当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第八章 级数 > 第五节 幂级数 > Abel判别法
好 现在我们来讨论一类
新的函数项级数
特别的函数项级数 就是幂级数
所谓幂级数
它是一个特殊的函数项级数
一般的一个幂级数的表示形式
就是∑n从0到正无穷
an (x-x0)的n次方
也就等于 a0加上a1乘上 x-x0
加上 点点点
加上an x-x0 的n次方
再一直加下去
我们把这一个 叫做幂级数
我们可以发现 幂级数本身
就是特殊的函数项级数
每一项都是x减x0的n次方所构成的
所以我们原来讲过的
关于函数项级数的逐项极限
逐项可导 逐项积分
以及函数项级数的一致收敛性
逐点收敛性 所有的结论
都可以放在幂级数上
对幂级数来讲
我们可以有一个更简单的幂级数
就是在x0等于0点
那么这个幂级数 我们把它记成
n从0到正无穷 an x的n次方
上面那个幂级数和下面那个幂级数
实际上就差一个x-x0用x来代替
那这实际上就是一个位移变化
所以基本性质都是差不多的
所以下面的所有的内容
我们都是针对x0取0的时候的幂级数
来讨论 上面的情况完全是类似的
我们把这个x0取0的级数
我们把它叫做麦克劳林级数
上面那个级数我们把它叫做泰勒级数
所以麦克劳林级数
是泰勒级数的一个特例
我们写得简单一点
所以拿麦克劳林级数作为例子来讲
我们对于幂级数来讲
我们有一个所谓的阿贝尔定理
幂级数就是一个特殊的函数项级数
它每一项都有x-x0的n次幂所构成
那么∑n从0到正无穷
an x-x0的n次方
这个我们把它叫做幂级数
当x0等于0的时候
我们把这个化简了的幂级数
我们把它叫做麦克劳林级数
我们下面的问题 为了简单起见
都对这个麦克劳林级数来做讨论
如果幂级数的通项
所构成的数列an x n
在x0不等于0这一点是有界的
那么 原来那个幂级数
在负的绝对值x到正的绝对值x
所构成的开区间内
是绝对收敛的
并且 对于任意的一个常数r
r满足大于0小于绝对值x0
这个幂级数在-r到+r 所构成的
有界闭区间上是一致收敛的
好 下面我们证明一下这个定理
我们知道 an x n次方
在x0这一点是有界的
它有一个界小于M
M大于0 是一个常数 一定有界
那么我们来看一看第一问
对于任意的x属于
负的绝对值x0到正的绝对值x0
范围内的随表找一个x
那么我们可以知道
an x n次方绝对值 等于
an x0 的n次方的绝对值
乘上x除以x0的n次方
根据在x0点这个数的有界性
它一定小于等于一个常数M
乘上x除以x0的n次方
那么我们知道 x在这个范围内
那么x除以x0的n次方
它一定是小于1 大于等于0的
所以 我们知道
由这么一个构成的从0到正无穷
一个常数M 乘上x除以x0的n次幂
因为x除以x0
一定是一个小于1的数
所以由这个小于1的数
构成的幂级数
它一定是收敛的
那么对收敛的级数来讲
我们有一个 叫做 夹逼定理
所以我们知道 原来那个级数
∑n从0到正无穷 an x 的n次方
一定是绝对收敛的
在什么范围内呢
对任意的x属于负的绝对值x0
到正的绝对值x0
一定是绝对收敛的
这是我们第一个结论
就是绝对收敛性
那我们讲绝对收敛的话
实际上 我们是在讨论的
一个事情就是逐点收敛
我们拿一个x进来
我们发现绝对收敛
再拿一个x进来 也绝对收敛
所以我们讨论的是逐点收敛的问题
我们随便取一个 r
0小于r小于x0的绝对值
那么我们来看看
对于任意的x属于负r到正r
我们有an(x)的n次方的绝对值
一定小于等于M乘上r除以x0的n次幂
跟我们这个一样
好 那么我们可以知道
常数项级数 现在是一个常数项级数
∑n从0到正无穷 M实常数
r除以x0实际上都是常数
它的n次幂实际上是一个收敛的
因为r是小于绝对值x0的
所以r除以x0它的绝对值
是小于1的一个常数
它的n次幂构成的级数是一个收敛的
所以由维尔斯特拉斯控制收敛定理
可以知道 原来那个级数
an x 的n次方 n从0到正无穷
是一致收敛的
因为这个函数项级数
被一个常数项级数所控制
而这个常数项级数又是一个
收敛的常数项级数
那么维尔斯特拉斯控制收敛定理
告诉我们 这个函数项级数
在我们所讨论的范围内
它是一致收敛的
所以 这个定理有两个结论
第一个结论是讨论绝对收敛性
实际上是在讨论 逐点收敛性
第二个结论 是讨论一致收敛性
那么我们再引申开来
这个定理它到底告诉我们什么事情
假如说 这是x轴 这是原点
那这定理告诉我们
如果这个级数在一点收敛
在某一点收敛
既然在某一点收敛的话
我们知道 在收敛那一点
通项一定要趋于0
如果通项趋于0了
那么这作为一个数列
它一定是有界数列
一定是有界的
有极限的数列
它一定是一个有界数列
所以如果它在x0这一点收敛
那么构成的an x0 的n次幂
构成的是一个有界数列
既然是个有界数列
这个定理告诉我们
如果在这一点收敛
以x0为半径 就有一个负的绝对值x0
到正的绝对值x0 这一个范围
在这个范围内部它是绝对收敛的
在这个范围 比它小一点点
就是一个一致收敛的
所以 幂级数在一点收敛
就有这一大片都是收敛的
反过来讲
如果幂级数在某一点发散
在x1这一点发散 幂级数发散的
那么以正负的这个负的x1
为这两个 我们可以发现
在这个外面 一定都是发散的
原因很简单
假如说还存在一点收敛的话
是不是它内部就收敛了
这一点就不可能发散
所以说我们知道对幂级数来讲
一点收敛就有一片收敛
一点发散 外面就有一片发散
我们想象一下这么一个过程
我们把看看一点点朝这看
每一点不是收敛就是发散
如果收敛的话 我这点往外走
一直往外走
发散的话 这点往内走 看看
发散 发散 发散 发散 发散
收敛 收敛 收敛 收敛 收敛
总有一个交汇的地方
使得 在这一点的左边是收敛的
在这一点的右边是发散的
而且这个交汇的地方
左右都是对称的
我们把交汇的地方
这一段长度叫做R
所以对于幂级数来讲
它的收敛性的话
一定是可以在负R 到正R
这个区间里面可以是开区间
可以是半开半闭的区间
也可以是 当然也可以是
负R到正R
所以幂级数一旦是有一个收敛的话
那么它的收敛的点构成收敛域
是一个区间
应该是一个连成一片的
而且这个区间 除了端点之外
两个端点我们不讨论
那么基本上是关于x0点
是一个左右对称的区间
既然是左右对称的
我们把这个R
叫做这个幂级数的收敛半径
所以这是幂级数的最大一个好处
而且幂级数在这个收敛半径的
任意一个内部的闭区间上
是一致收敛的
在这个收敛半径内部
它是绝对收敛的
如果我们随便找一个
包含于这个开区间的一个闭区间
它一定是一致收敛的
这幂级数作为一个特殊的函数项级数
因为它简单
它每一项都是一个幂函数
那么它的收敛性比函数项级数
就又要好很多
我们知道它的收敛点构成的
是一个基本上左右对称的一个区间
除了端点之外
它关于原点是一个对称的
那么它所构成的 可能是几种情况
就这么几种情况
所以对于一个幂级数
就有一个所谓的收敛半径
在收敛半径的内部
任意一个闭区间上
它都是一致收敛的
那么如果说收敛半径等于0
就表示这个幂级数
只在x等于0这一点收敛的
如果收敛半径等于正无穷
就表示这个幂级数
在整个一个实轴上都是收敛的
那么我们现在这个定理
阿贝尔定理所讨论的幂级数收敛
是对于这个幂级数而言
对于我们原来所讲的
以x0为中心的这么一个幂级数来讲
那么我们同样可以得到类似的结果
它也有一个所谓的收敛半径
那么对于这个幂级数
它的收敛区域的话
基本上是以x0为中心
左右是正R负R的这么一个区间
有可能都是闭区间
有可能是半开半闭的
也有可能是开区间
但是 就变成了以x0为中心
左右基本对称的这么一个区间
所以这就是幂级数
给我们带来的最大好处
我们知道它的收敛域
是一个基本对称的区间
而这对称的中心点实际上就是x0
对于下面的麦克劳林级数的话
对称的中心点就是在原点
它在收敛域内部是绝对收敛的
收敛域内部任意找一个有界闭区间
它是一个一致收敛的
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
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--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
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-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
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--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
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--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
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--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
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-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
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--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
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-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
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-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
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-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
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-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
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--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
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-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
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--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
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-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
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--函数凸性的判别法
--拐点
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--原函数的概念
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--第一换元法
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-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
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--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
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--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
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--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
