Bolzano定理与Cauchy收敛准则在线视频

前面我们介绍了数列极限的概念性质

以及它的四则运算

还介绍了就是怎么样判断一个数列极限是否存在

给出了夹逼定理和单调有界收敛定理两个判别方法

接下来我们来介绍一下

就是数列极限里面几个与实数理论有关的结论

这就是所谓的区间套定理

然后有界数列收敛子列定理

和数列极限的柯西收敛准则

接下来我们看一下

这个标题啊我们起成就是

Bolzano定理与柯西收敛准则

在介绍Bolzano定理之前我们先看一下

数列极限与其子列极限之间的关系

我们给出一个结论

这个结论是这样说的

就是数列｛an｝收敛

它的充分必要条件是

它的任何子列均收敛

且子列极限是相等的

且极限值相等

也就是说一个数列收敛的时候

那么它所有的子列的极限都应该是收敛的

当然子列极限值应该等于数列的极限值

反过来如果我们知道

它的所有的子列都收敛

而且子列极限相等的时候

也能推出数列本身是收敛的

当然这时候数列的极限值

应该也会等于子列极限值

然后我们给出一个简单的证明

这证明 就是说我们先证这个的必要性

也就是说我们先证一下这个方向

我们的条件是数列是收敛的

所以任给ε大于0我们能找到一个N大于0

当n大于N时我们有an减掉

比如它的极限值我们记成A 是小于ε的

这是我们的条件

接下来我们来证明在这个前提下

它的任何一个子列的极限都是A

也就是说由于｛ank｝

这是它的一个子列

是｛an｝的子列

是子列的时候

那么我们特别的就取

一个K就等于我们的N

那么则当子列的第k项 也就是小写的k

大于这个K时

那么根据子列的概念我们知道

这个nk应该就大于K

这个呢K是取成N的

也就是说只要子列中我在第K项后面取的时候

那么它在原来数列中一定是在N项后面

在N项后面我们就有这个不等式

也就是这个时候我们就知道ank减掉A应该是小于ε

而这个不等式的成立就意味着我们这个结论是有的

也就是故ank在k趋向于无穷时它的极限是等于A的

因为我们这个｛ank｝是数列｛an｝的任意一个子列

这样我们就证明了这个定理必要性

也就是说数列收敛所有子列都收敛

而且子列的极限是数列的极限

接下来我们证它的充分性

它的充分性也就是说

如果它所有子列极限都存在而且相等的时候

我们来证明一下数列的极限也是子列极限

那我们用反证法说

如果这个an n趋向于无穷时

这极限不等于子列的极限A

那根据数列极限不等于A的描述

那我们就会得到这个结论

则找到一个大于0的数ε0

然后还能找到就是说

对于任意的大写的N来说

我都能找到一个N后面的n 使得什么呢

使得就是anN减掉A是大于等于ε0的

也就是说这个极限不等于A的表述

我们有了这套结论之后

如果我把这个N我就分别取成1 2 3

这样大家知道实际上我们一定能推出这个结论来

存在一个｛ank｝是个子列

使得这个不等式是对的

ank减掉A是大于等于ε0的

这样的时候我们就得到了｛an｝的一个子列

这个子列中的每一项与A的差的绝对值都是大于等于ε0的

这与我们的条件是矛盾的

我们的条件是所有的子列它都应该以A为极限

这是就是这个定理充分性的证明

实际上在这个定理里面作为一个数学定理来说

这个条件是可以去掉的

也就是说这个定理我们可以写成

数列｛an｝收敛的充分必要条件

是它的任何一个子列都收敛就可以了

因为只要在子列都收敛这个条件下

我们一定能够推出这些子列的极限应该是相等的结论

我简单给大家解释一下 你比如说

我有｛bn｝是｛an｝的一个子列

又有｛cn｝也是｛an｝的子列

如果就是这两个数列极限

一个是趋向于B 一个是趋向于C

那我把它合到一起 合到一起的时候

它会构成就是｛an｝的另外一个子列

这个子列比如说我用d来表示

当然它合到一起之后重复的项算一项

那么如果这个趋向于B这个趋向于C

而B和C不相等的时候

我们一定能推出这个新的子列它是不收敛的

这样它就与这个所有的子列均收敛这个条件矛盾了

所以说做个简单的推导你就知道

这个极限是前面所有子列均收敛一个自然的结论

当然我们刚才证明的时候为了就是说书写方便

我们就把这个条件加上了

所以这个条件是可以去掉的

这是关于数列极限和子列极限之间的一个关系

接下来我们用这个关系来讨论一个简单的例题

也就是说我有一个数列

它的第一项是等于2

它的第n＋1项是等于2加上an分之一

就这么一个数列

现在我们讨论这么一个问题

就是问这个数列是否收敛

如果收敛的时候它的极限值是什么

对这个数列来说因为我们没有它的通项表达式

只有它的一个递推关系

一般讨论这样的数列是否收敛

我们常用的就是单调有界收敛定理

而这个数列我们很容易验证它本身是没有单调性的

大家可以做一下an加1减掉an

你就会发现就是说它是没有单调性的

那我们怎么来处理这个问题

这个问题我们处理的时候我们可以考虑

a2n加2减掉a2n

我们还可以考虑

a2n加1减掉a2n减1

也就是说我考虑这个数列的两个特殊的子列

一个是它的偶数项构成的子列

再一个是它的奇数项构成的子列

如果我能够证明这两个子列比如说它极限都存在

而且极限值相等的时候

那么我就能说原来这个数列是收敛的

它的极限值就是这个子列的极限

这实际是前面我们这个数列极限与子列极限的一个一般用法

也就是说我们真正用这个问题的时候

我只要能证明它一些特殊的子列极限都存在而且相等

我就能反推出原来这个数列极限是收敛的

只要就是说我所谓的特殊子列它的并集能够涵盖着

原来数列中所有项就可以了

所以这就是两个特殊的子列

大家把这个通项公式代进去

应该不难得到是这样子

也就是说a2n加1乘上a2n

然后还一个是a2n减1

然后a2n减2

然后这个地方推出来应该是a2n减掉a2n减2

也就是说我连续用两次递推关系

最后把这两个偶数项的差与另外两个偶数项的差联系起来

在这个表达式里面

我们比较容易能看出这个数列中的项都是大于0的

所以在这里面这个分母是大于0的

那这样子时候我们就得到了这个差的一个递推关系

我们为了说明这个偶数项构成子列是单增还是单减

只要看我们的a4减掉a2是大于0小于0就可以了

那a1知道大家自然能做出a2a3a4

实际这个问题做出来之后你会发现a4是小于a2的

那么a4小于a2用这个递推关系自然就得到

a6小于a4 a8小于a6

所以说到了这个形式我们知道这个

｛a2n｝这个数列是单调递减的

然后类似的这个我们连续用两次递推关系

也能得到这个结论

就是a2n乘上a2n减1

再乘上a2n减2a2n减3

上面是a2n减1减掉a2n减3

也就是由奇数项构成的这个子列我们仍然也是得到了

这个两项差之间的一个递推关系

我们为了说明奇数项构成的子列是单增还是单减

只要看a3和a1谁大谁小就行了

刚才我说过a1知道递推关系知道

我们自然能够做出a3来

而且在这个题目里面a3是大于a1的

这样我们就知道奇数项构成的子列应该是单增的

好 有了单减单增再从原来这个通项关系里面

我们也容易说清楚它是有界的

因为通过这个通项关系式大家知道每一项都是大于2的

但是每一项应该小于二分之五的

所以这样我们就能够保证

就是奇数项和偶数项构成的子列不仅是单调的

而且是有界的

所以它们应该是收敛的

关于它的极限值是什么

我们可以在这面这个关系式把它解出来

好 刚才我们已经讨论过

就是说只考虑这个数列的偶数项构成的子列

和它的奇数项构成的子列的时候

我们证明了这两个子列

一个是单调下降有下界

比如说2就是它的一个下界

而奇数项构成的子列它是单调上升有上界的

比如说二分之五就是它的一个上界

因为它每一项都是大于2的

所以说它每一项也都是小于二分之五的

根据单调有界收敛定理

我们知道这两个子列都是收敛的

我们就记A就是这个偶数项构成的子列的极限

B是这个奇数项构成的子列的极限

那么我们根据那个递推关系

因为我们的a2n是等于2加上a2n减掉1分之一

而我们的a2n加1应该等于2加上a2n分之一

在第一个等式两端我们让n趋向于无穷取极限

我们就会得到这是趋向于A等于2加上B分之一

而在第二个等式两端我们仍然让n趋向于无穷取极限

这个就得到的是B等于2加上A分之一

我们把这两个等式做一个减法

然后通分运算一下

也就等于A乘B分之A减B

接下来我们看一下因为这个数列中的每一项

都是大于2的

所以它根据极限的保号性质

它的极限A应该是大于等于2的

类似的我们也知道这个B也是大于等于2的

所以由A和B都大于等于2以及这个关系式成立

我们马上就推出A减B应该是等0的

也就是AB应该是相等

这样有了这两个子列极限相等

我们就推出了原来这个数列极限是存在的

而且它的极限值就是这两个子列的极限

那我们为了求A和B

我就利用其中一个关系式就可以了

由A等于2加上A分之一

然后这是一个A的二次方程

二次方程大家能够求出来

我们取一个大于等于2的

所以就解得A实际是等于1加根下2的

这也就是我们这个数列的极限值

我想这个例题体现出来的方法

也是我们讨论由递推关系给出通项的

这样的数列极限是否存在以及极限值等多少的

一个常见的处理方法

也就是说数列本身尽管没有单调性

但我们可以考虑它几个特殊的子列

如果这几个特殊子列我们能够用单调有界收敛定理

去讨论它极限 存在性的时候

反过来我们也能处理这个数列的极限问题