函数在一点连续的概念在线视频

在前面我们已经介绍了极限的有关理论

我们有了极限之后

我们就可以利用极限作为工具

来讨论函数在一点及其附近的有关性质

也就是我们前面说过的

函数所谓它的微分学性质

主要指的是

函数在一点的连续性、可导性、可微性

以及导数和微分的运算

接下来我们就介绍它的第一个微分学性质

就是函数在一点的连续性

这是我们的第三章内容

连续函数或者是函数的连续性

就是关于连续实际上是我们日常生活中

一个就是说经常或者是天天接触到的

一种现象

比如说我们时间的这种流逝

或者说我们走路时

我们走过的距离与时间之间的关系

也就是我们的运动等等

我们看到的现象

几乎都是连续变化的一些现象

那就是说在数学上

我们平时也会谈到一些连续

比如说一条曲线是连续的

那我们在说这句话的时候

言外之意就是说

你在画这条曲线的时候

你的粉笔放到黑板上不要抬起来

一笔把这条曲线画出来

那么画出来的就应该是条连续曲线

但是在数学上

我们该怎么样来刻画一个函数

在一点是连续的

就是这件事情如果没有极限的概念

实际上我们要想把函数连续性刻画清楚

应该说只能是从定性的方面去描述

有了极限理论之后

我们就可以利用定量的方式

来表述它在一点是不是连续的

在这章里面我们主要介绍一下

函数在一点连续的概念

函数在一点不连续时间断点的分类

然后介绍一下连续函数的有关性质

这些性质里面当然包括

所谓的定性性质

比如说函数在一点连续

函数值大于0能不能保证

在这一点附近函数值大于0

在连续函数的性质里面

我们也会介绍一些定量的性质

比如说一些运算性质

另外我们还要介绍在一个区间上

每一点都连续的函数

当这个区间是闭区间时

它应该具有的性质

最后我们还会给出一个整体连续性概念

也就是一致连续的概念

接下来我们先看第一节内容

我们第一节内容

主要介绍一下与函数在一点连续有关的概念

以及连续函数的性质

那我们先看一下第一个问题

就是关于连续概念

那我们写出定义

写出定义是这样子的

我们假设f（x）在x0及其附近有定义

就是大家注意这个地方

x0及其附近是说在包含x0的某个小范围上

它都是有定义的

若x趋向x0时f（x）它有极限

而且极限值正好等于函数在这点的函数值

则称这个函数f（x）在x0处是连续的

当然这时候

x0也称为是这个函数的连续点

这是函数在一点连续的定义

从字面上看所谓函数在一点连续

实际上它要同时满足三个条件

这三个条件是

函数在x0有定义

函数在x0这点有极限

同时第三个条件是

极限值一定正好等于它在这点的函数值

所以这个定义本身也给出了

我们判断一个具体函数

在指定点是否连续的方法

如果它没有定义它自然不是连续的

如果它极限不存在当然还是不连续的

即使有定义极限也存在

但是极限值与函数值不相等

仍然是不连续的

我想这是这个定义本身

当然有了极限运算之后大家看

现在这个连续定义当然就非常简洁了

但是如果我们给它展开

我们来看一下

这个定义它指的这个性质

是一种什么性质

首先我们说一下这个定义

它强调的是说在这点连续

在这点连续

所以说首先它应该是个点性质

所谓强调它是点性质

也就是说如果你知道

一个函数在x0这点连续

人家问这个函数在x1这点连不连续

当然我只知道在x0这点连续

你问我在x1那点是否连续

我当然是不知道的

应该就是这个意思

你比如说我们写一个函数f（x）

说如果x是有理数它就取x

如果x是无理数它就取0

比如这个函数

它在x等于0这点是连续的

因为大家可以看出来

f（0）是等0的

而且x趋向0时f（x）的极限也是0

所以说它满足这个极限定义

但是大家再想

除了x等于0这点之外

其它点它连续不连续

实际上在任何一个不等于0的点处

这个函数是没有极限的

因为如果按照无理点趋向这个点

这个函数的极限应该是0

而如果按照有理点趋向这个点

这个函数的极限应该是不等于0的

根据前面咱们介绍过的

函数在一点的极限与数列极限的关系

我们知道这个函数

在任何一个不等于0的点处

极限是不存在的

所以这个函数就是一个

只有一个连续点的函数

我想这就是给大家强调的这个点性质

第二个我想给大家说一下函数在一点连续

跟前面我们介绍的极限之间的关系

说函数在一点连续

通过这个定义

大家自然知道

它实际是在函数极限存在的前提下

来进一步讨论函数它的一种性质

这种性质是这样说的

说极限只是强调了在x趋向x0时

我知道它对应的函数值f（x）

是越来越接近一个固定值的

而连续是说

我知道了你不仅要接近一个固定值

而且你这个固定值就是它在这点在函数值

所以说它应该是在极限存在的基础上

进一步的反映了函数的一种性质

我想这是关于连续与极限的一种关系

接下来我们说这个定义里面

你如果从运算的角度讲

它反映出来的一个性质

从运算的角度讲

它反映出来的一个性质应该是这样子的

也就说f（x）在x等于x0处连续

从定义上讲它就等于f（x0）

而这个地方

x0我自然可以看成是x在x趋向x0时的极限

也就是最后这一行大家看一下

说如果从函数运算的角度来讲

它在一点连续意味着什么

它意味着你对这个x先取函数值

后取极限值

与先对这个x先取极限值

后取函数值应该是相等的

这实际上在连续这个性质下

它保证了函数求值运算与极限运算

这两种运算是满足交换律的

也就说它的结果与运算的先后顺序是没有关系的

如果没有连续这个条件的时候

大家知道我们是没有这个关系的

说x趋向x0

f（x）它就等于f x趋向x0，x

这个等式一般是不能写的

实际上大家知道

我这个函数在这个极限过程下讨论极限

它是不关心f（x0）有没有的

但是如果你一旦写了这个等号

它就相当于必须把这个极限问题

与函数在那一点的函数值联系起来了

这显然是不对的

但是如果我把函数在这点的连续性加进来

这个等式是成立的

我想这是这个连续定义

从函数运算的角度来讲

我们应该能看出有这样的性质来

当然我们在用这个定义的时候

我们除了刚才那个形式之外

我们有时候还写成这个形式

这个形式是它的一个等价形式

其中Δx表示的是自变量在x这点的改变量

一般我们就写成x减x0

而Δf（x0）表示的是

函数值在x0这点的改变量

我们一般的表示就是

f（x）减掉f（x0）

或者说写成是f（x0加上Δx）减掉f（x0）

我想这个等价定义

实际上大家只要理解了什么叫自变量的改变量

什么叫函数值的改变量之后

它是显然的这是说我们在利用连续概念

来处理有关问题时

有时候我们可以写成是函数值的形式

这样用起来可能会方便一些

而在某些情况下

我们也许是写成该变量的形式

用起来更方便一些这两个东西是等价的

我想这是关于函数在一点连续它的概念

以及从它的定义

我们就说能够看出来的一些东西

接下来因为连续是用极限定义定义的

而我们讨论极限时曾经遇到这样的问题

说如果讨论分段函数在分段点的极限

该怎么处理

或者说我们要讨论一个函数定义域区间

端点的极限情况该怎么处理

实际关于连续性我们也有类似的问题

就是说我们怎么样来讨论

分段函数在分段点的连续性

怎么来讨论定义域区间

端点上这点的连续性

就为了讨论这些问题

我们也引进所谓的单侧连续

就是函数在一点它单侧连续指的是什么

比如说我们有时候说

函数在一点是左连续的

左连续我们也就是说

如果函数在这点及其左侧附近有定义

而且它在这点的左极限存在正好等于

这点的函数值

那我们就说函数在这点是左连续的

类似的我们说函数在一点右连续

右连续自然指的是函数在这点

及其右侧附近有定义

而且函数在这点的右极限是存在的

右极限的值正好等于

函数在这点的函数值

如果这样我们就说

函数在x0这点是右连续的

所以由左右极限的概念

以及连续定义

大家不难理解什么叫函数在一点左连续

什么叫右连续

而且利用极限与左右极限的关系

我们自然就能得到这个结论

就说一个函数f（x）在一点x0连续

它的充分必要条件是

它在这点既是左连续的又是右连续的

这就是函数在一点连续与左右连续的关系

也就是说连续的充分必要条件是左连续和右连续

当然这是我们讨论一个函数在一点

是否连续它的理论根据

也就是说你讨论一个函数在一点

连续不连续

你就先看在这点的右侧

自变量趋向于这个点时

函数值是不是趋向于这点的函数值

再来看在它的左侧自变量趋向于这个点时

对应的函数值是不是趋向于这点的函数值

这样就能知道它是不是左连续

是不是右连续

进而也就知道函数在这点是不是连续了

我想这是关于函数单侧连续的定义

有了单侧连续定义之后

我们有时候会用这样的记号来表示

一个函数集合

比如说我们说f（x）是属于C（a，b）

就这个记号表示的是说

f（x）是（a，b）区间上的连续函数

那因为前面我们强调了

函数连续是个点性质

怎么会又出现（a，b）区间上的连续函数

这种说法

（a，b）区间上的连续函数指的是

这个函数在（a，b）区间中的每一点

都是连续的

实际上这个也就等价于

任给x0属于（a，b）f（x）在x0是连续的

这是这个解释另外

我们还会见到这样的记号

f（x）属于闭区间[a,b]

前面加个C也就是C[a,b]但是闭区间

那这个表示的是什么意思

是说对开区间（a，b）中的每一点

函数都是连续的

同时函数在这个区间的

左端点它应该是右连续的

而函数在这个区间的

右端点它应该是左连续的

我想这样的记号在我们微积分课程里面

是经常出现的希望大家能够体会到

它指的仍然还是一个逐点连续性

不过就是说一种表示方式

它谈的并不是说一个整体连续性概念

这是关于这两个记号

接下来我们看几道例题

第一道例题

我们证明一下函数f（x）等于x的平方

属于c（负无穷到正无穷）

也就是证明x方函数在整个实轴上每一点

都是连续的

实际上这个证明的时候

如果我们不是用运算的角度来证明

而是用严格的极限定义的方式来证明

应该是这样说的

说看一下x方减掉x0的平方

在x趋向x0时能不能充分小

其中x0是我任意取定的一点

那这个东西也就可以写成是

x加上x0乘上x减掉x0

然后因为我们关心的是x趋向x0的情况

我们不妨假设我们这个x就在x0附近

比如说以x0为中心半长为1的区间里面

那就是这个x加x0的绝对值它就可以

小于等于2倍的x加1的绝对值

这个时候我们这边可以写成

小于等于2倍的x0的绝对值加一

这边是乘上x减掉x0

我想我们分析到这个地步

实际上我们就可以用严格的极限定义

证明了这个函数在x0这点是连续的

所以我们写一写也就是任给x0属于R

也就属于负无穷到正无穷

然后我不妨设不妨设我考虑的x就属于

x0-1到x0+1这个范围

然后接下来由这个差的绝对值小于等于它

所以说我就任给ε大于0

我就取δ就等于2倍的x0的绝对值

加一分之一乘上ε

则当x减x0的绝对值小于δ时

也就是这个差的绝对值小于这个时

我就有f(x)减掉f(x0)绝对值小于ε

那写到这我们就看一下

我们是不是做好了这件事情

就对给定的x0来说

任给ε大于0找到了δ大于0

只要这个距离小于δ

那么这两点函数值差的绝对值就小于ε

这正好是x趋向x0时

f（x）的极限是f（x0）的定义

也就是故x趋向x0时f（x）的极限是f（x0）

这样我们就证明了它在x0这点连续

因为x0是任意的一点

也就证明了它在这个范围上

任意一点都是连续的

你比如说类似的方法

大家还可以证明这个题目

也就是说我们可以证明f（x）等于sinx

也是属于C（负无穷到正无穷）

我们只是在一起把这个主要的

想法来讨论一下

具体的证明过程我们就不再写了

你比如说我们要证明这个东西

也就是任给x0属于（负无穷到正无穷）

我来看一看sinx减掉sinx0

在x趋向x0时

它是不是能够趋向于0

而这个我怎么样与x减x0的绝对值联系起来呢

我要做一个所谓的就是那个

正弦函数的和差化积

也就是它要等于2倍的cos二分之x加上x0

再乘上sin二分之x减x0绝对值

写到这大家把这个cos二分之x加上x0的绝对值

放大到1

然后我们再用一个sinx的绝对值

应该是小于等于x的绝对值

所以这样写到这一步之后

我们就放大到了x减x0的绝对值

处理到这个地方我们自然就证明了

正弦函数在任何一点都是连续的

也就是正弦函数

是负无穷到正无穷上的一个连续函数

我想这是我们利用连续定义来证明

一些简单函数在给定范围上

它每一点是否连续

这是证明的过程

用连续定义来证明函数连续性

大家看到了就跟利用极限定义来证明

一个极限等式是一样的

就对于这样的问题

我们只能处理最简单的函数

那一般函数的连续性你怎么样去讨论

实际上我们后面之所以介绍一些运算性质

也就是希望由简单函数的连续性

我们能够得到一般函数的连续性结论