一致连续的概念在线视频

前面我们介绍了函数在一点的连续性

我们在介绍有关的内容时

我们反复强调

函数在一点的连续性是一个点性质

是一个局部的性质

接下来我们来看一下

我们有没有办法

把函数在一点的连续性这样的概念

类似的给它推广到一个范围上

如果我们把点连续的概念

推广到一个范围上时

实际得到的就是所谓的一致连续性概念

接下来我们介绍一下函数

在给定范围上的一致连续性概念

这是我们这一章的第三节内容

就是函数的一致连续性

我们先看一下一致连续函数

或者是一直连续性的概念

在讲定义之前我们先看我们曾经处理过的几个例子

比如说我们来考虑一下f(x)等于x分之一

这个函数它应该是属于C（0到正无穷）的

这个结论我们是知道的

现在我们看一下

如果用定义来证明这个结论

我们得到的东西是什么

也就是我们要看一下f(x)减掉f(x0)

这个差的绝对值在x趋向x0时是不是趋向于0

其中x0是这个无穷区间中的任何一点

然后我们写一下

也就是x分之一减掉x0分之一

也就等于x乘上x0上面是x减掉x0的绝对值

因为x　x0都是大于0的

所以分母的绝对值符号就不用写了

到了这个地方之后

大家看一下如果我x趋向x0时

这个是趋向于0的

但是因为这个分母上在x趋向x0时

这个地方我们就是还有一个变量

这个时候来反映这个差的绝对值

与这个差的绝对值之间的关系

实际还有一点点不确定性

但是我们知道

我们考虑的是x接近x0的情况

所以说我们不妨这样说

对任意的x0属于（0到正无穷）

我们只考虑比如说x大于二分之一倍的x0

只考虑这个范围中的

小于二分之一倍的x0的x与这个极限是没有关系的

如果这样子的时候大家看一下

这个不等式我可以给它把分母变小

也就是整个放大变成了

x0的平方分之二

这边是一个x减掉x0

写成这样的时候

那要是用定义来说

你给一个ε大于0

为了让这个东西小于ε

那你的δ应该可以取成二分之x0的平方乘上ε

这个时候大家会发现

我这个δ不仅与这个ε有关

应该与你考虑的这个点有关系的

而且从这个表达式

我们可以直观的看出来

你这个x0越小那对同一个ε来说

我们取的δ应该也是越小的

实际上这个关系从几何上

大家可以通过x分之1的图形能够看得出来

也就是说当x0靠近0时

对同一个ε来说

你取的δ应该是越来越小的

越来越小的也就是说

在不同的点对于同一个ε来说

你取的δ是变化的

我们前面还曾经处理过这个例子

说f（x）等于sinx它是属于C（负无穷到正无穷）的

我们当时证明过程中

也用到了sinx减掉sinx0这个绝对值

我们用了所谓的和差化积公式

这个也就写成了2倍的cos二分之x加上x0

乘上sin二分之x减掉x0

然后把cos的绝对值放大到1

利用sinx绝对值小于等于x绝对值

说我们等式放大到了x减掉x0

说在这个具体的函数里面

我们会发现如果对于给定的ε

我们为了使这个东西小于ε

实际我们只要把δ取成ε就可以了

也就是说这个时候

对于这个函数来说

即使你对不同的点x0来说

对于同一个ε我们取的δ是可以一样的

实际上在连续性方面

这个函数的连续性

与这个函数连续性

尽管都是点连续的

但它还是有区别的

那我们所谓的一致连续性是什么

就这两个函数来说我们就说后面这个

sinx这个函数在负无穷到正无穷上

是一致连续的

因为这个函数对一个ε来说

我们可以对所有的点

找到一个共同的δ来满足要求

那我们把一致连续的定义写出来

也就是说假设f（x）在某一个范围I上有定义

若对于任意的ε大于0

我一定存在一个δ大于0

使得只要x1，x2属于I

且x1减掉x2的绝对值小于δ

我就有f(x1)减掉f(x2)这个小于ε

如果它满足这个性质

我们就说这个函数f（x）

在我们考虑的范围上是一致连续的

那直观的想也就是

只要在这个范围中

任意两点的距离足够小

那么这两点函数值就应该足够接近

这个所谓一致

就是说我这个δ只与ε有关

而与你具体在哪个点来考虑是没有关系的

那有了这个定义之后

你比如说我们再看一个例子

再看一个例子就是说

我们可以证明一下f（x）等于根下x

在a到正无穷上是一致连续的

其中这个a是大于0的

你就证明这个简单函数在这个范围上是一致连续的

那我们的证明思路是这样子的

我们先考虑一下f（x）减掉f（x0)

也就是等于根下x减掉根下x0

我们要把这个函数值的差

与两点的距离联系起来

所以这个很自然的我们就做一个有理化

所以有理化就是等于上面就是x减掉x0的绝对值

底下就是根下x加上根下x0

写到这一步之后

因为我们是在a到正无穷这个范围上

来考虑问题

所以我们的根下x根下x0都应该是

大于等于根下a

我们把分母变到最小

那么也就是小于等于2倍的根下a分之一

x减x0的绝对值

我想我们分析到这一步

你就知道我们要证的结论是对的

为什么因为我们为了使得

这个函数值差的绝对值小于ε

只要使得后面这个东西小于ε就行了

而从后面这个不等式里面

大家看一下对给定的ε来说

我可以把δ取成2倍的根下a乘上ε

换句话说

对给定的ε

我确确实实是找到了一个共同的δ

只要在这个范围中的两点

距离不超过我刚才取的那个2倍的根下aε

那么函数值差的绝对值

自然就不会超过ε

所以它应该是一致连续的

在这给大家留一个问题说

我们能不能就是留给大家的问题

能不能证明f(x)等于根下x在0到正无穷上

一致连续那大家要注意一下

我这个例题里面

我这个a大于0在证明过程是有用的

因为我把分母都给它缩小到根下a了

所以这样我证明的时候

当然就是一个比较简单的证明

但现在我把那个a取成0了

取成0的时候

那么我刚才这个证明过程就不能

直接套用了但是请大家想一下

我怎么样来处理一下

在零点附近的情况

这是一个问题留给大家

然后接下来

我们来看一个例题

就是证明一个结论

这个结论就是说

如果f（x）g（x）在I上是一致连续的

那么它的线性组合也是一致连续的

也就是对于任意的αβ属于实数

我这个αf（x）加上βg（x）在I上

也是一致连续的

这是我们要证的结论

实际上这就是说一致连续应该是有所谓的

加法运算数乘运算

或者说一致连续函数经过求和运算

还是一致连续的

经过数乘运算还是一致连续的

实际上这个结论的证明很简单

也就是我们要证一下

αf（x）加上βg（x)减掉αf（x0）再加上βg（x0)

这是看看当x与x0的距离足够小时

这个绝对值是不是足够小

那你要想你的条件是什么

你的条件是这个两个函数

都是一致连续的

也就是说我们的条件是

f（x）减掉f（x0）的绝对值我知道可以足够小

g（x）减g（x0）的绝对值也是可以足够小

那这个问题就简单了

你直接把它写成α的绝对值乘上f（x）减掉f（x0）的绝对值

当然用三角不等式

我再写成一个绝对值的时候

把这个等号写成小于等于号

然后就是加上β绝对值乘上g(x)减掉g(x0)的绝对值

写到这一步之后剩下的问题

大家看看你能不能写的出来

我给大家简单说一下任给ε大于0

因为f和g在这上面一致连续

所以我们存在δ大于0

只要x减掉x0的绝对值小于δ

就有f（x）减掉f（x0）的绝对值小于ε

同时也有g（x）减掉g（x0）的绝对值小于ε

从而这时候这个绝对值

它应该就小于等于α的绝对值加上β的绝对值括号完再乘上ε

也就是说还是可以任意小的

所以说一致连续性的线性运算性质证明是很简单的

那接下来我又提两个问题

就是说一致连续它有线性运算

也就是有加减运算

那我问有没有乘法运算

点连续是有乘积运算的一般来说

一致连续性是没有乘法运算的

还有一致连续性也没有除法运算

实际没有乘法运算就是说

在同一个范围上的两个一致连续函数

它的乘积不见得一定是一致连续函数

而两个在同一个区间上一致连续的函数

它的商也不见得是一致连续函数

这样的例子请大家想一下

x方在负无穷到正无穷上

它的一致连续性结论是什么

再回忆一下

我们刚才举的这个例子

x分之一在0到正无穷上它应该

不是一致连续的

但是f（x）等于x在0到正无穷肯定是一致连续的

我想这是关于一致连续性的概念

我们知道函数在一个区间上的一致连续性这个性质

实际上是一般情况下来说

是没有乘法运算和除法运算

那我们看一下复合函数这种运算能不能

保持一致连续性这个性质

我们做一个例题来看一下

我假设f（u）在某一个范围I上

一致连续

然后g（x）在区间[a,b]上是一致连续的

且我这个g（x）也就是

这个函数值应该是属于I的

我们来证明这个结论

则f（g（x））在这个区间[a,b]上是一致连续的

也就是说这个例题告诉我们

复合函数它是保持

一致连续性这个性质的

接下来我们看一下这个结论的证明

首先我们要搞清楚

我们要证这个复合函数

在这个区间上一致连续

也就是问对任意的ε大于0

我们能不能找到一个δ大于0

只要闭区间[a,b]中任意两点间的距离

不超过δ那么它对应的复合函数值差的绝对值

就不超过ε

所以我们先看一下

任给ε大于0我们的条件是什么

我们条件是f（u）在I上是一致连续的

根据这个函数

f（u）在I上一致连续

根据这个条件

我们就找到一个δ1大于0

就是当u1，u2属于I

而且它们的距离不超过δ1时

我们就有

f(u1)减掉f(u2)这个绝对值小于ε

这是这个一致连续性条件

接下来因为我们还知道g（x）

在[a,b]这个区间上也一致连续

所以对于我们刚才找出来的δ1大于0

因为这个g（x）在区间[a,b]上

是一致连续的

所以我们一定能找到一个δ大于0

只要x1，x2在这个区间里面

而且它们的距离又不超过δ

我们就有g(x1)减g(x2)这个差的绝对值小于δ1

那么这两点的距离不超过δ1

我们利用刚才得到的这个结果

也就是只要这两点距离不超过δ1

它们对应的f的函数值差的绝对值

就不超过ε

所以说我们就得到下面这个结论

f（g（x1))减掉f（g（x2))这个绝对值小于ε

写到这我们就看一下我们现在证明了什么事情

我们证明了对任意的ε大于0

确确实实找到了一个δ大于0

只要x1，x2属于[a,b]

且距离不超过δ

我们就有这个不等式成立

这正好是这个复合函数在区间[a,b]上一致连续的定义

这样我们就证明了这个结论

这说明

对一致连续这个性质来说

经过加法运算减法运算以及复合运算

它应该还是仍然保持的

但是

经过乘法运算或者是除法运算之后

一致连续性这个性质

不见得还能保持下来

这是关于它们的概念以及简单的运算性质