其他形式的不定式在线视频

前面我们介绍了在极限运算问题中

我们碰到的分式函数极限

在分子分母同时趋向于0

或者是同时趋向于无穷时的定值方法

但是在极限计算问题中

除了这两种所谓的不定式之外

我们还会碰到其它的

也是没法直接用四则运算求值的极限问题

也就是说还有其它形式的不定式

这是我们这一节要介绍的问题

也就是其它形式的不定式

我就写其它不定式

你譬如说我们有时候在极限计算问题中

会碰到0乘∞型 或者是∞减∞型

那作为第一种来说

实际上也就是说我们在极限计算问题中

我们的函数实际上是两个因子的乘积

而其中一个因子是无穷小量

而另外一个因子是无穷大量

这个时候我们怎么样给它定值

实际上有了基本不定式的定值法之后

我们通过简单地变量替换

或者是通过简单的变形

我们就可以把这个形式变成基本不定式

而这个∞减∞型它指的是说

在我们极限运算中

我们的函数是两项作减

其中两项都是无穷大量

那在某些时候也是所谓的不定式

当然有时候它不是的

譬如说正无穷大减掉负无穷大

结论大家是知道的

它肯定还是正无穷大量

但这个地方指的

像正无穷大量减掉正无穷大量结论是什么

负无穷大量减掉负无穷大量结论是什么

当然一般的就是无穷大量减掉无穷大量

结果是什么

那我想对这两个形式的

我们通过两个例子来说一下

给第一个例子我们就求一下x趋向于0正x乘上lnx

这个函数极限

那大家一分析在这个极限过程下

这就是一个0乘∞型的不定式

那我们就可以这样做了

说我让一部分作个倒数运算

譬如说处理成lnx比上(x分之一)

那在x趋向于0正时

这就是无穷比无穷

大家看这个例子的面孔是熟悉的

因为在前面

我们曾经求过这个无穷比无穷形式的极限

那我们用一次罗必达法则

x趋向于0正上面导数是x分之一

下面倒数是负的x方分之一

所以极限是0

这样我们就把这个函数的极限求出来了

当然大家说

你把第一个因子作了倒数运算

同样一个问题

我能不能把第二个因子作倒数运算

大家看如果我这样来写

也就是x趋向于0正x除上lnx分之一

大家看在这个极限过程下

这就是个0比0型的不定式

我们自然也有所谓的罗必达法则

x趋向于0正分子的导数是1

分母的导数是负的ln方x分之一再乘上x分之一

一个简单的复合函数求导

这个时候我们为了跟一开始作一个比较

我们看一下

是不是可以写成x趋向于0正

这是负的x除上ln方x

那么在x趋向于0正时

这里是个倒数

在x趋向于0正时

这是不是还是个0比0型的不定式

但是这个0比0型的不定式

与我们一开始要做的这个0比0型的不定式

从形式上看它是变简单了还是变复杂了

我相信大家都能看得出来

因为你这里有一个平方运算

说我这个如果没法求的时候

这个我是不是可以这样说

我们更没法求

因为它肯定是变复杂了

什么意思

也就是说对同一个极限来说

因为我们是想通过变形

变成我们能用罗必达法则的形式

尽管从变形的角度来说

这个等号与这个等号都是对的

但是对这个极限来说

我们第一种变形

对于我们求极限问题来说是有效的

而第二种变形

相对于我们求极限这个问题来说它是无效的

因为你变完之后

用罗比达法则我们并不能定出它的值来

实际上这也是告诉我们

在做极限运算问题时

当在一种变形下

你无法求值的时候

你就想我是不是变的形式

对这个问题来说是不合适的

我能不能换一种变形方式

我想这是第一个例题

第二个例题我们来看一下∞减∞型的

看这个例子x趋向于1

x除上(x减1) 再减掉lnx分之一

那大家看一下

这就是两项作差

而每一项在x趋向于1时都是无穷大量

所以说这就是∞减∞的

那我们的处理方法很简单

我们的目标就是看

怎么样把这两项变成是一个分式

变成分式当然是通分

所以这个地方就是(x减1)乘上lnx

然后这个地方就是x乘上lnx再减掉x再加1

那么在x趋向于1时

分母应该是趋向于0的

分子还是趋向于0

这就是0比0型的东西

那我们用罗比达法则

x趋向于1上面求导应该是lnx再加上1再减掉1

底下一求导

就是lnx再加上1再减掉x分之一

那请大家看一下x趋向于1时

分子极限当然还是0

分母极限也是0

所以说这仍然是0比0型的

我们就再用一次罗比达法则

这时候分子的导数就是x分之一

分母的导数应该是x分之一再加上x方分之一

在x趋向于1时分子趋向于1

分母趋向于2

所以我们的答案出来了是二分之一

这就是∞减∞型的

当然有时候我们如果对∞减∞型的东西

无法做通分的时候

我们也可以把它一个因子提出来

提出来之后转化成0乘∞型

这个时候再作倒数变形

也可以处理

我想这是这两种形式的不定式

实际上我们是通过代数变形

变成0比0或者是∞比∞这两种形式

从而去用所谓的罗比达法则

接下来我们还有这样的形式

譬如说就是0的0次方

1的无穷次方

无穷的0次方

大家知道这三种形式对应的是同一类函数

也就是说你要考虑f(x)的g(x)次方

在一个极限过程下的极限问题

这就是前面我们在介绍简单极限运算

譬如说我们曾经介绍过一个重要极限

就是这个形式

还有我们在做导数运算时

也曾经碰到过幂指函数求导如何处理

实际在这儿一样

我为了把这三种不定式

给它通过代数变形

变成能用罗比达法则的形式

我们就是两边取对数

取对数之后那么它的自然对数

就变成了两个因子的乘积

那么在这三种形式下

这两个因子乘积

一定是0乘∞型的

0乘∞型我们就转化到了这个形式

所以说我们可以把它对数的极限求出来

那么它的极限

再取一个指数运算就行了

那我们看几个例子

譬如说第一个例子

我们就看一下x趋向于0正x的x次方

因为它比较简单

所以说我就不再写这些过程了

我直接这样写

他就应该是求x趋向于0正e的{x乘上lnx}

应该是求这个极限

因为刚才我们已经举过

这个函数在x趋向于正无穷时

它的极限是什么这个例子

我们知道它的极限应该是0

所以说我们这就是e的0次方

当然是等于1

所以说作一个转化之后

我们就把这个极限求出来了

接下来我们第二个例子

第二个例子我们来求一求

x趋向于0cosx的(sinx方分之一)次方

实际上这个极限

在前面我们介绍重要极限时

我曾经给大家介绍过这个例子

当时我们是要把底数转化成1加上一个极限是0的表达式

从而转化成用重要极限的形式去做

现在大家一分析

这是个幂指函数

在这个极限过程下

这是1的∞次方形式

所以说我可以这样写

我就解的时候我就记

y等于cosx的(sin方x 分之一)次方

那么则y的自然对数应该就等于sin方x分之lncosx

是这个东西

然后接下来我们有

这个自然对数在x趋向于0时

它的极限也就是等于lncosx比上sin方x

我们为了作导数运算时计算量小

或者是比较简单

我底下用个等价无穷小代替

那也就是x方分之lncosx

到了这一步大家知道

这是个0/0型的不定式

那我当然可以用罗比达法则

也就是分子分母分别求导

分母就是2倍x

分子就是cosx分之一乘上负的sinx

我想写到这儿

结论大家应该知道了

因为我们第一个重要极限就告诉咱们

sinx比上x极限是1

而cosx在x趋向于0时极限是1

所以说这个答案应该是负二分之一

但是我们这个负二分之一求的是谁

求的是y的自然对数的极限

所以说y的极限也就是说

们这个极限应该是e的负二分之一次方

那么在利用取对数求极限的过程中

这个方法大家不难掌握

但是在同学们中间

常见的一个错误是什么

也就是说我变形以后

做极限做得非常高兴

一高兴最后说我的答案就是负的二分之一

这是非常常见的一种错误

就是说你在做极限运算过程中

实际上你到了最后

忘了你原来的问题是什么

原来我们求的是y的极限

而不是求的y的自然对数的极限

所以这个尽管好像说是一个很小的一个点

但是作为数学问题来说即使差一点

那也是完全不一样的

所以说在这个地方

大家在学数学的过程中

我想慢慢地应该体会到

我们强调的这些问题

我想这是第二个例子

第三个例子

我们来看一下说x趋向于0正时

x趋向于∞就是说正无穷吧

x趋向于+∞时x的(x分之一)次方

这是个幂指函数

在这个极限过程下

这就是∞的0次方

那我们做这个问题的时候

我也直接给它作变形

x趋向于+∞这应该就是e的(x分之lnx)

就是这个东西

前面我们曾经说过在x趋向于+∞时

尽管对数函数和这个幂函数都是无穷大量

但是对数函数怎么都跑不过幂函数

也就是说这个比值的极限

前面我们曾经求出过应该是0

所以说这个应该是e的0次方

最后结果应该是等于1的

我想这是关于幂指函数

在同一个极限过程下

底数和指数分别出现这几种情况时

我们的一般处理方法

作为罗比达法则

它的一个综合应用

我们最后讨论一个例题

这个例题是这样子的

如果我们知道f(x)等于e的x次方加上ax方加bx加c

与g(x)等于x减sinx

在x趋向于0时是等价无穷小

我们来确定一下这里面这三个参数abc的值

这个问题当然用到了我们的罗比达法则

同时也用到了前面我们无穷小比较时

给出的一个概念

两个无穷小量

什么叫等价无穷小

那我们看一下

这个问题求解怎么去做

因为它说了它在x趋向于0时是等价无穷小

首先它必须是无穷小量

大家看一下有x趋向于0f(x)

直接求x趋向于0时这个表达式的极限值

它是等于1+c的

1+c应该等于0

所以大家就会得出c等于-1来

好了c得出-1来之后

那大家再看一下

f(x)比上我们的g(x)

也就等于e的x次方加上ax方加bx减1

再除上x减sinx

这就是0比0型的不定式

我们如果用罗比达法则

它应该趋向于底下是1减cosx

而上面是e的x次方加上2倍的ax再加b

那么在x趋向于0时

分母极限是0

分子的极限大家可以看出来

分子的极限应该是趋向于e加上

e的0次方1加上b的

如果分子的极限

1加b不等于0的时候

这个比值应该就是个无穷大量

是无穷大量根据罗比达法则

这个比值就应该是无穷大量

这与它俩等价

也就是极限为1是矛盾的

这样就说清楚

这个1+b不会是别的

它一定等于0

所以说这样我们就得到了b=-1

好b等于-1之后我们用一次罗比达法则

最后它就变成了又是0比0型的东西

我们继续用罗比达法则

分母的导数是sinx

分子的导数是e的x次方加上2倍的a

在x趋向于0时分母极限是0

分子的极限大家看出来了

应该是1加上2倍的a

如果1加2a不等于0的时候这又是无穷大

它是无穷大量的时候

我们用罗比达法则

反推出来它还是无穷大

这仍然与这两个字是矛盾的

所以说这个一定等于0

这个一定等于0

a就只好等于负的二分之一了

所以这样我们用罗比达法则

和等价无穷小的概念

就把abc三个参数定出来了

当然在这个讨论的过程中

我想对罗比达法则的要求

要远远高于前面我们这几道具体极限运算中

对罗比达法则的要求

希望大家仔细体会一下

这道题体现出来的

罗比达法则我们是怎么用的