无理函数的有理化在线视频

下面我们讨论一类

无理函数的有理化的过程

通过有理化的过程

我们可以把这一类无理函数的积分算出来

简单无理函数的有理化

最终我们可以把这些

简单无理函数的不定积分给算出来

我们所谓简单的无理函数指的是

x开根号x+p括弧的平方加上q的平方

也就是说由x和这个根号(x+p)的平方

加上q的平方有限次加减乘除运算

所得到的这么一个函数

R(x,根号(x+p)的平方减去

q的平方以及R(x,根号q的平方减去(x+p)的平方

这些简单函数它是无理函数

但是我们可以通过三角变换把它有理化

上面的三角变换x加p就等于qtant

下面这个变换x+p等于qsect

那么最底下那种无理函数的

有理化就是x+p等于qsint

我们可以充分利用三角函数的几个公式

sin平方t加上cos平方t等于1

以及tan平方t加上1等于sec平方t

把这一些简单的三角函数有理化

实际上我们已经用了一些东西了

比如说我们原来求a方减x平方dx

那么我们做了变量变换x=asint

我们把这个函数就有理化了

变成了三角有理函数的积分

那么我们还举过类似的例子

我们都可以变成有理函数的积分

我们再来看一个例子

稍微复杂一点点

那么我通过配方我们可以把它写成

dx/1加上根号(x+1)的平方加上1

做很简单的变化

令x+1等于tant

那么这样的话我们知道这个不定积分就等于

x+1又等于tant

那么dx是sec平方tdx除以１加上

tan平方+1等于sec平方

开根号之后就等于sect

那么就变成了这么一个三角有理函数的积分

这个三角有理函数就变成了

dt/cos平方的t加上cost

就变成了这么一个三角有理函数的积分

而三角有理函数我们可以有几种办法来做

第一我们刚才讲过

所有的三角有理函数的积分

我们都可以通过万能公式把它给算出来

那么我们这里我们就不用万能公式了

dt/cost减去dt/1+cost

因为cost分之一减去(1+cost)分之一

正好等于cos平方的t加上cost分之一

所以我们可以做很简单的化简

那么cost的积分实际上我们已经算过了

就等于二分之一ln绝对值1+sint除以1-sint

这是第一个不定积分

第二个不定积分

是减去二分之一sec平方二分之tdt

那么后面那个实际上就是tant了

所以他就等于二分之一ln绝对值

不需要了1+sint除以1-sint再减去

tan二分之t再加上任意常数C

其中我们把那个t带进去

其中t就等于arctan(x+1)

我们把这个t统统代进去

化简之后就可以得到我们想要的结果了

所以对于类似于这些函数的看上去是无理函数

但是相对来讲里面还是简单一点

通常就是里面是一个二次多项式

无论是有实根也好复根也好

那么这种二次多项式

都可以通过类似的三角函数的变换

把它变成了三角有理函数的积分

而我们对三角有理函数的积分我们是会处理的

好我们再来看一类无理函数

那么这类无理函数是由x开n次方

ax+b这种形式构成的无理函数

其中很显然a不等于0

如果a=0的话这个积分就非常非常简单了

那么对这类函数的积分我们做变量代换

t就等于ax+b开n次方

那么这时候我们可以知道

x就等于t的n次方减去b除以a

而且dx就等于n倍的d的n-1次方除以a

我们把dxx统统放到原来的不定积分里面

我们可以知道原来的不定积分xax+b

这么一个无理函数的不定积分

那么我们把x和t代替了x的话

我们可以知道t的n次方减b除以a

dx就等于nt的n-1次方除以adt

那么这就是一个关于t的分式有理函数

所以原来那个是一个无理函数

在t等于这么一个ax+b开n次方变量代换下

我们可以把一个无理函数的积分

变成了有理函数的积分

而有理函数的积分当然我们是会处理的

好我们来做这么一个例题

x除以根号x-１dx

那么我们做变量代换令t等于根号x-1

那么x就等于t平方加1

dx就等于2tdt

所以我们原来的积分x除以根号x-１dx

可以写成t平方+1除以t再乘上2倍的tdt

我把t消掉之后

就等于2倍的t平方+1dt

也就等于这简单的不定积分算一下

2倍的三分之t的三次方加t加c

其中我们再代回去

t是等于根号x-１

我把它代进去之后

可以得到我们原来的不定积分

x除以根号x-1就等于三分之二(x-1)的

二分之三次方加上2倍的根号x-1加上常数ｃ

好我们再来看一类无理函数的有理化的积分

这类函数是x开n次方ax+b除以cx+d

这类函数无理函数的积分

我们还是做我们原来的变量代换

令ax+b除以cx+d开n次方我把这个叫做t

那么我们可以算出来

x就等于t的n次方d减b除以a-ct的n次方

那么我们再来看看dx等于什么

dx就等于a-ct的n次方括弧的

平方分之n(ad-bc)t的n-1次方dt

我们把dx和x以及这个t

通通代进入我们原来要算的

无理函数的不定积分里面

原来的无理函数的积分可以写成

R(X就等于t的n次方乘以d减b

除以a-ct的n次方t再乘上n(ad-bc)

除以a-ct的n次方t的平方t的n-1次方dt

所以我们就达到了我们的目的

就把原来那个无理函数的不定积分变成了

这么一个分式有理函数的不定积分

而对分式有理函数我们当然是有办法来处理的

我们来看一道例题

求这么一个积分dx

开三次方 (x-1)(x+1)括弧的平方

我们做一点点很小的变化

我们提一个（x+1 ）出来

底下就变成了(x-1)/(x+1)开三次方

那么这种形式的无理函数跟我们刚才那个

要做的无理函数

形式上完全都是一样的

也就等于(x+1)分之一

开三次方(x+1)除以(x-1)dx

我们做变量代换令t

就等于开三次方(x+1)除以(x-1)

我反解一下

x就可以写成x就等于t的三次方

加一除以t的三次方减1dx就等于

负的6倍的t的平方除以

（t的三次方-1)的平方dt

我们把这个tx和dx通通代到

我们原来要算的不定积分里面

我们就可以得到

原来那个不定积分dx开三次方

(x-1)(x+1)括弧的平方

实际上用t来表示

就可以表示成为t乘上1/t的三次方+1

除以t的三次方-1+1再乘上负的6t平方

除以（t的三次方-１)的平方dt

那这就是完完全全

就是一个分式有理函数的积分

根据分式有理函数积分的那些算法

我们可以得到最后的结论

就是等于-３ln绝对值t-1加上

二分之三ln（t方+t+1)再加上3倍的根号

三arctant+)/二分之根号三加上C

其中我们可以知道

t就等于根号开三次方(x+1)/(x-1)

把这个t通通代入刚才那个式子里面

就可以得到我们要求的不定积分

到此为止

我们所有的不定积分的方法都已经讲过了

那么我们稍微总结一点

我们来看

所谓一个积分我们做完了之后

我们很高兴的知道

这个积分 我们说不定积分

积出来了 和我这个积分

积不出来到底指的是什么意思

因为我们的结论很简单

只要是被积函数是个连续函数

那么它的不定积分

或者说它的原函数一定是有的

那么为什么我们还会存在一个问题就是

这个积分我积出来了

这个积分我没有积出来

所谓积出来了

就是说一个函数的原函数

可以用你已知

你已经很熟悉的函数来表示出来

那么这时候你说这个积分我积出来了

我们现在熟悉什么函数

我们现在所熟悉的函数只有是初等函数

也就是说一旦一个函数的不定积分

用初等函数表示出来

我们就说这个函数的不定积分积出来了

那么从这意义上来讲

我们可以讲的分式有理函数

都可以积出来的

因为它的所有的不定积分都可以

用初等函数表示出来

三角有理函数我们也可以积出来了

因为三角有理函数可以通过万能公式

转化成为分式有理函数

从而那个不定积分

完全都是一个初等函数所表示的

但是对于那些积不出来的函数

并不表示不定积分不存在

只是那个不定积分过于复杂

复杂到有可能不是

你初等函数所能表示的函数

比如说我给一个很简单的例子

你就会发现积不出来了e的x平方dx

这个函数非常非常之简单

你从微分的角度上来讲

这个函数

你任意阶导数都有

但是这么简单的一个函数

我们说积不出来

原因很简单

这个函数的原函数

已经不再是你初等函数所能表示出来

就我们现在初等函数的基础上

我们说

这个函数积不出来

但是这个函数的不定积分一定是有的

原因很简单

被积函数是连续函数

不定积分一定有

所以积不出来并不表示不定积分没有

而你积不出来并不表示别人积不出来

所以我们要用一种宽容的态度来对待积不出来

我们相信

这本身就是一个函数

那么这个函数即便积不出来

它也表示了一个很明确的一个函数

只是这个函数你不明白而已

不清楚而已