函数的单调性在线视频

前面我们介绍了利用导数运算

求不定式极限的问题

接下来我们来介绍一下利用导数

来研究函数的另外一个具体问题

实际上就是利用导数的正负号来判断函数的单调性

以及求函数的极值问题

这是我们的第三节内容

也就是函数单调性与函数的极值问题

我们先看一下关于单调性的问题

关于函数的单调性

与函数导数之间的关系

我们在前面介绍拉格朗日中值定理的时候

曾经给出了一个直接的推论

也就是一个可导函数

如果它的导数在某个区间上大于0时

它应该是单调递增的

导数在某个区间上小于0时

它是单调递减的

那导数大于0和小于0应该是它单调递增

和单调递减的充分条件

现在我们给出一个可导函数在一个区间上

单调增和单调减的充分必要条件

我们写成一个定理

定理是这样说的

若f(x)在[a,b]区间是可导的

则f(x)在[a,b]单调递增

也就是单增

它的充分必要条件是

f'(x)在[a,b]上是大于等于0

且等号不能在[a,b]的任何子区间上成立

这是这是它的充分必要条件

也就是说它大于等于0

导数是可以有等于0的点

这句话的意思就是说

它在这个区间上导数等于0的点

不能连成一个区间

那我们给一个简短的证明

这个证明是这样子的

比如说我们先证它的必要性

我们的条件就知道

它是单调递增

什么是单调递增

也就是f(x)是单增的

所以我们就推出

f(x+Δx)减掉f(x)除上Δx

这个时候大家知道

Δx大于0时分子也是大于0 的

Δx小于0时分子也是小于0 的

所以我们就知道这个是大于0的

那么因为它是可导的

根据极限的保号性质

我们就推出

它在x这点的导数自然应该是等于

这个比值的极限

因为比值永远是大于0

所以这个极限自然是大于等于0

所以我们就推出了导数是大于等于0的

接下来我们只要再说清楚

导数在一个子区间上不恒为零就行了

实际上若存在一个[c,d]包含在[a,b]里面

也就是存在它的一个子区间

使得导数是恒等于0的

大家知道

我们拉格朗日中值定理第一个推论就是说

可导函数如果导数在某个区间上恒为0

意味着这个函数在这个区间上是个常数

如果是这样的时候

它就说[c,d]上它是恒等的

恒等与它单调递增就矛盾了

所以说这样就证明了这个必要性

类似的我们再来看它的充分性

充分性是这样子的

根据拉格朗日中值定理

如果f'(x)在[a,b]区间是大于等于0

我们推出f(x)在[a,b]上是单调不减

所谓单调不减就是说

当自变量大时

它对应的函数值一定不会变小

最多就是与那个自变量小的函数值是相等的

这是单调不减

接下来我们只要再证明

它不可能出现在某一个子区间上

就是函数值相等的情况就行了

因为若存在一个x1小于x2

使得f(x1)等于f(x2)

如果存在这种情况

因为它是单调不减的

也就是说明

在[x1，x2]这个范围上

它应该是个常数

它是常数的时候

就意味着它在[x1，x2]这个区间

也就是[a,b]的这个子区间上

导数应该是恒为0

这个时候就应该与我们的条件矛盾了

因为我们的条件是导数大于等于0

且在任何一个子区间上导数不恒为0

我想这样我们就把这个定理证明完了

最后这两句话请大家在复习时给它补上

我想这是咱们这个充分必要条件

这个实际上也解决了我们中学

学导数时一个感到比较困惑的地方

就是说为什么中学谈单调性

总是说导数大于0单调递增

而没法解释说导数大于等于0

有时候它也是单调递增的

有了这个定理之后

大家就知道导数等于0并不可怕

只要导数等于0的点

不能连成一个区间就可以了

这是这个有了这个结论之后

我们来看几个例子

第一个例子也就是说我一个函数

f(x)等于x四次方减掉两倍x平方

我来求这个函数单调区间

实际上这个问题在中学时大家就接触到了

因为它是个多项式函数

所以导数每一点都存在

大家自然就先求它的导数

也就等于4倍的x(x平方减1)

那么通过这个导数

大家就知道

导数等于0的点就有3个

x等于正负1和x等于0

那我们就列个表

这个表就是说这是x的取值范围

这是导数的正负号

这个是函数的单调性

大家看它定义域是负无穷到正无穷

所以你就可以写(-∞,-1)这是一个范围

然后(-1,0)这是一个范围

接下来(0,1)这是另外一个范围

最后一个范围应该就是(1,+∞)

实际上也就是利用导数等于0的这三个点

把它整个定义域分成了四块

那请大家看一下如果x是小于-1的时候

这个因子大于0这个因子小于0

所以导数是小于0的函数是单调递减的

在-1到0之间这个因子小于0

这个因子也小于0

所以乘起来是大于0的函数是单增的

在0到1这个范围里面

这个因子大于0

这个因子小于0

乘起来是小于0的函数是单减的

在1到∞这个范围里面

两个因子都是大于0乘积是大于0的

是不是很容易就把这个函数的单调性

讨论清楚了

或者说我很容易的就把这个函数的单调区间求出来了

关于单调区间

这个地方是开的和闭的

我们都称为单调区间

所以写的时候说我习惯写成闭区间没问题

我习惯写成开区间也可以

我想这是第一个例子

第二个例子有了导数符号与函数单调性的关系

实际上我们就有了工具来处理这类问题

也就是我们证明一下这个结论

这个结论是3倍x小于tanx加上2倍sinx

只要x属于(0,π/2)这个开区间都是对了

就是证明函数不等式

那在具体证明这个例子之前

我给大家说我们有了工具处理一类问题

什么问题

也就是说

我们如果要证明在某个范围上

这个东西都是成立的

现在我们怎么处理

我们就求f(x)的导数

如果我们能证明它的导数在这个范围上是大于0

而且它在左端点的函数值是大于等于0的时候

那么在这个开区间上

我们自然能保证所有的函数值都是大于0的

因为它是单调递增

最小的也是大于等于0

或者说我们一求它的导数

得到了它的导数是小于等于0

而它的右端的值如果是大于0的时候

大家可以想象一下在这个范围上

我们仍然还是可以保证

f(x)大于等于0的

也就是说对一般的函数不等式来说

我们更一般的方法

是利用单调性和它在端点值的正负号

来证明这个结论

回到我们这个具体的题目

大家看我们是不是可以这样构造

也就是说我就令f(x)等于tan(x)加上2倍的sin(x)减掉3倍x

接下来则它的一阶导数应该就等于sec方x

再加上两倍的cosx再减3

因为大家知道sec是cos的倒数

所以这个应该是大于1的

但是2cosx我并不能保证它大于2

所以它两一加起来减掉3

表面上看我并不能确定它一定大于0

或者是就小于0

换句话说在这个题目里面

一阶导数的正负号

仅仅从这个形式上看

我们可能一眼看不出它的正负号是什么

没关系我不就是要判断f'大于等于0

还是小于等于0吗

我把它处理成一个新的不等式

所以我就接下来再来看它的二阶导数

二阶导数我们一求应该是两倍的secx

再乘上sec的导数是secx乘上tanx

然后再减掉两倍的sinx

就是这个

这个当然在这个形式我们也许还不好判断它正负号

但是大家知道作为三角函数来说

我们最熟悉的应该是正弦余弦

而这里面还有正切正割这些东西

所以我们可以给它这样变一下

把两倍的sinx提出来

考虑到正割是余弦的倒数

正切是正弦比上余弦

这就是cos三次方x分之1这就是减1

那么写成这样时候

大家知道在0到二分之π这个范围里面

cos三次方倒数一定是大于1的

所以这个因子是大于0的

在0到二分之π这个范围里面

sinx也是大于0的

所以这个时候

我们就知道在0到二分之π这个范围里面

这个2阶导数大于0

2阶导数大于0说明一阶导数是单调递增的

又f'(0)我们来求一下

x等于0时这是这个应该是1

这个2乘上1减掉3

所以这个是等于0的

这个等于0那么它又单调递增

故f'(x)在这个范围上应该是大于0的

f'(x)大于0

说明函数是单增的

接下来再请大家看一下

又f(0)等于什么

x=0时这是0，这是0，这还是0

所以说这个时候

它在这点的值也等于0

单调递增在左端点的值等于0

所以说我就得到了这个结论

f(x)在这个开区间上应该是严格大于0的

而f(x)严格大于0

自然就意味着我们证明的这个不等式是成立的

我想通过这个例子是不就可以说清楚了

我们在讨论一般函数的不等式时

怎么样利用函数单调性去讨论这个问题

最后我们看一个例题这个例题是这样说的

说f(x)在0,1这个闭区间上是可导的

然后f'这个函数是单增的

而且f(0)等于f'(0)是等于0的

这是我们的三个条件可导导函数是单增

在原点这一点这两个值等于0

我们的结论要证什么

证明g(x)等于f(x)比上e的x次方是单增的

因为大家知道这个g(x)在给定条件下

也是一个可导函数

我们证明它单增

只要证明它的导数大于等于0

而且等于0的点不能连成一个区间就可以了

所以我们在做这个问题的时候

上来就做导数运算这是很自然的

它应该是分子的导数乘上分母减掉分子不动

再乘上分母的导数

再除上分母的平方

那我们整理一下也就是e的x次方

上面是f'(x)减掉f(x)

在这个分式里面分母是大于0的

我们要讨论它的正负号

只要讨论分子的正负号就可以了

分子正负号实际上它给了导数是单增

又给了在0这点的导数值和函数值都等于0

大家看我们要讨论这个正负号

不就是要讨论函数值和导数值之间的关系吗

那讨论这个关系

自然函数值和导数值要怎么联系起来

拉格朗日中值定理

所以我们来看一下

这个f(x)可以写成f(x)减掉f(0)

这个自然就等于f'(ξ)再乘上x

ξ是大于0小于x的

因为自然这个x是0到1之间的一个点

这样证完之后那大家看

我们这个f'(x)减掉就是这个f(x)

就变成了f'(x)减掉x乘上(f'(ξ))

其中ξ是大于0小于x的

那我们来看一下就是这个x乘上f'(ξ)

它应该满足什么

因为它说了导数是单增的

而且f'(0)=0导数单增

f'(0)=0

是不是意味着在0到1这个开区间里面

导数都是大于0的

都是大于0的时候

这个时候自然我们就知道这一个应该是小于这一个的

因为ξ是小于x的

然后所以说f'(x)是大于ξ的

在两边同乘以一个大于0的数

而这一个东西是不是应该小于f'(x)

那这个不等号怎么来的

因为x是小于1的f'(x)是大于0的

所以两边同乘以f'(x)就是这一个公式

有了这个不等关系之后

大家知道f'(x)减掉这个是不是应该是大于0的

所以说这样我们就讨论清楚了这个分子大于0

分母大于0所以这个就是大于0的

因为它的导数大于0

它自然在0到1上就是单调递增的

这是关于函数导数正负号与函数单调性之间的关系

我们除了给出讨论一般单调性和求单调区间的方法之外

我们还介绍了在微积分里面常见的一类问题的处理方法

就是怎么样证明函数不等式