Rolle定理在线视频

下面我们来介绍一下中值定理中的第一个定理

就是所谓的Rolle定理

Rolle也是近代法国的著名数学家

这个定理它的内容是这样说的

也就是若f(x)满足这么三个条件

第一在闭区间[a,b]上是连续的

第二个条件是在开区间内是可导的

第三个条件f(a)等于f(b)

也就是我们平时说的闭区间连续

开区间可导

端点值相等

如果满足这三个条件的时候

则存在ξ属于(a,b)开区间

使得f'(ξ)等于0

也就是说当它满足这三个条件时

它在这个区间里面

至少有一个导数等于0的点

这是除了费马定理之外

我们Rolle定理又给出了一个

在什么条件下一定存在导数等于0的点

接下来我们先对这个定理做一个证明

这证明首先有一个特殊情况

我们先排除掉

就是说如果f(x)是常函数

它自然同时满足这三个条件

当然它也自然满足存在一点导数等于0

因为它在任何一点的导数都等于0

所以我们在证明的过程中

我们不考虑是常函数的情况

接下来我们来看一下

就是说一般的满足这三个条件的函数

是什么样子

就是因为f(x)是属于C[a,b]的

也就是闭区间上连续

所以根据闭区间上连续函数最大最小值定理

我们一定能找到一个点

比如说x_1还有一个点x_2属于[a,b]

使得f(x_1)是小于等于f(x)

小于等于f(x_2)的

对所有的[a,b]区间上的点x来说都对

也就是说它是有最大最小值的

那我们考虑到第三个条件

第三个条件是说端点值相等

如果它不是常函数的时候

在第三个条件下

那么最大最小值中至少有一个是要在开区间取到的

开区间取到的

那我们不妨假设

不妨假设就是说

这个f(x_1)这个最小值在开区间取到

那我就记或者是记这个ξ就等于我这个x_1

这时候它就属于(a,b)

那么它是最小值

自然也是极小值

那根据前面费马定理说

导数存在的极小值点

导数一定等于0

那么也就是f'(ξ)应该就等于0

这样我们就证完这个Rolle定理

所以有了费马定理之后

Rolle定理的证明应该是很简单的

它就利用了闭区间上连续函数一定有最值

最值如果不在端点取到

那么就在开区间内取到

在开区间内取到

那么它导数就应该等于0

接下来我们从几何上来看一下Rolle定理反映的现象是什么

它实际上就是说

你这里有一条曲线

如果这条曲线两个端点在一条水平线上

而且它的每一点都是连续的

在开区间内它可导的时候

它就说它至少有一条水平的切线

实际上我们这个图上

它应该由两条水平切线

实际这个从几何上解释

它的存在性也是很显然的

因为我们让这两个端点的连线

沿着y轴方向平行移动的时候

在移动的过程中

至少有一个位置

是要与这个曲线相切的

那么相切的位置导数自然是等于0的

这是Rolle定理从几何上反映的现象

Rolle定理我们用的时候

大家一定要注意这三个条件要同时满足

我们才能保证这个结论一定存在

如果条件不同时满足的时候

我们没法得到这个结果

比如说这样的图形

说一条折线它自然满足闭区间连续

端点值相等

但因为折利率有个尖点

它不满足开区间可导

大家可以看这条曲线它就没有水平切线

再比如说

说有一条线段

但是在这个点上有定义的时候

给它拿下来

这是这个函数它自然也满足端点值相等

同时开区间内可导

但是它在这个地方间断了

它不满足闭区间连续

自然也找不到水平的切线

也就是说这个条件只要有一个不满足

它就有可能不存在导数为0的点

我们自然就不能把它作为一个结论来用了

这是关于导数

就是Rolle定理从几何上反映的现象

我们在用Rolle定理的时候

需要验证一下它的条件

Rolle定理我们还有一个常用的推论

这个推论是这样说的

我假设说f(x)可导

也就是每一点导数都存在

那么就是方程f(x)等于0的两个不同实根之间总有

f'(x)等于0这个方程的实根

实际上也就是说

如果我从方程有解无解的角度来讲

Rolle定理可以说

f(x)等于0这个方程的两个不同实根之间

至少要有这个f'(x)等于0这个方程的一个实根

这个当然是显然的

相当于在这个定理中

我第三个条件不仅函数值相等了

而且函数值都等于0了

结论自然是有的

这是关于它的一个推论

现在我们考虑闭区间的情况

但是有时候我们讨论可导函数

也会在开区间上

甚至是在无穷区间上讨论

那么对于无穷区间上

或者是开区间上情况

我们给出一个所谓的广义Rolle定理

广义Rolle定理

广义Rolle定理是这样说的

我们写一个定理

也就是说

若f(x)在开区间(a,b)是可导的

且它在a这点的右极限和它在b这点的左极限存在而且相等

它的极限值我记成A

这个时候它就说

则一定存在ξ属于(a,b)使得f'(ξ)等于0

这个给出来之后

那就这一个开区间的情况

我们可以给一个简单的证明

这个证明我们就通过构造一个辅助函数

得到Rolle定理

这个条件自然就会得到Rolle定理的结论

也就是说我可以令F(x)就等于A

这是在x等于a或者是x等于b时

它的函数值

然后a

就是f(x)

这样构造了这个辅助函数之后

那么则F(x)它应该是属于C[a,b]闭区间

而且在开区间(a,b)是可导的

同时F(a)跟F(b)应该是相等的

因为它都等于a

也就是说我构造了这个辅助函数之后

这个F就同时满足Rolle定理中的三个条件

那么根据Rolle定理

所以我们就存在一个ξ属于(a,b)开区间

使得F'(ξ)等于0

而在开区间里面F跟f是一样的

所以F'(ξ)等于0

自然指的是f'(ξ)等于0

这样我们就证明了这个所谓的广义Rolle定理

实际上关于广义Rolle定理

这个内容可以把(a,b)区间推广到无穷区间

这个结论还是有的

也就是说如果它在负无穷到正无穷上可导

而且在负无穷和正无穷时的极限存在相等

那么我们至少能找到一点导数值等于0

但是在无穷区间上这个结论的证明就不能再构造辅助函数了

那么在这个地方

给大家留一个思考题

这个思考也就是你要证一证负无穷到正无穷

这个无穷区间上的广义Rolle定理

也就是要证一下无穷区间上这个广义Rolle定理

这个证明要动用我们连续函数的界值定理

要动用极限的保号性等等

但是所有的东西在前面有关的部分

我们都做了详尽的介绍

只是大家怎么样把它用好就行了

我想这是关于这个Rolle定理

推广到广义Rolle定理之后

无论是有限长度的开区间还是无穷区间

都是有相应的结果

接下来我们看几个例题

第一个例题我们就看一下x五次方加x减1等于0

就请大家证明一下就是

这个方程在负无穷到正无穷上最多只有一个实根

最多只有一个实根

当然大家注意因为这是x的5次方

x趋向正无穷它是正无穷大量

x趋向负无穷时它是负无穷大量

它又是个连续函数

所以我知道它至少要有一个实根

也就是说刚才说证明它最多只有一个实根

实际就是他有唯一实根

那现在根据我们要证的问题

我们可以这样说

我假设这个函数就是f(x)

如果我假设这个方程有两个不同的实根x_1，x_2

那么根据Rolle定理

我就推出应该存在一个ξ在x_1，x_2之间

使得这个f'(ξ)是等于0的

但我们看一下这个f的导数是什么

f'x等于5倍的x四次方加1

这个导数永远是大于等于1的

它不可能等于0

它不可能等于0就意味着原来的这个方程

不肯能有两个不同的实根

这样就是我们要证明的结论

它至多有一个实根

至多有一个实根

这是这个例题

接下来我们看第二个例题

第二个例题

我们讨论这么一个问题

也就是说我们有一个多项式

这个多项式是对于一个2n次多项式

我们给它求n阶导数

因为大家知道

对多项式函数来说

我们每求一次导数

就相当于把它的次数降低了1次

那么对于2n次多项式

我们求的是n阶导数

自然它就变成了一个n次多项式

这个多项式应该就叫勒让德多项式

这是由法国数学家的名字

就是勒让德的名字

命名的一个多项式

现在我们来讨论这个多项式在(-1,1)中就是

恰有n个不同的零点

实际上这个问题

应该是个很好的结果

为什么因为n次多项式

实系数n次多项式

我们多项式理论说

就是它在复数范围里面

有且有n个根

重根是算两个的

实际上我们要做的这个结论就是说

对于这个n次多项式来说

它的n个根都是实根

而且它们的所有根都是在(-1,1)之间

实际上还可以证明

它的n个根是不同的实根

所以说我们就是说

这个多项式我们可以证明在这个范围里面

它有n个不同的0点

接下来我们怎么来讨论这个问题

我们先看一下原来这个函数

f(x)等于(x的平方减1)的n次方

这个我们给它写成(x加1)的n次方乘(x减1)的n次方

这个形式意味着x等于-1和x等于1应该都是这个f的零点

而且都是f的n重零点

接下来我们有个问题希望大家注意

也就是说如果函数f(x)的n重零点

我求完导之后

那么这个导数咱们看一下

是不是应该这样子的n倍(x+1)的(n-1)次方

乘上(x-1)的n次方

再加上n倍的(x+1)的n次方

再乘上(x-1)的(n-1)次方

也就等于n倍(x+1)的(n-1)次方乘上(x-1)的(n-1)次方

这面剩下的是x-1

这面剩下的加上x+1

应该是这个样子

这样子的时候大家看前面这两个因子

它是不是就意味着函数f的n重零根

应该是它的一阶导数的n-1重零根

也就是说它的零点的重数

应该是每求一阶导数应该是降低一重的

这应该是个一般的结果

我们就要用这个结果以及-1和1是它的n重零点

来证明这个结论

为了就是让大家看的更清楚点

我就用图来跟大家说

这是-1，这是+1

那么f(x)在这两个端点是等于0的

同时它又是一个任何区间上都是可导的函数

所以说利用Rolle定理我们就会得到在这中间至少有一个点

它的一阶导数等于0

那一阶导数在这点等于0

同时一阶导数在-1和1应该还是等于0的

因为-1和1是它的一阶导数的n-1重零根 也就是0点

那这样的时候

我们看一下-1到ξ11之间

二阶导数应该只有一个零点

在ξ11到1之间

就是二阶导数也应该至少有一个零点

原因是什么在-1到ξ11这个范围上

我们对一阶导数再用Rolle定理

就得到这个零点的存在性

在ξ11到1这个范围上

对于一阶导数我们再用Rolle定理

就会得到二阶导数这个零点的存在性

也就是说这时候二阶导数我们就知道-1ξ21ξ221

都是二阶导数的零点

我们对二阶导函数分别在这个区间

这个区间和这个区间上用Rolle定理

就会得到它的三阶导数在-1ξ31ξ32ξ33

以及1这些点三阶导数都等于0

当然接下来我们继续往下用

对三阶导数再在这四个区间上分别用Rolle定理

就会得到它的四阶导数应该是在-1ξ41ξ42ξ43ξ441

那么它这儿四阶导数就应该在这些点处都等于0

那我们一直用下去

大家就知道它的n-1阶导数

n-1阶导数应该是在-1这点它还等于0

以为它是f的n重零点

自然是它n-1阶导数的零点

同时它在ξn-11ξn-12

一直到ξn-1,n-11这些点上也都等于0

也就是说我们会证出它的n-1阶导数实际是一个n+1次多项式

它应该有n+1个零点

n+1个零点正好两两构成n个区间

那么对n-1阶导数

我们再用一次Rolle定理就会得到

每个区间上至少有n-1阶导数的导数的一个零点

实际上也就是每个区间上至少有n阶导数的一个零点

而它的n阶导数应该是一个n次多项式

它最多就有n个零点

现在我们已经证明了它至少有n个

所以说这样我们就证明了我们这个题目的结论

就是说勒让德多项式在-1到+1这个范围里面有n个不同实根

或者说勒让德多项式它的n个根都是实根

而且是不同的位于-1到1这个开区间里

而具体的书写过程我们就不再书写了

这是这个结论的证明过程

然后最后一个例题我们来看一下

说我们假设f(x)在[a,b]区间上存在二阶导数

二阶导数而且f(a)等于f(b)等于0

这是我们对函数加的条件

在区间上具有2阶导数 端点值都等于0

然后接下来我们来证明一下

第一个结论：证明存在某一个点ζ 属于(a,b)开区间

使得f(ζ )再加上f'(ζ)是等于0的

先证这个结论

这个结论就是说它是证明存在一个点

使得这个表达式等于0

因为这个表达式里面带有导数

大家知道它肯定是某个函数求导来的

但是这个导数并不是f(x)本身的导数

那大家想这个等于0

它这面有f的值 有导数的值

因为我们导数的四则运算大家应该是比较熟悉的

你就想在什么样的函数里面求导

会出现与函数值和一阶导数值有关

而且是加号的情况

实际上这应该是两个函数乘积的导数里面出现的情形

那这里面其它的没有

说明另外一个因子是公因子

而另外一个因子也会牵扯到一个函数求导和一个函数不求导的

这样的项那什么样的函数求导和不求导一样

在我们的非零函数里面只有一个就是e的x次方

所以说在这个证明中大家就根据这个形式

去分析它是由什么函数求导来的

最后利用指数函数的导数的性质

我们会发现

这个东西给e的ζ次方乘上f(ζ)

再加上f'(ζ)然后等于0是一样的

而这面这一个可以写成是f(x)乘上e的x次方

它的导数在ζ这一点的值等于0

写到这儿

这个题目的证明就出来了

最后我们写的时候我们就令一个辅助函数

F(x)等于f(x)乘上e的x次方

那么F(x)在闭区间[a,b]上一定是可导函数

而且F(a)与F(b)都等于0

所以根据Rolle定理

我们能找到开区间中的一点ζ

使得F在这点的导数是等于0的

也就是这个表达式等于0

从而我们要证的结论是成立的

这是在我们微积分里面

经常碰到的一类问题

也就是说它是用Rolle定理

但它并不是说对题目中出现的函数直接套用Rolle定理

你一定要从这个要证的结论出发

去反推它是对什么函数来用Rolle定理

那这个题目还有第二问

第二问我们是这样写的

说如果f'(a)f'(b)是同号的

那么我们能不能找到一个ξ属于(a,b)

使得f''(ξ)等于0

那这一问

这一问实际上大家就想

它给了两个端点的导数值同号是什么

比如说我不妨假设这两个导数值都是大于0

那在几何上

在a这点和b这点它的图像大概是这个样子

那根据前面我们说的在一点导数大于0

就意味着在这点右侧附近其他点的函数值比它来的大

在这点的左侧附近

其他点的函数值比它函数值来的小

大家看一下这样子的时候

我们就知道在这个区间上至少有一点的值是大于0

另外一点的值是小于0的

它又是连续函数

根据连续函数的0点存在定理

中间我们至少能找出一点c f(c)=0

好了f(a)=0f(c)=0f(b)=0

大家看一下我们在(a,c)区间上和(c,b)区间上

分别对函数用Rolle定理就会得到一个f'(x_1)它是等于0的

f'(x_2)也是等于0的

那么在x_1x_2这个区间上对一阶导数再用Rolle定理

我们自然就会得到f''(ζ)是等于0的

所以这样我们就证明了这个结论

也就是说一旦给出了导数值的正负号之后

你马上就应该反应到

它实际就是说这一点附近的其他点的函数值

与这一点函数值的大小关系我是知道的

当然在这个第二问里面

我们可以引申一下

这一个我留给大家做思考

说在题干中的条件下

再加上这个导数同号

我们能不能证明存在一个点η

属于(a,b)使得这个表达式是对的

f''(η)加上2倍的f'(η)加上f(η)是等于0的

就证明这个结论

这个结论实际上有了第一问的经验之后

大家注意一下它肯定是要连续用两次Rolle定理

但是不像我们这个结论这样

直接对f用两次

它要对某一个函数用两次

才会出现这个东西

那么请大家看一下

我们在第一问的解答里面构造的这个辅助函数

F(x)等于e的x次方乘上f(x)

这个函数是不是在a,b以及刚才我们得到的c这一点

是不是这三点的函数值都等于0

因为它有零因子

那么自然它也应该存在一个点η

使得它的二阶导数等于0

那么大家求一下F的二阶导数是什么

实际上F的二阶导数除了这个表达式之外

应该还有一个因子是e的x次方

所以它等于0

再乘上一个非0还是一样的

就证明了这个结论

那进一步我就问

如果我把这个正号改成负号

你能不能来做这个问题

实际上我可以把答案告诉大家

大家来考虑一下G(x)等于e的(-x)次方乘上f(x)

它是不是在a,b以及刚才我们得到的c这三点处函数值也等于0

它自然也有一个二阶导数等于0的点

它二阶导数等于0的点

就是这个表达式

实际上这个例题

我们仅仅是通过一个具体的题目来告诉大家

我们用一个Rolle定理的时候

除了我们知道在什么区间上用之外

应该还要讨论对什么样的函数来用

这个题目主要就是告诉了我们怎么样从要证明的结论出发