定积分的概念在线视频

我们开始新的一章就是定积分

我们首先讨论定积分的定义

定积分实际上是一个很古老的一个话题

那么我们来看一下很简单的一个例子

这个例子也是一个很古老的一个例子

如果说给了一个函数y=f(x)

这是一个函数

x是在[a,b]区间上是有定义的

我们提条件

它是在有界闭区间上的有界函数

并且我们在提一个额外的条件

不妨假设f(x)在[a,b]区间上是大于等于0的

我们画一下图看一下

这是x等于a这是x等于b

这个是y=f(x)的图形

我们把x=ax=b连上之后

我们可以发现我们把这个区域

这样一种平面区域的图形

我们把它叫做曲边梯形

我们把这个曲边梯形叫做S

我们要求S的面积

曲边梯形的面积

这个面积我们同样也把它记成S

那么我们的祖先是这么来求它的面积的

分这么几个过程

第一件事情我们现在知道

我们会算面积的图形

只有是直边的图形

哪怕是很复杂的

只要是直边的图形

我们都可以通过分割

把它分成一个一个的小三角形

每一个小三角形的面积

我们都是可以算的

而曲边图形的话

即便是一个很小的曲边图形

只要是曲边图形

那么我们的面积都是不会算的

所以我们要做的事情

是下面一些过程

第一件事情我们作分割

分割[a,b]区间

那么我们把[a,b]这个小区间作分割

指的就是在[a,b]这个小区间里面

我们加上若干个点

我们加上若干个点

使得a就等于x0

小于x1小于点点点小于xn就等于b

也就是说我在[a,b]的小区间里面

加了n-1个点

那么显然这个分割

是我们说具有任意性的

也就是说不同的人有不同的分割

比如说最简单的一种情况

就是平均分割

把它分成n等份平均分割

那么还有更复杂的一些情况

所以这个分割

是不同的人可以作不同的分割

分割完了之后

我们对这个分割我们就要来找一个量

来刻划你这个分割的细致程度

有的人可以分割得很细

有的人就可以分割得很粗糙

所以分割的细致程度和你n

也就是分割的数目

实际上是没有太大关系的

我们可以想象这么一件事情

我把[a,b]这个区间作分割

我把它分成两段左边那个段

我使劲地在那分越分越细

而右边那个段我就不分了

你会发现在这种情况下

分割的点数n是趋于正无穷的

但是这种分割

无论如何你不能说是分割得很细

所以我们要找一个量

来刻划你这个分割

到底分割得细

还是分割得粗

这个量我们是找这么一个

找一个λ这个量

它是一个max也就是最大值

哪个最大值Δxi

i等于1一直到n

其中这个Δxi指的就是xi减去xi减1

i从1到n

也就是Δxi指的就是这一小

每一小段的它的长度

一共有多少段一共有n段

在这n段的小的直线段的长度里面

我找一个最大值

我把这个最大值叫做λ

我拿这个λ作为一个尺度

来刻划你这个分割的细致程度

可以想象一件事情

就是λ如果趋于0的话

那么n一定是趋于正无穷的

反过来来讲

按我们刚才那个分割的办法来讲

我们分成两段

左边那个段使劲在那分

右边那个段不动

所以这个λ的值无论你n是取多少

λ的值就是二分之一的b-a

它不会是很小的数

所以λ这个值

是精确地反映了

你这个分割的细致程度

第二件事情

我们把它叫做取点

在(xi-1,xi)这个小区间里面

我取一个点ξi属于它

一共取了多少呢

一共取了n个点

我们说这个取点

也是具有任意性的

在每一个小段上我们取点

有人愿意取左边那个点

有人愿意取右边那个点

有人愿意取中间那个点

实际上的话我们的ξi的取点

就是在这个小区间里面

我们说任意取点

不同的人有不同的取法

我们取了点了之后

我们来看看每一个小区间

我们把它放大一下

我们看看这么一个小区间

假如这是一个小段

如果说我们把每一小段的

面积都给它算出来了之后

我们这个面积的累加

就是整个一个曲边梯形的面积

如果你仔细看的话

实际上每一个小段

它仍然是一个曲边梯形

每一小段的面积你仍然是求不出来的

所以为了求每一小段的面积

我们要作近似

怎么近似

我们以f在ξi这一点

也就是说我这一小段上取了一点

以这一点的高度为

它的整个一小段上的平均高度

也就是说我拿这个上面切了平了之后

这么一个小的长方形

作为小的这一个曲边梯形的面积的近似值

那么这个小长方形的面积等于

f(ξi)是高宽度是Δxi

我们把这个叫做Si

这一小的曲边梯形的面积的近似值

小的面积的近似值知道了之后

那么整体曲边梯形的近似值

就可以写作Σi从1到nf(ξi)Δxi

也就是说每一小的曲边梯形的面积

一条一条一条一条累加起来

那么每一次累加都是有误差的

因为每一个小的曲边梯形的

面积都是一个近似的

所以说最后我们的得到的整体的面积

它也是一个近似值

可以想象这么一件事情

直观上告诉我们

我们这个分割取得越细

实际上每一小条的曲边梯形

用一个小条的长方形来做近似

这种近似它的误差就应该是越小

分得越细误差越小

分得越细误差越小

那么我们想

越来越细越来越细

细到极限的情况是什么

就是我们第四个过程取极限

limλ就是刚才我们想的

就是来刻划它的细致程度的一个量λ趋于0+

Σi从1到nf(ξi)Δxi

那直观的经验告诉我们

如果说这个极限存在

那么这个极限才真正是

跟我们这个曲边梯形的面积差不多的

所以我们把这个极限值

就叫做这个曲边梯形的面积

如果存在那么把极限值

就叫做面积

这么一来我们把这个面积

算是求下来了

但是我们会存在一个问题

什么问题我们讲

在我们所做的过程中间

我们有一些是人为的东西

什么叫人为的东西

分割是任意取的

也就是说张三有张三的分割

李四有李四的分割

这是有很多的主观的因素在里面

取点也是任意取的

张三有张三的取点

李四有李四的取点

这些东西实际上都是主观的东西

而这个面积一个曲边梯形的面积

它本身就是应该客观存在的一个东西

它是一个客观的一个量

不会因为你张三去算

算出面积是1

李四去算算出的面积是2

那么这就不叫是一个客观的量

所以我们算出来的这么一个极限值

是基于这些主观因素上我们才算出来的

而我们要求得到的那个面积值

是要得到一个客观的面积值

问题就来了那么这么算出来的

是不是真正是一个面积

为了做到这一点

我们还要加上第五个过程

要来判断这么一个极限值

Σi从1到nf(ξi)乘上Δxi

这个极限值

与刚才我们讲的两个主观因素

分割的任意性

和取点的任意性要无关

也就是说需要你去证明这件事情

这是需要证明的

证明你这个极限值

与你分割的任意性

和取点的任意性都无关

如果能够证明了之后

我们把这个极限值

就叫做面积

我们现在我们就发现

很困难很困难的一件事情

你如何去证明面积无关

那么这就是我们

下一节要讲的

就是关于什么样的一个函数

才叫可以做定积分的

什么样的函数就不能做定积分的

好下面我们给出函数f(x)

在[a,b]区间上的定积分的完整的一个定义

f(x)是一个函数

它是定义在[a,b]这么一个

有界闭区间上的有界函数

我们做下面几件事情

第一个分割

a等于x0小于x1小于小于xn等于b

其中Δxi我把它定义成为xi减去xi-1

λ就等于maxiΔxi

第二步是取点

取ξi属于xi-1到xi这个小区间上

第三步求和Σi从1到nf(ξi)乘上Δxi

我们给这个和取了一个名字

叫做Riemann和

第四步求极限

limλ趋于0+ Riemann和的极限

i从1到nf(ξi)乘上Δxi

第五步是证明

这个极限λ趋于0+Σi从1到nf(ξi)Δxi

这个极限值与分割的任意性

与分割取点它的任意性无关

如果说我们能够用12345

这五个过程都能够做到

那么我们把这个Riemann和的极限

i从1到nf(ξi)乘上Δxi

我们把这个极限的值

就叫做f(x)这个函数在[a,b]区间上的定积分

f(x)这个函数在[a,b]这个区间上的定积分

我们给这些符号一些名词

我们把这个b

叫做积分上限

这个a叫做积分下限

f叫做被积函数

x我们把它叫做积分变量

那我们还可以得到一个结论

我们大家想一下

我们刚才讲

一个面积确定一个面积

是大小曲边梯形的面积大小

是由这么几个因素确定的

第一个因素是f这个函数值

第二个因素是ab和两个点

来确定来确定曲边梯形的面积

所以一个定积分

确定一个定积分的值的大小

它也有这么几个因素

被积函数以及ab

积分下限和积分上限的取值

那么我们来看看跟谁无关

实际上来讲这个定积分

与x的符号没关系

或者说如果定积分存在的话

从a到bf(x)dx这么一个定积分

它也可以写成从abf(t)dt

你要愿意的话也可以写成从a到bf(u)du

这都是完全就是一个数

因为你看这三个定积分

被积函数是一样的

积分上下限也是一样的

所以积分值当然都是一样的

所以在不同的场合

我们对于积分变量

可以有不同的写法

只要不引起混淆的话

都是允许的