参数方程求导法与对数求导法在线视频

好接下来我们介绍一下

第二个特殊函数

这个函数就是由参数方程确定的函数

我们先看一下什么是由参数方程确定的函数

所以我们的问题现在是

我知道x是某一个参数t的函数关系

y也是同一个参数t的函数关系

那么这个x和y这两个变量

实际上它们都与t有关

那么在一定条件下

我们这个x等于x(t)它会存在反函数

也就是它存在一个反函数

我们用t等于t(x)来表示

如果这个反函数存在的时候

那么通过第二个关系我们就会推出y等于y(t)

而t是x的函数也就是y(t(x))

这样从x到y就有一个函数关系

这个函数当然是由y(t)这个函数

与t(x)这个函数复合而成的

比如说这个函数关系我们写成f(x)

所谓由参数方程确定的函数

我们指的就是当第一个函数关系存在反函数时

由这个参数方程得到的x到y的这个函数关系

这是所谓的由参数方程确定的函数

那现在我们的问题是

我们怎么样来求这个x与y的函数关系的导数

当然我们的前提是说

你给的这个参数方程里面的函数

它得满足一定条件

至于满足什么条件

在下面我们的导数运算中

我会给大家一一指出来

我们做的运算需要什么条件

那么需要的条件也就是

我们要加到这个参数方程中

这两个函数关系身上的的条件

所以我们来看一下它的求导法

首先我们来求dy/dx

因为它是有一个复合关系得到的函数

所以根据复合函数的链导法则

应该是y的导数在t这一点取值

再乘上t关于x的导数

所以在用这个链导法则的时候

我们自然要知道

我们的条件是这个函数一定是可导的

然后同时这个反函数也是可导的

那反函数这个反函数的导数

与原来这个函数

x等于x(t)的导数之间的关系

利用反函数的导数关系我们就知道

这个t关于x的导数

应该等于x关于t导数的倒数

我们写成最后的形式

也就是y关于t的导数除上x关于t的导数

那么我们这个反函数导数要想存在

我们对这个函数关系加的条件是它是可导的

而且它的导数是不等于0

这样的时候我们所有的运算都是能进行的

所以作为一个方法我们可以这样说

如果参数方程中两个函数的导数都存在

而且x关于t的导数不等于0

那么由这个参数方程

我们一定能得到一个y和x之间的函数关系

这个函数的导数

应该等于y关于t的导数除上x关于t的导数

关于这个公式

实际上我们也可以从另外一个角度来得到这个公式

因为我们知道在导数的表达式里面

现在的dy和dx就是两个微分之商

而dy应该是y关于t的导数dt

而dx应该是x关于t的导数dt

那么这两个微分做除法

自然就等于等号右端两项做除法

dt就是自变量的微分

我们当然就可以把它消掉

所以就会得到我们要的这个关系

所以说仅仅是从导数运算来说

这个导数等于这两个导数之商

应该是很容易得到的

所以这是一个简单的求导公式

接下来我们看两个例子

比如第一个

也就是说我们有一条曲线

它的方程是y等于1加上cosθ

实际上这条曲线大家应该不陌生的

因为在前面我们介绍函数概念的时候

我们曾经介绍过

由极坐标方程表示的特殊曲线

这应该就是一条心型线

我们来求一求这条曲线在θ等于四分之π处

也就在θ等于四分之π时它对应的点

在那个地方这条曲线的切线方程

那这是一个极坐标方程

那我们求切线方程θ等于四分之π的时候

我们自然会把它对应的点找出来

但是斜率是什么

斜率是在xy平面里面

曲线上的纵坐标

关于曲线上的横坐标的变化率

或者叫导数值

所以我们在做这个问题的时候

我们就利用直角坐标与极坐标的关系

把这个写成(1+cosθ)乘上cosθ这就是x

y就等于(1+cosθ)乘上sinθ

这样写出来之后

我们就把这个曲线上点的直角坐标

与这个极角θ联系起来了

这实际上就是一个参数方程

对这个参数方程来说

我们来求dy/dx

也就是y关于θ的导数也就是cosθ

然后这个应该是再加上cos2θ

因为乘进来之后sinθ求导是cosθ

这个乘进来cosθ乘sinθ

当然是二分之一倍的sin2θ

二分之一倍的sin2θ求导应该正好是cos2θ

关于这个cos2θ

大家自然也可以利用乘积函数的导数公式得到

所以求出来这是y关于θ的导数

接下来就x关于θ的导数应该是负的sinθ

这面一个应该是减掉两倍的cosθ再sinθ

这是y关于θ的导数

然后接下来我们就开始做

θ等于四分之π(黑板笔误)时那么点大家可以做得出来

θ等于四分之π这就是二分之根2

这是1加二分之根2

所以说应该就是一个二分之1加上根下2

这是横坐标

纵坐标也是二分之1加上根下2

所以切点求出来了

θ等于四分之π时我们代到这儿来

这个是二分之根2这个是0

所以分子就是二分之根2

这是负的二分之根2

这个地方应该是sin2θ

所以这应该是负1

所以说这时候切线的斜率应该是二分之根2

除上一个负的二分之根2再减掉1

那我们整理一下就会得到这个切线的斜率

有了切线的斜率有了切点

相信大家能够把且切线方程写的出来

这就是求由极坐标给出的曲线

如果我们要求这条曲线上某一点的切线时

实际上我们要转化成参数方程去处理的

好接下来我们看一下例2

x等于2t加上t的绝对值

y等于5倍t的平方加上3t再乘上t的绝对值

现在这也是一个参数方程

我们的问题是求这个参数方程确定的函数

也就是y是x的函数

求这个dy/dx在t等于0时

对应的x处的导数值

求这一个问题

这个问题大家看一下

因为我们要是直接套用刚才的求导公式的时候

我们自然会牵扯到y关于t的导数在0点取值

还有x关于t的导数在0点取值

实际上大家通过这个表达式你就知道

x关于t在0这一点是不可导的

因为这里面有一个绝对值

绝对值函数我们知道在0那一点

尽管它连续但是导数不存在的

所以对这个问题来说

我们自然就无法直接套用这个求导公式进行计算

但是这是一个简单的参数方程

我们看一下

如果我们把y和x的函数关系能够写得出来

是不是就是可以利用y和x的函数关系

直接去求在t等于0时对应的x处的导数值

那我们看一下第一个x

x应该可以写成这样

就是在t大于0时

它是3倍的t

这是t大于等于0时

在t小于0时

它应该就等于t

这是x然后接下来y

y在t大于等于0时

应该就是8倍的t的平方

这是t大于等于0时

在t小于0时

它应该是两倍的t的平方

这是就是y和t

和x和t的关系

接下来我们看一下y和x的关系

因为在t大于等于0时

我们知道t是三分之x

那么这时候y是等于8t的平方

所以我们会得到这个结论

8乘上三分之x的平方

这是在t大于等于0

也就是x大于等于0时

y和x的关系

在t小于0时x就等于t

而在t小于0时y是等于2t的平方

所以说这个地方就是两倍的x方

这是x小于0时

y和x的关系

这样做完之后

大家看一下

这个分段函数

也就是九分之8倍的x平方x大于等于0

然后2倍的x平方x小于0

那么根据这个分段函数的形式

t等于0正好对应着x等于0

也就是它的分段点

所以我们就求这个函数它在0这一点的左导数

左导数也就是等于

x趋向于0负时2倍的x平方

0那点的值是等于0减掉0再除上x

那么这个极限当然是等于0的

再求它在这一点的右导数

也就等于x趋向于0正

然后这个时候是

九分之8倍的x平方减掉0再除上x

这个极限还是0

那么利用左右导数的定义

我们得到了左导数是0右导数也是0

那么根据导数与左右导数的关系

所以说我们最后要求的y关于x的导数

在t等于0对应的x处

也就是x等于0处

它的导数值是存在的是0

我想通过这个例子给大家强调一下

我们所有的运算法则

都是在给定条件下我得到了相应的结论

那么在这个具体的例子里面

我们给的参数方程

并不满足我们参数方程确定函数求导的公式

但是它并不意味着我们要求的导数就不存在

通过这个具体的解答过程大家可以看出

对这个函数来说

它在x等于0处的导数仍然是存在的

只是我们不能用运算法则来求

我们可以用导数定义来求

接下来我们介绍另外两类特殊函数的求导法

一类是这样的函数

也就是y等于f(x)的g(x)次方

这就是我们说过的幂指函数

对于这样的函数求导

因为我们既不能直接套用指数函数导数公式

也不能直接用幂函数的求导公式

但是我们根据对数的运算性质

如果我们等式两端同时取对数

那么我们可以把它处理成

两个函数相乘的形式

然后再在等号两端关于x求导

y是中间变量

那么这面就是对数的导数

在y这点取值乘上y的导数

这能理解成两个函数相乘求导

也就是g(x)的导数乘上f(x)的自然对数

再加上g(x)不动乘上lnf(x)的导数

这又是一个复合函数求导求出来应该是

f(x)分之一再乘上f(x)的导数

那么我们得到这个关系式之后

最后就得到y关于x的导数是

y乘过去y是f(x)的g(x)次方

这面乘上g(x)的导数乘上lnf(x)

再加上g(x)乘上f(x)的导数除上f(x)

这样我们就把这个幂指函数的导数公式得到了

那这种函数这就是

所谓幂指函数常用的求导方法

然后这个方法因为是通过对数运算

把幂指函数变成了乘积函数

所以说我们把它叫做对数求导法

也就是我们介绍的第三个方法

我们就叫对数求导法

它能处理的第一类函数

就是所谓的幂指函数

你比如说我们举个例子

y等于x的x平方次方

我们求y关于x的导数

那么仿照上面这个过程

我们知道两边取对数就是

lny等于(x的平方)再乘上lnx

在这个等式两端关于x求导

我们会得到y分之一乘上y关于x的导数

等于x平方导数是2倍x

乘上(lnx)再加上x平方不动lnx求导是x分之一

所以我们整理一下就是y的导数

应该等于(x的x平方次方)

再乘上(2倍的x乘上(lnx)再加上x)

这就是我们要求出来的导数表达式

我想这是我们对数求导法可处理的第一类函数

就是幂指函数

接下来我们有时候还会碰到这样的函数

说f(x)等于K从1到m,f_K做乘积

然后除上K从1到n g_K做乘积

实际上也就是说我这个函数里面

牵扯到了多个因子相乘

和多个因子相除的运算

这个表示是连乘号

也就是说表示的是

分母上是g_1，g_2一直到g_n乘起来

分子上是f_1,f_2一直到f_m乘起来

当然对这样的函数求导

大家知道

我们用导数的四则运算法则肯定能处理

但是如果直接套用导数的运算法则的时候

因为用多个因子相乘

你会得到这个表达式比较复杂

那现在我们又利用对数的运算性质

我们两边取对数

那么乘积的对数应该等于它们对数之和

而商的对数应该等于它们对数之差

所以说这样一做的时候

我们就把这个连乘变成了连和

也就是K从1到m

ln(f_K(x))再减掉一个K从1到n,ln(g_K(x))

这样在这个表达式里面我们就只有连和

但是函数加起来求导

我们知道直接就等于函数导数

再加起来就可以了

所以这样在等式两端关于x求导

这面就是f(x)分之一

再乘上f关于x的导数

这面就应该就等于K从1到m这个求导

复合函数求导就是f_K(x)分之一

再乘上f_K(x)的导数

再减掉K从1到n

这面是g_K(x)分之一

再乘上g_K(x)的导数

最后我们的表达式应该就是f'(x)

应该等于把x乘过去

x乘过去也就是K从1到m,f_K乘起来

再除上K从1到n,g_K乘起来

把这一个给它写上

K从1到m，f_K分之f_K(x)的导数

再减掉把这个也加起来

K从1到n，g_K(x)分之g_K(x)的导数

这样我们就通过简单的运算

把我们要求的导数表达式写出来了

也就是说我们利用对数函数的运算性质

对于这个有多个因子相乘和相除的函数

通过取对数把它导数运算进行了化简

比如我们看一下这个例子

这个例子也就是说

y等于根下(x减1)乘上(x减2)

再除上(x减3)再除上(x减4)

那我们做它的导数

大家当然可以直接做

因为这里面就用到了复合函数的链导法则

以及函数求导运算的四则运算

但是由于有四个因子在这儿做乘除

所以我们为了化简可以直接取对数

取对数利用对数的运算性质

它就应该等于二分之一倍的

这是ln(x减1)再加上ln(x减2)

括号里面再减点ln(x减3)减掉ln(x减4)]

写到这儿之后两边关于x求导

这就是y分之一乘上y的导数

等于二分之一ln(x-1)求导

一个简单复合函数求导

大家都能求得出来

它的导数是(x减1)分之一

类似的第二项求导应该是(x-2)分之一

第三项求导应该是负的(x-3)分之一

第四项求导应该是负的(x-4)分之一

这样求出来之后最后我们把y乘过去

所以我们最后要求的导数

应该是根下(x减1)乘上(x减2)

除上[(x减3)再乘上(x减4)]在分母上乘上

二分之一我们放到前面来

后面把上面这个括号大家给它搬下来就行了

这样我们就把这个具体函数的导数就得到了

我想关于对数求导法我们提一个问题

这个问题就是说如果我为了求导这个目的

我在取对数的时候

我一般来说

是不讨论这个等号两端这个值的正负的

原因是什么

原因是这样就是说

因为我们知道lnx的导数自然是x分之一

但是ln(x的绝对值)的导数大家可以求一求

无论x大于0还是小于0

它是不是还是等于x分之一

就是这个就表示

你如果仅仅是以求导数为目的的时候

你取与不取绝对值

并不影响最后的导数结果

所以说作为一个求导方法来说的时候

就是我们不再讨论

说当它大于0时怎么样小于0时怎么样

我就直接取对数

这样我最后得到的导数公式还是对的