单侧导数、可导与连续的关系在线视频

前面我们介绍了函数在一点导数的概念

但是在介绍函数在一点的极限和连续性时

我们曾经碰到过这样的问题

就是说如果是一个分段函数

我如何讨论它在这一点的极限存在或者是连续性问题

或者说一个在闭区间上有定义的函数

我怎么样讨论它在端点的情况

实际上在讨论函数可导性时

我们也有类似的问题

这就是我们要介绍的单侧导数

单侧导数我们先说一下函数在一点的左导数

也就是说

如果函数f(x)在x0及其左侧附近有定义

若这个比值的极限也就是Δx小于0趋向于0

对f(x0加上Δx)减掉f(x0)比上Δx取极限

实际上也就是强调这个点在x0的左侧趋向于x0

如果这个极限存在

我们就说函数f(x)在这点是左可导的

而这个极限值称为函数在这点的左导数

左导数我们一般用这个记号来表示

也就是f的导数

为了体现是左导数加一个下标负号

为了强调是在x0这点的左导数

所以表示上x0

这就是表示的这个左导数值

类似的它的右导数

右导数也就是说如果f(x)在x0及其右侧附近有定义

如果这个极限存在

也就是Δx大于0趋向于0

对f(x0加上Δx)减掉f（x0）再除Δx取极限

如果在这个极限存在

那我们就说函数f(x)在x0这点是右可导的

这个极限值就成为函数在这点的右导数

记号与左导数类似

我们就加一个下标正号

这样表示的就是函数在x0这点的右导数

我想这是函数在一点左可导和右可导以及左右导数的定义

当然根据极限与左右极限的关系

我们很直接的就得到了这么一个结论

也就是说f(x)在一点x0可导

它的充分必要条件是f(x)在相应的这一点

既是左可导的又是右可导的

而且左右导数应该是相等的

这个结论根据左右导数的定义以及极限与左右极限的关系

它是一个显然的结果

也就是说如果我们讨论一个函数在一点是否可导

我们当然是可以先看一下左导数有没有

右导数有没有

光左右导数都有还不足以说明它就是可导的

还要看一下左导数值和右导数值是否相等

那接下来我们看一个例题

也就是说我有一个函数f(x)

它是一个分段函数

当x属于[0,1]时它的表达式是根下x

当x大于1时它的表达式比如说就是x

接下来我们来看一下这个函数在x等于1这一点它的可导性

如果可导的时候我们把它的导数值求出来

这就是一个分段函数在分段点的可导性问题

那我们讨论这个问题的时候

我们一定要分别去讨论左导数右导数是不是同时存在

而且相等

那它在这一点左导数按照定义应该就是x小于1趋向于1

f(x)减掉f(1)然后再除上x减1

接下来我们知道它在1这点的函数值是1

所以说利用它在小于1时的表达式

这个地方也就是跟下x减掉1

再除上x减1

我们给它约分一下

也就是x小于1趋向于1

是跟下x加1分之一

所以说这个极限是等于二分之一的

这说明这个函数在1这点

左导数是存在的

左导数的值是等于二分之一

我们再看一下

这个函数在1这点的右导数有没有

这个时候我们应该看得是x大于1趋向于1

f(x)减掉f(1)再除上x减掉1

我们这时候用的表达式应该是x大于1时的表达式

所以就是x

上面是x减1底下是x减1

所以这个极限值应该等于1

这说明这个函数在1这点的右导数也是存在的

但它的值是1

因为左右导数它的值是不相等的

所以对这个函数来说

在分段点x等于1处它是不可导的

这就是我们的结论

这是关于单侧导数的

接下来我们来看一下

函数在一点可导与函数在这一点是否连续它的关系

实际上因为函数在一点的可导性

和函数在一点的连续性研究的都是函数在一点的性质

那这两个性质之间谁强谁弱

我们给一个定理

这定理是这样写的

若f(x)在x0是可导的

则f(x)在x0是连续的

也就是说函数可导它一定连续

但反过来连续是不是可导

那我给大家就说这个例题

这个例题在x=1这点它的左极限是1

右极限是1函数值是1

所以这就是一个在1这点

既是左连续又是右连续的函数

当然它是个连续函数

但刚才我们刚讨论过

这个函数在1这点是不可导的

所以说连续不见得可导

当然如果大家说我要记一个具体的例子

能够把这个性质反映出来

最简单的例子

比如说y等于x绝对值在x等于0这点

就是说大家可以求一求

它的左导数应该是负1

而右导数应该是正1

那当然它是不可导的

但它显然也是个连续函数

所以说这个定理就是说连续是可导的必要条件

我们做一个简短的证明

这个证明你就想什么叫函数在一点连续

也就是我要证一证x趋向于x0时

f(x)减掉f(x0)这个极限是不是等于0

接下来你就再想什么叫可导

可导它是告诉我们

一个极限的存在性

哪一个极限是f(x)减掉f(x0)比上x减x0

这个极限存在

那这两个表达式之间显然差了一个因子

这个因子就是x减x0

写到这儿之后大家就知道

可导是说这个分式极限存在

而这个因子的极限在这个极限过程下等于0

所以根据极限的乘法运算

我们知道这个极限是一定等于0的

而这个极限等于0

正好是函数在x0这点连续的定义

所以这样我们就证明了可导必连续这个结论

最后我们看一个简单的例题

说如果f(x)在x大于等于0时

我的取值是x平方

在x小于0时我的取值是ax加b

a,b是两个参数

那我们接下来加一个条件

也就是说若f(x)在0这一点是可导的

我们来求一求参数a,b的值

实际上求参数a,b

两个未知量我们需要两个等式

那你就想什么叫可导

可导就是说它在0这点的左导数和右导数应该相等

这当然是一个方程

所以就会得到a,b满足的一个等式

但两个未知量仅仅有一个等式

一般情况下是决定不了的

那另外一个等式在哪

因为他说了可导

自然意味着它在这点也是连续的

连续指的是什么

就是左右极限跟这点的函数值都相等

这实际上就是第二个等式

所以我们做这个问题的时候应该是这样做

因为它是可导的所以它是连续的

那么它的左右极限应该相等

大家能看出左极限是什么

左极限是b右极限是0

所以说根据连续性马上就把b等于0求出来了

接下来我们再来看

它的左导数是什么

在b等于0的情况下它的左导数大家用定义求

应该很容易求出来

左导数应该是a

就是那个比值的极限应该是a

接下来它的右导数是什么

我们也用定义求

它的右导数应该是等于0的

那么它可导那么就意味着a也等于0

所以说我们就利用概念

很容易就把两个参数求出来了

这个题目主要就是强调大家一定要用

连续定义和导数定义去做

而不要用我们后面要介绍的什么求导运算的法则

因为求导运算的法则

我们在后面介绍的时候会知道

只有在导数存在的前提下才可以用

如果你连导数存在不存在都不知道的时候

当然就不能用

何况求导运算法则求的是一个导数的表达式

也不是说只求某一点的值

因为导数运算法则必须先知道表达式

才能再知道相应点的导数值