函数的有界性，奇偶性在线视频

好 在介绍完我们常用的函数运算之后

接下来我们来介绍一下

我们经常要讨论的函数的性质

这就是我们第一章第四节的内容

就是说函数的初等性质

或者叫函数的简单性质

我们先解释一下

所谓函数的初等性质

初等指的是什么

初等是指的能够利用初等运算刻画的函数的性质

在这一节

我们主要介绍函数的五个性质

也就是说在某一个范围上

函数是否是有界的

这是有界性问题

在某一个范围上

函数是否具有奇偶性

这是奇偶性问题

再一个就是函数在整个实轴上有定义时

它有没有周期性问题

然后 最后两个性质是指的

函数在我们考虑的范围上

是不是具有单调性和所谓的凹凸性

凹凸性

接下来我们就逐一的来解释一下

这几个简单性质

第一个性质

指的是函数的有界性

因为在前面我们讨论实数集的界的时候

我们已经给出了一个数集有界的概念

在这个地方所谓函数在某个范围上是有界的

或者是无界的

主要指的是它的函数值构成的集合

是有界集还是无界集

所以在这个地方

我们直接把函数在某个范围上有界的定义给出了

首先我就假设

函数y=f(x)在D上有定义

然后Zf是这个函数在这上面

所有点的函数值构成的集合

如果Zf是一个有界集

也就是说如果我能找到一个M>0

使得对任意的就是y属于Zf

我们都有y的绝对值小于等于M

这时候我们就说函数在D上是有界的

当然与定义数集的上界和下界一样

我们可以定义函数在我们考虑的范围上

是由上界的还是有下界的

关于这个

请大家看一下我们数集的界和上确界的定义部分

对照起来就可以掌握

函数在一个范围上有界无界这个概念

在这儿我们来讨论一个简单的例题

这例题就是说

我们证明函数f(x)=1/x在0到正无穷这个范围上是无界的

证明这个东西

也就是说

你要证明对于任意的大于0的实数

至少你能够找到一个点的函数值

使得它的绝对值是大于这个给定的实数

因为我们考虑的范围是0到正无穷

当然所有点的函数值都是大于0的

你也可以说

只要对任意的大于0的正数

你能找到某一点的函数值

使得函数值大于给定的正数就可以了

那我们来写一下这个证明

这个证明是这样子的

我们任给M>0

现在我就取我们考虑的范围中的一个点

比如我记成x0

让它等于两倍的M分之一

那么则x0肯定在我们考虑的范围里面

也就是x0是大于0的

而且f(x0)也就是等于2M分之一上面再做一个倒数

这个也就等于2M

因为M是大于0的

所以2M自然是大于M

这样我们就证明了

对于任意的正数M

我们确实能够在考虑的范围里面

找到一个具体的数x0

使得它在这一点的函数值f(x0)是大于M的

所以我们就证明了我们要证的结论

这是关于有界性的问题

接下来

第二个性质

我们来看一下函数的奇偶性问题

实际上在中学里面

我们就学过函数在某个范围上是奇函数还是偶函数

而且我们知道

函数的奇偶性

实际上反映的是函数具有的某种对称性

那我们一般怎么样来谈一个函数

是奇函数或者是偶函数

我们假设D关于原点对称

所谓关于原点对称

也就是说

如果x在D里面

那么它的相反数-x也在D里面

所以若对于任意的x属于D

我总有f(-x)=-f(x)

这时候我们就说函数在D上是个奇函数

反之如果我们总有f(-x)=f(x)

这个时候咱们就说这个函数在我们考虑的这个范围D上

是个偶函数

根据奇函数和偶函数的定义

我们很容易知道

就是说

奇函数的图像

是关于原点对称的

因为(x,f(x))这个点

在这个奇函数图像上

那么（-x,f(-x)）这个点也在这个奇函数图像上

因为它是奇函数

f(-x)就等于-f(x)

而大家看一下这两个点它的中点

应该正好是坐标原点

换句话说

就是奇函数图像上的点

关于原点的对称点

仍然还在奇函数的图像上

所以说奇函数的图像关于原点对称

类似的

如果它是偶函数

那么我们这个点

它就应该是(-x,f(x))

那么这个点与这个点之间

我们很容易看出来

它的两个点的横坐标

应该是相反数

所以它的中点应该是在y轴上

另外两个点的纵坐标是一样的

所以说这两个点应该是关于它的中点

正好是连起来之后

是与x轴平行的

这样我们就知道偶函数图像上的点

关于y轴的对称点

仍然还在它的图像上

所以偶函数的图像是关于y轴对称的

这是我们在中学就熟知的结论

然后关于函数的奇偶性

我们现在来问这么一个问题

首先它要想是奇函数或者是偶函数

定义域必须关于原点对称

那反过来说

定义域关于原点对称的函数

是不是一定要么是奇函数

要么是偶函数

这个问题其实回答很容易

因为大家可以随便写一个这样的函数

说f(x)=x+1

这个函数它的定义域是负无穷到正无穷

自然是关于原点对称

但是我们也很容易验证

它既不是奇函数也不是偶函数

但是关于定义域关于原点对称的函数

尽管它可以是非奇非偶的

但我们有这么一个结论

这个结论是这样说的

就是若f(x)它的定义域D关于原点对称

那么尽管这个函数可能是非奇非偶的函数

但是我们一定能找到唯一的一个奇函数

一个奇函数我用g(x)来表示

还能找到唯一的一个偶函数

我们用h来表示

使得f(x)可以表示成g(x)与h(x)的和

也就是说定义域关于原点对称的函数

它在某种意义下

还是有一定的对称性的

因为它可以分解成关于原点对称的函数

和关于y轴对称的函数之和

这是就是说

我们常用的一个结论

接下来我们就对这个结论

给出一个简单的证明

这个证明也是我们在数学证明中

常用的一种方法

就是所谓的构造法

也就是说

如果你能够根据给的条件

把你要的东西构造出来

当然存在性就没问题了

有了存在性之后

我们可以进一步再去证明它的唯一性

所以说在这里面

我们就这样说

我们就令g(x)就等于1/2[f(x)-f(-x)]

然后我们令h(x)等于1/2[f(x)+f(-x)]

加上这个

那么现在我们来看一下

因为f定义域关于原点对称

所以说只要x在f的定义域里面

我们的g(x)和h(x)都是有意义的

而且根据奇函数的定义

我们很容易验证

g(x)是个奇函数

而h(x）应该是个偶函数

就是关于g(x)和h(x)与f(x)的关系

我们当然可以写出来f(x)就等于g(x)+h(x)

且g(x)是个奇函数

h(x)是个偶函数

所以我们一定存在一个奇函数和一个偶函数

使得它两之和是f(x)

现在我们来说一下唯一性

唯一性是这样子的

我们假设又存在一个奇函数φ(x)

还存在一个偶函数ψ(x)

然后使得f(x)是等于φ(x)+ψ(x)

那根据我们的假设

我们就知道

f(-x)应该等于φ(-x)

因为它是奇函数也就是-φ(x)

再加上ψ(-x)

因为它是偶函数

也就是ψ(x)

所以这样我们就得到φ(x)和ψ(x)与f的关系

那我们这两个等式一减

第一个等式减掉第二个等式

然后我们马上就知道φ(x)不是别的

就是二分之一倍的f(x)-f(-x)

也就是上面我们得到的g(x)

类似的大家能够得到这个ψ(x)也不是别的

因为两个关系式一加

我们就知道ψ(x)是二分之一倍的f(x)+f(-x)

也就是上面我们说的h(x)

就是这段描述说清楚了

如果f(x)能够写成是一个奇函数和一个偶函数之和

那么这个奇函数不是别的

应该就是这个表达式表示的函数

类似的

偶函数应该是这个表达式给出的函数

这样我们就证明了

它的唯一性

前面我们介绍了函数奇偶性的概念之后

最后我们看一个例题

这个例题也就说

我们已知f(x)是一个奇函数

然后g(x)是等于ln[ f(x) + (f(x)^2+1)^0.5 ]

就是利用f(x)通过对数运算

我们得到了一个复合函数g(x)

现在我们的问题是

我们来讨论一下这个函数它的奇偶性

也就是说

我们来研究一下

这个函数它是奇函数还是偶函数还是非奇非偶的

我们先看一下这个函数定义域

因为根下f（x）^2+1它一定是大于f的绝对值

换句话说

我们在这个中括号里面

这个表达式的值

永远是大于0的

所以说

这个函数的定义域

就是原来f(x)的定义域

而f(x)是一个奇函数

所以说它的定义域应该是关于原点对称的

这样我们就解决了第一个问题

就是说我们知道g(x)的定义域也是关于原点对称的

接下来我们来看第二件事情

第二件事情也就是

任给x属于D

我用D来表示它们的定义域

我来看看g(-x)应该是什么

也就是ln[f(-x) + (f(x)^2+1)^0.5 ]

因为f是奇函数

所以说我们知道

这个表达式也就可以写成ln[-f(x) + (f(x)^2+1)^0.5 ]

写到这儿我们一定要清楚

我们为什么来求g(x)在-x那一点的值

实际上我们要讨论它的奇偶性

也就是说

我们要找一找

g(x)在-x这点的值与它在x这点值之间的关系

现在我们到了这个地方

我们就看一下

通过什么样的运算

或者是通过什么样的变形

把这两个表达式联系起来

这个当然就要用我们一些简单的

或者是初等的数学关系式

用一个(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个初等代数公式

我们在这里面给它做一个有理化

也就是ln

上面就是1

底下应该是f(x)+(f(x)^2+1)^0.5

然后这是一个负指数

或者是这是一个分数

可以写成分母的负指数

那么根据对数函数的运算性质

这个应该是等于-ln[ f(x)+(f(x)^2+1)^0.5 ]

根据g(x)的定义我们知道最后这个表达式的值

应该就是负的g(x)

这样我们就得到了g(x)与g(x)在-x这点值之间的关系

根据奇函数的定义

我们讨论清楚了这样得到的这个复合函数

在f是奇函数的前提下

它仍然还是一个奇函数

这是我们根据函数的奇偶性

来讨论一个具体函数奇偶性问题它的方法

实际在整个微积分里面

碰到奇偶性问题时

我们基本上都是用概念去进行讨论