8-8 正项级数的比值判别法在线视频

前面我们讨论了正项级数的

比较判敛法和比阶判敛法

实际上从判敛法的内容

比阶判敛法的一般形式也好

还是比阶形式也好

实际上非常直观

我们很容易接受

但是

在比较判敛法里面

是有一个问题的

也就是说

我们本来就是判断

一个正项级数的敛散性问题

但我们为了说明它的敛散性结论

我们必须要找一个正项级数

来与它做比较

也就是说

我们能不能用好比较判敛法

依赖于

我们能不能找到一个

比较合适的正项级数

与我们的级数做比较

也就要借助于外力

这当然在实用方面会受到一些影响

接下来

我们来介绍正项级数的

另外一个判敛法

这是在微积分课程里面

我们对正项级数判敛

实用最广的一种方法

这就是所谓的比值判敛法

比值判敛法

它的内容

我们写成一个定理

比值判敛法的内容是

我们设an是大于0的

而且an+1比上an在n

趋向无穷时的极限是等于c的

那么 第一个结果

就是 如果c小于1

那么以an为通项的级数

就是收敛的

如果c是大于1

或者是说c是正无穷大量

那么以an为通项的级数

是发散的

同时 我们还能知道

an这个数列是个正无穷大量

实际上 从比较判敛法的内容

我们可以看出

比较判敛法

也就是借用这是正项级数

本身的通向

也就是让它的

后一项与前一项做比值

我们来看看

这个比值在n趋向于无穷时

它的极限是否存在

如果在极限存在的时候

那么当极限值小于1时

我们的结论就是

正项级数是收敛的

如果极限值大于1时

我们的结论是级数一定发散

同时我们不仅知道它发散

而且知道它的通项

这个时候还是一个无限大量

当然通项是正无穷大量

要比这个级数发散是一个更强的结论

这是关于比值判敛法的内容

这个判敛法

应该是由法国数学家

达朗贝尔在1754年给出的

所以一般教材里面

对比值判敛法也称为达朗贝尔判敛法

达朗贝尔判敛法指的就是比值判敛法

现在 我们证明一下

这个判敛法为什么在这个条件下

能得到相应的敛散性结论

我们先证第一种情况

也就是条件是

后一项比前一项的比值

它的极限是等于c c是小于1的

那么 根据极限定义

我们知道 从某一项开始

也就是存在大N大于0

当n大于N时

我们就有

下面这个不等式成立

也就是an+1除上an

它应该是小于二分之1+c

这个应该是小于1的一个数

这是根据极限定义得出来的

这样子的时候

那么当n大于N时

我们就知道这个an+1

它就小于二分之1+c乘上an

它也就小于二分之1+c括起来的平方

这是an-1 an-1

这样可以一直到

就是说

小于 就是二分之1+c的

譬如说 这个地方到了大N

到了大N 或者是到了大N+1

这个应该就是n-N次方

因为

这个方次与这个下标加起来

应该是n+1

这样一做的时候 大家看一下

这个n就是小a的N+1项

它应该是个常数

而我们这个二分之1+c

是个大于0小于1的数

那么以这个做通项的级数

应该就是一个收敛的几何级数

收敛的几何级数时

那么根据正项级数的比较判敛法

我们就知道

以这个an+1做通项的级数就是收敛的

当然 也就是

以an为通项的级数是收敛的

所以说

这就是第一个的证明

我们用的是极限的性质

极限的性质

最后借用了

收敛的几何级数的特点

以及正项级数的比较判敛法的一般形式

接下来我们来看第二个结论的证明

第二个结论是这样子的

就是

我们因为在n趋近于无穷时

后一项与前一项比值极限存在

c是大于1的 大于1的

所以 我们知道

在n充分大时

这个比值应该是大于1

也就是存在一个N大于0

当小n大于大N时

我们就有an+1比上an

它应该是大于

譬如说 二分之1+c

这个实际是大于1的一个数

跟刚才的证明是类似的

这时候 如果我们的n大于N

我们就能推出

这个an+1它就大于二分之1+c

这是一个an

然后继续用这个关系

也就是二分之1+c它的平方

这面就是an-1

这样我们一直可以用到

就是二分之1+c

这个地方到了aN+1

这面就是n-N

在这里面

这个因子是个常数

而二分之1+c在c大于1的前提下

它应该是个大于0的数

那么 n趋向于无穷时

这个自然是一个正无穷大量

那它是正无穷大量

所以我们就推出了这个级数的通项

也就是n趋向于无穷

an+1当然是正无穷大量

它是正无穷大量

自然它就不满足级数收敛的必要条件

因为级数如果收敛时

它是通项应该是无穷小量

所以就进一步得到了

这个级数它是发散的

发散的

所以说

在这个比值判敛法里面

在c大于1的前提下

我们首先能够证明

它的通项是正无穷大量

从而我就得到了这个级数

是发散的这个结果

我想这是比值判敛法的证明

当然在这个地方

我们这个c大于1

刚才我们说极限存在大于1

实际上

即使这个比值的极限不存在

但它是正无穷大量的时候

大家想一想

正无穷大量我应该这样说

我更能证明它的通项是正无穷大量

自然也能得到它发散的结论

所以说这个c大于1

包括极限存在大于1

包括c就是正无穷大量

这是一个

另外在这个定理里面

大家当然会发现

说极限如果存在

除了小于1大于1之外

它当然可能等于1

实际上

这是我们比值判敛法一个很大的遗憾

就是说

如果后一项跟前一项的比值极限存在

但是恰好等于1的时候

我们的比值判敛法就无能为力了

譬如说 我们举个例子

如果我们考虑的是p级数

也就是n的p次方分之一做通项

那么 对这个级数来说

它的后一项

跟前一项的比也就是一个

n+1的p次方分之n的p次方

这个当然也就等于

n比上n+1括起来的p次方

我们知道

无论p等于什么

这个后一项与前一项的比值

在n趋向无穷时极限总是1

也就是说

对p级数来说

我们这个c总是等1的

但是我们知道

p大于1时p级数是收敛的

p小于等于1时p级数是发散的

也就是说当极限等1时

我们无法直接给出它的敛散性结论

如果在处理正弦级数判敛法时

用比值判敛法碰到这种情况

这个时候我们一定要想

用其他的方法去处理

好 接下来我们来看一个例题

这是一个正项级数

它的通项是分母n的n次方

分子是n的阶乘

那么 对这个正项级数

我们如果用比值判敛法

是不是应该这样说

因为对这个级数来说

它的后一项跟前一项之比

我们写一下 应该就是

n+1它的阶乘n+1的n+1次方

这是后一项 比上前一项

也就是乘上n的阶乘分之n的n次方

那根据阶乘定义

这个n的阶乘跟这个阶乘号

是可以消掉的

这个n-1跟下面这个n+1次方的1

是可以消掉的

所以说 这样

我们就把这个后一项

跟前一项的比值

给它表示成这个样子

也就是1除上

这实际上是1加n分之一的n次方

而这个表达式是我们熟悉的

它的极限应该是e分之一

当然极限是存在而且小于1的

所以我们就说

因为后一项与前一项的比值的

极限存在而且小于1

所以 我们的结论

就是这个级数是收敛的 收敛的

我想这是利用比值判敛法

来判断一个

具体级数收敛性的一般过程

当然 我们什么时候用比值判敛法

因为比值判敛法是牵扯到

通项里面的后一项与前一项的比值

所以 如果我们发现

正向级数的通项里面

牵扯到多个因子相乘相除

或者阶乘或者是乘方等等

这样的运算的时候

我们首先应该想到比值判敛法

因为有这种特点的表达式

如果我给它做除法的时候

它有可能就像这个例子一样

我把许多我不喜欢的项给它消掉了

剩下的当然是我们比较熟悉的项

我想这是我们选用

比值判敛法的一个基本的特点

接下来 我们再来看另外一个例题

另外一个例题我们就来求两个极限

第一个 n趋向无穷时

n的n次方除上n的阶乘

再乘上3的n次方

第二个极限 我们来求一求

n趋向于无穷时

然后n的n次方除上n的阶乘

再乘上2的n次方

这两个极限都是数列极限

实际上 它两个的差别

就是我把第一个数列中

分母上的3的n次方

变成了第二个数列中

分母上的2的n次方

也就是第一个数列它的通项

每一项要比第二个数列的通项要小一些

那我们看一下这个小一些

到底小多少 影响是多大

当然

我直接把它做一个数列极限来求的时候

大家知道

这里面的运算基本都是我们不喜欢的

阶乘运算 n的n次方

我用初等的方法是处理不了的

但现在大家看一下

我们下面这个解答过程是不是可以

也就是说 因为

我这个数列的后一项跟前一项之比

应该是n+1的n+1次方

除上n+1的阶乘 乘上3的n+1次方

这是后一项

跟前一项之比

也就是乘上n的n次方分之n的阶乘

再乘上3的n次方

我来考虑这个比值的极限

那在这个表达式里面

这个3的n次方跟这个n+1次方消掉

剩下一个3

而这个阶乘跟这个阶乘号消掉

剩下一个n+1

这个n+1跟这里的方次上的1消掉

所以大家看一下我们的结果

是不是写成了这个样子

也就是n趋向于无穷时

这个就牵扯到了分母上是个3

分母上是个3

分子上是个1加上n分之一的n次方

这是n+1的n次方

这里除上一个n的n次方

这个也就等于三分之e

当然是小于1的

这样我得到了后一项跟前一项

做比值极限存在小于1

我是不是就可以直接说

所以我们要求的这个极限

也就是n的n次方

除上n的阶乘乘上3的n次方

这个极限是不是应该等0

因为根据比值判敛法

我们知道在这个条件下

我们能够证明

以它为通项的正项级数是收敛的

而正项级数收敛的必要条件

自然是它的通项要趋向于0

这是这个 如果我们来求

第二个数列的极限的时候

大家看一下

我们只要把刚才这个解答过程里面的

3变成2就可以了

换句话说 对第二个数列来说

如果我们后一项比前一项

那么 它的极限应该是什么

它的极限应该是趋向于二分之一

这个是大于1的

那么在这个条件下我们知道

这个数列它应该是个正无穷大量

这就是我们比值判敛法里面

在第二个结论里面得到的结果

所以说

我们这两个数列的极限

就讨论清楚了

第一个数列的极限是0

第二个数列

它是一个正无穷大量

实际上 刚才我们说

不过就是把3变成了2

好像差了一点

但这一点好像差的有点过了

把无穷小量变成了无穷大量

实际上这两个例题

也就说清楚了

我们有了级数的有关结论之后

实际上 我们可以

利用级数的有关结论去处理

特殊的有关数列的极限问题