定积分的计算-换元法在线视频

我们知道不定积分的计算

有换元法和分部积分法

那么同样对我们定积分的计算

也有换元法和分部积分法

我们来看一看定积分的计算

换元法

假如说有这么一个函数

我们要算从a到bf（x）dx

要算这么一个定积分

我们给条件

如果说f是一个连续函数

φ（t）是一个C1类的函数

也就是说它所有的

导函数都连续的

在［α，β］这个区间上

并且φ当自变量

当t属于［α，β］的时候

它的值域是包含在f的定义域里面

φ当t取α的时候等于a

φ当t取β的时候等于b

则abf（x）dx就等于

从α到βf（φ（t））

φ的一阶导数tdt

这就是定积分的换元法

我们稍微证明一下

我们记F（x）为

f（x）的某一原函数

F是f的某一原函数

那么我们稍微写得特别一点

那么我们可以知道原来那个定积分

f（x）dx就可以写成F在b点的值

减去F在a点的值

这是牛顿莱布尼兹公式告诉我们的

那么我们来看看另外一个

F和φ（t）的复合对t的导数

就等于F根据复合函数得求导法则

乘上φ的一阶导数t

F既然是f的某一原函数

所以F的导数就等于f

也就是说f函数φ（t）的

复合乘上φ一阶导数t

所以我们就可以知道从α到β

f（φ（t））φ的一阶导数tdt

这么一个定积分的计算就可以写成

F（φ（t））这是它的某一原函数

根据牛顿莱布尼兹公式

下限是α上限是β

也就是说等于F（φ（β））

减去F（φ（α））

我们知道φ（β）是等于

b φ（α）是等于a

所以它也就等于

F在b点的值减去F在a点的值

这样子我们就知道了

这两个实际上是相等的

也就是说我们要给出来的

这么一个关于定积分的

换元法是一个正确的

我们来看一个例子

从1积到4根号x1加上根号xdx

那么对这么一道题来讲的话

我们可以第一个办法

就是我们先不看定积分

我们求不定积分

我们可以用原来学过的办法

把不定积分算出来

然后根据牛顿莱布尼兹公式

把上限下限代进去

这也是一种办法

但我们现在用了定积分的换元法之后

我们可以按下面的定积分的换元法来做

做变量代换令根号x等于t

令根号x等于t之后

那么我们来看一看

当x取下限1的时候

t等于根号1还是取1

当x取上限4的时候

t等于根号x根号4取2

然后t除以1加t

根号x等于t

那么x就等于t平方

所以dx是就等于两倍的tdt

很显然这已经就变成了

一个分式有理函数的积分

我们把它稍微写完整一点的话

是两倍的一个从1积到2

t平方除以1加上tdt

好我减1加1

那么不减不加跟刚才完全是一样的

那么t平方减1

那么又可以通过因式分解

把它写成t减1和t加1

得这么两个因子的乘积

所以它就等于两倍的从1积到2

t减1再加上11加上t这么一个dt

那现在我们当然就很简单了

就等于两倍的我们把原函数找出来

二分之一的t平方减去t再加上ln1加t

下限是1上限是2

我们根据牛顿莱布尼兹公式

我们把2代进去把1代进去

2的平方除以2减去2

加上ln3再减去二分之一的平方

再加上1再减去ln2

稍微化简一下就可以得到

我们想要的这么一个定积分的计算

好我们再来看一道证明题

如果说f是一个连续函数

在－a到a上的连续函数

是一个偶函数

求证从负a到正a f（x）dx

就等于两倍的从0到af（x）dx

f是定义在负a到正a

是关于原点对称的这么一个

区间上的连续函数

并且是偶函数

要证明从负a到正a f（x）它的定积分

就等于两倍的从0到a f（x）的定积分

要证这么一件事情

我们先证明

我们来看看从负a到正af（x）dx

可以写成根据定积分

关于积分区间的可加性

可以写成0到af（x）dx

加上从负a到0f（x）dx

两个区间上的定积分的和

那么我们来看看从负a到0 f（x）dx

也就右边那个定积分

我们做变量代换

令x等于负的u

我们做这么一个变量代换

令x等于负u

那么我们来看一看当x取负a的时候

u正好是取a

所以积分下限对u来讲是a

当x取0的时候当然u还是取0

f（－u）x等于－u

那么dx负的du

因为我们已经讲过

f这个函数是一个偶函数

既然是偶函数

f（－u）就等于f（＋u）

这是偶函数的定义

那么它也就等于负的

从a到0 f（u）du

我们把积分的上限下限颠倒一下

我们原来讲过的性质告诉我们

这个定积分就差一个负号

我们把负号放进去之后

实际上就等于从0到a

我们还知道定积分的积分值

跟这个积分的表达积分变量的

表达符号是没有关系的

那么我们不用u来表示

还是用f（x）dx

所以我们可以知道右半部分的积分

是等于0到a的f（x）dx

我们把这个式子代到上面的话

实际上可以得到两倍的积分

也就是说从负a到正af（x）dx

等于两倍的半个区间上

从0到af（x）dx

那么这道题我们再做一次证法

我换一种证明方法来证

我们来看看我把左边那个函数啊

从负a到正af（x）dx

我把它记成F的a

这时候你会发现a呢是作为变量来用

那么F（a）的这种

这种表达形式正好

是我们原来讲过的

是变上限变下限

所定义的这么一个函数

我们把右边那个函数呢

我们把它叫G（a）

G（a）就等于两倍的

从0到af（x）dx

我们把它叫G（a）

第一个式子当a取0的时候

F在0点是从0到0的积分

0到0的定积分当然是等于0的

所以F当a取0的时候是等于0

G这个函数取a等于0的时候

还是0到0的积分

等于00乘上2也等于0

G取0的时候a取0的时候等于0

所以这两个实际上相等的

F和G这两个函数

在a等于0的时候它们是相等的

我们还知道f是个连续函数

连续函数变限积分

是一个可导的函数

所以F（a）和G（a）

都是可导的函数

那我们来看看F的导数

就等于从负a到正a f（x）dx

这个函数的对谁

我们要写清楚

对a这个变量的导数

那么这是一个复合的变限积分

我们根据变限积分的

它的有关的公式

我们可以知道这就等于f在a点的值

乘上a对a的导数就是1

再减去这是上限下限

f在－a这一点的取值

乘上－a对a的导数正好是－1

也就等于两倍的

又因为f是一偶函数

所以正a负a的话都是一样的

所以两倍的f（a）

我们来看看G这个函数对a的导数

就等于两倍拿在外头

0到af（x）dx这个变上限

纯粹的一个变上限积分对a的导数

当然我们就可以知道

就等于两倍的f（a）

所以我们现在就可以知道了

F这个函数对a的导数

恒等于G这个函数对a的导数

并且F当a取0的时候

等于G这个函数

当a取0的时候的函数值

所以根据微分的知识告诉我们

如果两个函数的导函数是恒等的

那么这两个函数只差一个任意常数

就差一个常数

而且在某一点

这两个函数的函数值相等的

实际上那个常数就是0

也就是说F（a）恒等于G（a）

那么所以最后那句话

在这就不用再写了

我们要证明的那个结论是正确的

也就是说如果f是一个偶函数

偶函数在关于0点对称区间上的积分

等于两倍的半个区间上的积分

那么这道题的话我们还可以稍微再

还有相应的其他的类似的结论

第一个如果f还是一个连续函数

f是一个连续函数

从负a到正a的连续函数

是一个奇函数

则从负a到正a f（x）dx就等于0

也就告诉我们奇函数

在关于原点对称的

这么区间上的定积分一定是等于0

不需要去算的

当然加上连续性条件

这个证明的过程也可以分成两类

第一类我们用定积分的变量代换

或者换元法可以来证明

第二种方法可以用求导数

变限积分求导数的

办法也可以来证明

那么类似的题目还有第三个

如果f是连续函数

在整个一个实轴上定义的连续函数

并且它是一个周期函数

它的周期为T的这么一个周期函数

则从a到a加T f（x）dx积分

就等于从0到T f（x）dx

也就是说一个连续的周期

为T的周期函数

那么无论起始点在哪

只要这个积分的区间的

长度是等于T

那么它都是相等的

都等于从0点到T的

这么一个f（x）dx

也可以用几种办法

第一种就是定积分的换元法来证

第二种我们也可以

用求导数的办法来给它证明

好我们来看看最后一道例题

要求这么一个定积分

0到πxsinx除以1加上cos平方x的dx

那么要指出来的是

这么一个xsinx除以1加上cos平方x

这么一个被积函数

当然这个被积函数是个连续函数

所以没有问题的

它也有原函数也有不定积分

但是这个原函数呢

就是我们所谓的积不出来

也就是说这么一个原函数

它不是一个初等函数

所以从用牛顿莱布尼兹公式

我们先把它原函数求出来

然后再去求这么一个定积分值的办法

实际上在我们这道

例题里边是行不通的

那么恰好我们的变量代换的办法

恰好是可以把它给做出来的

我们来看看这道例题

我们把0到π这个区间分成两部分

一个是0到二分之π

xsinx除以1加上cosx平方dx

加上二分之π到π xsinx

1加上cos平方x的dx

第一个不定积分我们放在那不动

我们来处理第二个不定积分

我们来看看从二分之π到π

xcosxxsinx

1加上cos平方x

这么一个函数的不定积分

我们做变量代换

我们令x就等于π减t

我们做变量代换令x等于π减t

那么x等于π减t

我们来看看积分的下限

当x取二分之π的时候

t恰好是取二分之π

所以积分下限写在下面

t取二分之π

当x取π的时候

t恰好是取0

所以从二分之π到0

x是π减t

sinx也就等于sinπ减t

就等于sint

1加上cosx等于负的cost

但是cos平方x

就等于cos的平方的t

dx就等于负的dt

这有一个负号

这个负号放在什么地方

我把积分的上下限颠倒一下

有一个负号

跟这个负号正好抵消

所以它也就等于从0到二分之π

π减tsint除以1加上cos平方t的dt

我们还是要强调一点

我们讲决定一个定积分的

值到底是大还是小

它有这么几个因素

积分下限积分上限

被积函数的形式

而与被积函数定积分的

积分变量是没有关系的

所以我们把这个t呢又改写成为x

π减x乘上sinx1加上

cos平方x的dx

所以这是我们算的是第二个积分

那么我们原来那个积分

我们把它叫做I

我们把它记成I

I这个积分实际上等于

第一个积分加上第二个积分

你会发现第一个积分和第二个积分

有很多东西是可以抵消的

xsinx1加上cos平方x的dx

加上从0到二分之ππ减x

sinx1加上cos平方x的dx

xsinx除上1加cos平方x

和负的xsinx除以1

加cos平方x正好抵消

一抵消之后剩下

就是π从0到二分之π

上面是sinx除以

1加上cos平方xdx

我们一看好做了

这就是一个所谓的三角有理函数

当然最笨的办法

就是所有的三角有理函数

都是可以通过三角的万能公式

把它写成分式有理函数

然后用分式有理函数

我们经过一大堆化简

把不定积分算出来上下限代进去

当然是可以做的

但是对我们这么一道题来讲

我们那一套办法就显得比较笨了

变量代换是更好的办法

π0到π0到二分之π

dcosx要注意dcosx

等于负的sinxdx

所以前面加一个负号

除以1加上cos平方x

这样的话我们如果要做的话

令u等于cosx

那么就du1加u平方

实际上我们就马上

就直接做出来就行了

等于负πarctan括弧cosx

再下限是0

上限是二分之π

我们把二分之π放进去

正好是0

把0放进去

最后得到的答案

是等于四分之π的平方

所以你不要以为

牛顿莱布尼兹公式就是一个万能的

因为对于有些函数来讲

它的原函数恰好不是初等函数

也就是我们所谓积不出来的情况

那么有的时候变量代换或者

换元法还是有起作用的