当前课程知识点：微积分——极限理论与一元函数 > 第六章 原函数与不定积分 > 第四节 有理函数的积分 > 四个特殊函数的不定积分
好 刚才我们讨论的常见的
三种的不定积分的计算方法
第一换元法第二换元法
以及最后的一种分部积分的方法
那么我们现在具体来看一下
一类函数的不定积分
分式有理函数它的不定积分
那么我们在讨论一般的分式有理函数之前
我们先讨论四个模式的积分
实际上我们是
最后把一般的一个分式有理函数积分
转化成为四个模块的不定积分
所以我们先来讨论四个模块
哪四个模块
第一块就是一个常数A除以ax加上b
这个函数的不定积分
其中很显然a是不等于0
那么这么一个函数的不定积分
显然在积分表上都可以查出来
等于A除以a因为a不等于0
dxx加上b除a
也就等于A除以aln绝对值x加上b除a
加上常数C
这是我们讲的第一种特殊的不定积分
那么第二种特殊的不定积分
是A除以ax加上b的括弧的n次方
这个函数的不定积分
其中呢a是一个不等于0的一个数
n呢是大于等于1当然是正整数
是个正整数
那么我们来看看这个函数的
不定积分也不是太困难
等于A除以a的n次方拿出来之后dx
下面呢就是x加上a分之b的括弧的n次方
我们做一个很简单的变量代换
令x加a分之b如果说我们把它记成u的话
就等于A除以a的n次方
上面呢是du除以u的n次方
也就是等于A除以a的n次方
u的1减n次方除以1减n分之一
这里面n是大于1
因为n等于1的情况我们刚才已经讨论了
所以n是大于1的一个正整数
加上任意常数C
u等于什么u等于x加上a分之b的n
那么也就是最后的答案也就是1减n分之一
A除以a的n次方 u呢
就是x加上b除以a的1减n次方加上任意常数C
这是我们所讨论的
第二个模块的这么一种形式
A除以ax加上b括弧的n次方
n是大于1的一个正整数
a不等于0
这种形式函数的它的不定积分
我们来看看第三个模式
就是Bx加上D
除以px的平方加上qx加上rdx
其中我们要给条件
p当然是不等于0
因为p等于0底下是一个一次多项式
跟我们这个差不太多
而且是q平方减去四倍的pr要小于0
q平方减去四倍的pr小于0
本身就意味着分母作为一个二次多项式
是没有实根的
也就是在实数范围内这个二次多项式
是不可能做成两个一次多项式的因式分解的
我们来看看
它就等于我们把B拿出来之后
是x加上D除以B
我们假设B也不等于0
因为如果说B等于0的话
实际上来讲是一个更简单的一种情况
我们一定是会算的
除以px的平方加上qx加上r
也就等于B不定积分两倍的px加上q
然后呢除以两倍的p减去q
再加上D除以B乘上两倍的p
除以px的平方加上qx加上rdx
加q减q正好抵消
那么我把两倍的p拿下来
这边两倍的px
这个常数D除以B乘上两倍的p
这就是一个恒等变换
那问题就来了
为什么要凑成这么一个式子呢
我们把它拆开了之后
我们完全就可以看出来
两倍的p
前面那部分积分的话实际上就是
d（px平方加上qx加r）
除以px平方加上qx加上r
这就是为什么我们这要凑一个两倍的p
后面要凑一个q
就想凑成px平方加上qx加上r这个函数的微分
使得它的导数就等于上面那个
好剩下的部分我们把它的常数拿出来
B除以两倍的p乘上－q
加上D除以B乘上两倍的p
常数统统把它放下来
就变成了dxpx平方加上qx加上r
那第一个式子的不定积分马上就可以算出来
它就是一个对数函数
所以第一个式子
B除以两倍的p
ln的绝对值px的平方加上qx加上r
第一个式子的不定积分
第二个式子呢我们把常数放下来之后呢
我们来看看
两倍的p负的q加上D除以B乘上两倍的p
乘上我们把它的分母做配方
p乘上括弧x加上二倍的q除以p的平方
再加上四倍的p平方
上面呢是四倍的pr减去q的平方
这么一个式子
上面呢是dx
那么我们一看这个式子
我把p分之一提出来之后
实际上看上去就跟arctan差不多了
也就等于B除以两倍的p
ln绝对值px^2加上qx加上r
前面那一项
后面那个常数呢放在那
B除以两倍的p
乘上负的q加上D除以B乘上两倍的p
再乘上p分之一拿出来
后面呢就是再乘上把这个常数拿出来
上面是两倍的p
除以根号四倍的pr减去q的平方
arctan
x加上两倍的q除以p除以
根号四倍的pr减去q的平方
除以四倍的p的平方
加上任意常数C
所以呢这是我们要讲的
第三个模式的不定积分的计算
那么在这里面呢我们稍微用了一点点技巧
也就是说我配了一个
本来是x加上D除以B
配了一个两倍的px加上q
为什么要配呢
就是因为我们要凑成一个px^2加上qx加上r
这么一个函数的导数
把常数拿下来之后变成了dx
分母是px^2加上qx加上r
我们把分母这个函数做配方之后
我们可以得到这个式子
由这个条件我们可以知道
四倍的pr减去q平方除以四倍的p平方
这是一个大于0的一个数
我们把这个呢
再稍微做一点点的换元之后
我们可以用arctan
来表示这么一个函数的不定积分
所以变成一个对数函数
加上一个很复杂的一个常数
加上arctan再加上任意常数C
好我们刚才讲了三种特殊的不定积分的计算
那么我现在呢要讲
第四种特殊的不定积分的计算
在讲第四种之前
我们先给出一个所谓的递推公式
也就是说我们现在要算一个
跟自然数n有关的这么一个不定积分
比如说
In就是x平方加上a平方括弧的n次方分之一的
这么一个函数的不定积分
n呢当然是正整数
当n等于1的时候
我们很显然可以算出来的
那么I1呢就等于x平方加上a平方分之一
我们原来算过的一道题
我们可以知道它就等于a分之一的
arctan a分之x加上常数C
I1是我们已知的
我们来看看In
我们把它改写一下
改写成我们更容易看的一个不定积分
我们把前面那个函数叫做u（x）
我们把后面那个函数叫做v（x）
这不就是分部积分的时候u（x）
d（v（x））的形式
所以用一下分部积分我们可以知道
它就等于u（x）乘上v（x）
也就x除x平方加上a平方括弧的n次方
减去v（x）是x乘上u（x）的导数
－n乘上x平方加上a平方 n加1次方
上面呢是两倍x dx
用一次分部积分
我们把－n拿出来之后我们可以发现
它就等于
x除以x平方加上a平方的括弧的n次方
加上两倍的n乘上上面呢是x平方
x平方我改写成x平方加a平方减a平方
除以x平方加上a平方括弧的n加1次方的dx
x平方加a平方除以x平方加a平方的n加1次方
它实际上就是In
所以呢就等于
x除以x平方加上a平方加上两倍的n
乘上前面那一项就是In
后面那一项是减去两倍的n乘上a平方
后面那项就是In+1
后面那一项我把a平方作为常数拿出来之后
就是x平方加a平方括弧的n加1次方分之一的
不定积分
所以就是In+1
我把In写的稍微近一点
In和In+1的这么一个关系式
实际上就是关于In的一个递推公式
我们把它写的稍微更好看一点的话
是In+1就等于
x除以x平方加上a平方乘上两倍的na平方
再加上两倍的n减1
除以两倍的na平方 In
n可以是1 2 3 一直写下去
那么这就是一个关于In这个形式
这种积分的一个递推公式
In＋1变成一个函数和一个In的一个组合
那么你可以想一想
In+1可以写成In
In是不是同样也可以写成In－1的一个组合
这样下去最后可以写成I1
I1当然我们已经给出了
等于a分之一arctan a分之x
加上常数C
所以这个递推公式可以
使得我们在有限的步骤下把In给算出来
我们用这个递推公式呢我们来算这个模式四
第四种模式的这么一种特殊情况的不定积分
就是我们的Bx加上D
除以px^2加上qx加上r括弧n次方 dx
刚才第三个模式我们写的是n等于1的情况
所以n等于1我们已经算出来了
现在我们要来看一看
n大于1又是正整数的情况
n是大于1的一个正整数的情况
我们跟刚才一样它就等于
B拿出来之后
里面是x加上D除以B
底下是px^2加上qx加上r的n次方 dx
也就等于B除以2p
上面是两倍的px加上q减去q
再加上D除以B乘上两倍的p
除以px^2加上qx加上r括弧n次方
那前面那一项跟我们模式三是一样的
就等于B除以两倍的p
上面呢是d（px^2＋qx＋r）
除以px^2加上qx加上r括弧n次方
如果你要再愿意做
用一下变量代换
令u等于px^2加qx加r
就是du除以u的n次方这不定积分
马上就可以出来了
后面那部分就等于
B除以两倍的p乘上负的q
加上D除以B乘上两倍的p
常数放下来
里面这个积分就等于
dx除以我把p的n次方拿下来之后
那么底下是里面是x加上q
除以二倍的p括弧的平方
加上四倍的p平方分之一乘上
上面应该是四倍的pr减去q的平方
这个函数的n次方
前面那个不定积分我们已经解决了
我们不需要去管它
这个常数我们也不需要去管它
实际上最后就剩这么一个不定积分
这个不定积分你做变量代换
令x加上q除以二倍的p等于u
a平方就等于四倍的pr减去q平方
除以四倍的p平方
做这么一个记号之后
实际上这个积分实际上就等于
du除以u平方加上a平方括弧的n次方
就等于这么一个积分
因为刚才我们已经强调过了
q平方减去四倍的pr应该小于0的
也就是说分母作为一个二次多项式
在实数范围内它是没有实的零点的
所以呢a平方一定是大于0的一个实数
这样的话a平方当然是成立的
du除以u平方加a平方括弧的n次方
或者说u平方加a平方n次方分之一的
这个函数的不定积分
刚才我们用了递推公式正好是
正好可以得到我们想要的结果
从一般的n递推到n－1 n－2
一直推推到最后n等于1的话是arctan
所以呢从这个意义上来讲我们这种模式
Bx加D除以px^2加qx加r
在我们刚才讲的条件下
这个模式的不定积分我们也已经做完了
-序言
--序言
-第一节 实数集的界与确界
--实数集的界
--实数集的确界
-第一节思考与练习
--思考题
--练习题
-第二节 函数的概念
--分段函数与隐函数
-第二节思考与练习
--思考题
--练习题
-第三节 函数的运算
--函数的反函数
-第三节思考与练习
--思考题
--练习题
-第四节 函数的初等性质
--函数的凸性
-第四节思考与练习
--思考题
--练习题
-第五节 初等函数
--初等函数
-第五节思考与练习
--思考题
--练习题
-第六节 极坐标方程与参数方程表示的几种曲线
-第一节 数列极限的概念与性质
--无穷大量
-第一节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第一节思考与练习
-第二节 数列极限存在的充分条件
--单调有界收敛定理
-第二节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第二节思考与练习
-第三节 Bolzano定理与Cauchy收敛准则
-第三节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第三节思考与练习
-第四节 函数极限的概念与性质
--函数极限的概念
--函数极限的性质
-第四节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第四节思考与练习
-第五节 函数极限的运算
-第五节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第五节思考与练习
-第六节 无穷小量及其（阶的）比较
--无穷小量的比较
-第六节思考与练习
--思考题
--第二章 极限论--第六节思考与练习
-第一节 连续函数的概念与性质
--间断点的分类
--连续函数的性质
-第一节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第一节 思考与练习
-第二节 闭区间上连续函数的性质
-第二节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第二节 思考与练习
-第三节 函数的一致连续性
--一致连续的概念
-第三节 思考与练习
--思考题
--第三章 连续函数--第三节 思考与练习
-第一节 导数与微分的概念
--导数的概念
--导数的几何意义
--微分概念
-第一节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第一节 思考与练习
-第二节 导数与微分的运算
--导数的四则运算
--反函数求导法
-第二节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第二节 思考与练习
-第三节 几种特殊函数的求导法、高阶导数
--高阶导数
-第三节 思考与练习
--思考题
--第四章 导数与微分--第三节 思考与练习
-第一节 微分中值定理
--Fermat定理
--Rolle定理
-第一节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第一节 思考与练习
-第二节 L'Hospital 法则
--0/0型不定式
--∞/∞型不定式
--其他形式的不定式
-第二节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第二节 思考与练习
-第三节 函数的单调性与极值
--函数的单调性
--函数的极值
--函数最值的求法
-第三节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第三节 思考与练习
-第四节 函数的凸性与拐点
--函数凸性的判别法
--拐点
--曲线的渐近性
-第四节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第四节 思考与练习
-第五节 Taylor 公式
-第五节 思考与练习
--思考题
--第五章 导数应用--第五节 思考与练习
-第一节 概念与性质
--原函数的概念
--6-1视频纠正
-第一节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第一节思考与练习
-第二节 换元积分法
--第一换元法
--第二换元法
-第二节思考与练习
--思考题
--第六章 原函数与不定积分--第二节思考与练习
-第三节 分部积分法
--分步积分法
-第四节 有理函数的积分
--html
--第六章 原函数与不定积分--第四节思考与练习
-第五节 简单无理式的积分
--无理函数的有理化
--第六章 原函数与不定积分--第五节思考与练习
-第一节 积分概念与积分存在条件
--定积分的概念
-- 函数的可积性
--第七章 定积分--第一节思考与练习
-第二节 定积分的性质
--定积分的性质
--定积分性质的应用
-第三节 变上限积分与Newton—Leibniz公式
--变上限积分
--复合变限积分
--定积分的计算
--第七章 定积分--第三节思考与练习
-第四节 定积分的换元积分法与分部积分法
--第七章 定积分--第四节思考与练习
-第五节 定积分的几何应用
--平面区域的面积
--曲线的弧长
--平面曲线的曲率
--第七章 定积分--第五节思考与练习
-第六节 定积分的物理应用
--物理应用简介
-第七节 反常积分
--反常积分
--其他无穷积分
--第七章 定积分--第七节思考与练习
-第一节 数项级数的概念与性质
--第八章 级数--第一节 思考与练习
-第二节 正项级数的收敛判别法
--第八章 级数--第二节 思考与练习
-第三节 任意项级数
--交错项级数
--绝对值判敛法
--第八章 级数--第三节 思考与练习
-第四节 函数级数
--第八章 级数--第四节 思考与练习
-第五节 幂级数
--Abel判别法
--收敛半径与收敛域
--幂级数的分析性质
--幂级数求和
--第八章 级数--第五节思考与练习
-第六节 傅里叶级数
--三角函数的正交性
--第八章 级数--第六节思考与练习
