解释一下

也就是说它在x0这点有极限

它的充分必要条件是这样说的

只要这两个点离极限点x0足够近

它们的函数值就应该足够接近

所以这个跟数列极限的柯西准则是一样的

那我们来看一下就是说

它一致连续

应该这样说任给ε大于0

因为f（x）在开区间（a，b）上是一致连续的

所以我们一定能找到一个δ大于0

只要x1，x2在（a，b）区间里面

而且这个距离不超过δ

我们就有f(x1)减掉f(x2)的绝对值小于ε

特别的就是如果x1x2属于（a到a+δ)时

如果在a的右侧而且离a的距离都不超过δ时

这两点的距离自然是不超过δ的

那在这个时候就有f(x1)减掉f(x2)绝对值小于ε

那根据极限存在的柯西准则

也就是故x大于a趋近a时

这个极限是存在的

类似的当x1，x2属于（b-δ到b)这个开区间时

这个不等式还是成立的

那也就是说

在b那边左侧极限也是存在的

这样我们就证明了

它只要在这个开区间上是一致连续的

那么除了在开区间上每一点都是连续之外

它在两个端点的单侧极限是存在的

那反过来我们证明它的充分性

对这个充分性

我们证明的时候

我们就构造一个函数好了

F（x）就等于就是在x等于a时

我就定义成它在这一点的右极限

在x等于b时我们就定义成它在b这一点的左极限

b这一点的左极限

在其它地方也就是在x大于a小于b时

我就定义成f（x）

这样构造了一个闭区间[a,b]上有定义的F(x)

那请大家看一下

根据我这个定义

F（x）在a这点的函数值

与F（x）在a这点的右极限

是不应该相等的

F（x）在b这点的函数值

与F（x）在b这点的左极限

是不是应该相等的

而在其它地方

F跟f是一样的

所以我们构造的这个函数应该是闭区间

[a,b]上的一个连续函数

当然我们这个F根据刚才的Cantor定理

它就是[a,b]区间上的一个一致连续函数

大范围上一致连续

那么在小范围上肯定更是一致连续的

也就是说我们构造了这个复合函数之后

我们就利用连续在闭区间上连续

是一致连续

大范围连续

小范围就一致连续

而在小范围也就是开区间上

F（x)与f（x）是一样的

这样就证明了f（x）

在[a,b]区间这个开区间上是一致连续的

所以说这个充分性的证明

请大家把具体的过程写下来

写下来

实际上我们就说关于连续和一致连续的关系

还可以推广到无穷区间

关于无穷区间的结论

我给大家说一个提示

如果考虑它在负无穷到正无穷上

比如说它如果是逐点连续的时候

那再加上什么条件它就是一致连续的了

请大家证明这么一个结论

如果函数f（x）在负无穷到正无穷上

是逐点连续的

而且在x趋向负无穷

和x趋向正无穷时的极限都存在

那么函数在负无穷到正无穷上就是一致连续的

当然这个时候

这种说法不能反过来

也就是说不能说因为它在

负无穷到正无穷一致连续

所以函数在这上面是逐点连续

而且在两侧的极限存在

它就不是充分必要的了

它实际是一个单向的结论

这是关于一致连续

和逐点连续之间的关系

这样我们就把连续函数的

有关内容介绍完了

在这里面我们介绍了函数在一点

连续的定义函数间断点的分类

介绍了连续函数的性质

介绍了连续函数的运算

最后给出了连续函数在一个区间上

一致连续的概念以及

一致连续函数的相关性质

这是我们后面在

讨论函数有关问题时经常要用到的

一些概念和有关结论