数列极限的性质及四则运算法则在线视频

前面我们介绍了数列极限的概念

接下来我们来介绍一下

我们常用的数列极限的性质

这方面既包括定性的性质

也包括定量的运算性质

这是我们这一章的第二节内容

也就是数列极限的性质

我们先说第一个

因为极限是个值

而且极限值反映了这个数列中的项

当下标越来越大它们的变化趋势

所以我们首先强调一下

数列这个极限如果一旦存在

它的值应该是唯一的

这就是所谓的唯一性定理

那我们写成一个结论应该就是说

若这个数列的极限存在

则这个极限值也就其值唯一

实际上这个唯一性

从我们前面介绍数列极限概念的时候

大家可以从极限的几何意义上能够想象出来

也就是说如果一个数列是有极限的

假设它有两个极限值

一个是A 一个是B

那么根据极限定义

说你以y等于这条直线为中心画一个带状区域

因为它极限是A所以从某一个点之后

数列对应的点都应该跑到这个带状区域里面来

如果它极限又是B的时候

它当然还应该符合数列极限的概念

我画这么一个带状区域

那么从某一个点之后

数列对应的点也应该都跑到这个带状区域里面来

我想这个矛盾大家看的是很清楚的

如果A和B不相等的时候

我自然可以画的这两个带状区域是没有交集的

那没有交集的时候

那么从某一点之后

它既要在下面又要在上面

这显然是不可能的

所以这实际上就是数列极限的唯一性

那如果我们严格地写出它的证明

这个问题也不难

我们可以这样去写

写一下如果设它的极限一个是A一个是B

我来证明A和B相等就行了

大家看一下A减掉B

因为它们都是数列｛an｝的极限

所以我自然就会给它把那个极限定义中的东西拿出来

也就是说在这里面我们给它

减一个an加一个an

用绝对值的三角不等式去放到这个地方

这样的时候大家看

因为它极限是A

所以在n趋向于无穷时这个绝对值应该是趋向0的

同时这个绝对值也趋向于0

这样我们就知道

A减B这个数是个确定的数

它趋向于0

所以A与B应该就相等

这应该就是这个极限唯一性的证明

接下来我们来看第二个性质

第二个性质我们给它叫有界性

有界性它指的是什么

它指的是说

如果一个数列｛an｝它极限存在也就是收敛

则这个数列｛an｝是有界的

这个有界性实际上从我们刚才这个地方

画出来的图里面也可以看出来

因为它极限存在

所以说从某一点之后

它们的对应的点

都应该是落在一个带状区域里面

所以从某一点之后

它们这个数列中的项

是能够有最上面的上界和下面的下界

而在这个点之前是只有有限个数

所以说它的有界性从几何上看也是比较明显的

那我们如果用严格的数学语言来给出一个证明

该怎么写

我们可以这样写

也就是说因为这个数列极限是有的

我们不妨把极限写成A

这是我们的条件

所以就是我们能够找到一个N大于0

当n大于N时我们就有

an减A的绝对值譬如说这个是小于1的

关于这个1实际上因为在定义里面

它是对所有的ε大于0我都能找到这样的N

但我们在这个地方只要证明它的有界性

所以我不见得我要所有的ε

我只要对任意固定的一个ε就可以了

特别的我们把ε取成1

这套东西还是有的

这个不等式利用绝对值的性质

我们马上就得到了

an的绝对值应该是小于A的绝对值加1

这样做完之后我就取M就等于什么呢

等于这些数里面的最大值

a1的绝对值 a2的绝对值

一直到an的绝对值

最后是个A的绝对值加1

这样取出来M就应该是个确定的大于0的数

那么取完之后大家看M应该就满足

则就是an的绝对值永远不会超过M

对所有的n来说

因为如果这个n大于N的时候

在这之后它的绝对值是不会超过这个M的

而在这之前

因为我这个M是在这些数里面取的最大的

所以说当n小于等于N时

它的绝对值自然也不会超过M

而这正好是数列有界的定义

也就是说你找到了一个大于0的数

它每一项的绝对值都不会超过这个值

关于就是说收敛数列有界

这是我们在极限理论里面比较有用的一个结果

也是经常用的一个结果

但是这个结果我们反过来说

应该也是得不到相关结论

说有界数列是不是收敛

我们知道有界数列不见得收敛

譬如说负一的n次方

这个数列它就是有界列

它不是收敛的

当然在后面我们还会介绍其他的内容

我们会介绍的一个很重要的结论就是说

有界数列尽管它本身并不收敛

但是有界数列里面至少要有一个收敛的子列

这是我们在后面要介绍的内容

另外就是说这个定理

当然也说清楚了另外一件事情

收敛列一定是有界列

反过来说无界列肯定是发散的

这当然是对的

那无界列发散就是说在发散的过程中

有没有其他的就是说我们可以利用的东西

后面我们也会做相关的介绍

这是第二个性质

第三个性质就是我们叫数列极限的保号性

它说的是这个内容

也就是说如果这个数列极限存在

而且A大于0

则就是说存在一个N大于0

当n大于N时我们的an是大于0的

这是它的内容

大家仔细看一下它的内容实际是说的什么东西

也就是说由极限值的正负号可以几乎确定

这个数列中每一项的正负号

所谓的可以几乎确定的含义是什么

也就是说从某一项之后

它数列中那个项的正负号

应该跟极限值的正负号是一致的

与极限值的正负号可能不一致的项

只能是有限项

相对于无穷来说有限项当然可以忽略不计

所以我们有时候通俗地说

由极限值地正负号可以确定数列中每一项的正负号

当然这个每一项是不包括前面有限项的

这是这个定理说的就是性质

接下来我们来给一个简短证明

这个证明就这样说

说我如果取这个ε就等于二分之A

这当然是大于0的

因为这个极限它是A

所以根据极限定义呢

所以我们就找到一个N大于0

当n大于N时

我们就有这个东西an减A的绝对值它是小于ε的

ε是等于二分之A

这样的时候我们利用绝对值的定义

也就是an它应该是小于二分之三倍的A大于二分之A

实际上我们不仅证明了从某一项这个an是大于0的

实际上我们证明了从某一项开始

它这个an是大于二分之A的当然是大于0的

实际上这个性质我们也可以回到这个几何图形上来看

所谓它的极限大于0就是说我在x轴上方有条水平线

以这条水平线作中轴我随便做一个带状区域

那么从某一点之后

数列对应的点都跑到这个带状区域里面去

所以说它当然是会跑到x轴上方

那就是它对应的数大于0

那实际上通过这个证明大家可以看出来

就是在x轴和y等于A这两条直线之间

你随便画一条线

那么根据极限的定义

我们都可以保证从某一项之后

它对应的点会跑到这条线上方

所以说这个地方它的系数是二分之A

实际上你可以把细数定义成一个r

r只要大于0小于1就可以了

我想这是我们要介绍的第三个性质

就是保序性

保序性应该是极限的一个很重要的性质

也是我们用的最多的一个性质

当然有了这个保序行性

我们马上得到了另外一个推论

这个推论我就说一下

说如果一个数列它每一项的值都是非负的

那么当它的极限存在时

它的极限值也应该是非负的

也就是说如果通项都是非负的时候

极限值绝对不会小于0

为什么说它是它的一个推论

因为如果它的极限值小于0

根据这个定理你就知道

从某一项开始它的通项都应该是小于0的

这个就与什么它每一项都非负矛盾

但是就是这个地方大家要注意

也就是说an大于等于0

我只能推出这个极限也是大于等于0

即使这个地方是an大于0

我也推不出这个极限是大于0的

也就是说通项大于0

它的极限是可以等于0的

这个例子大家看一下我们很熟悉的这个｛n分之一｝

n分之一对n来说它都是大于0的

但它的极限是等0的

我想这是我们要介绍的三条

关于数列极限的定性性质

就是极限的唯一性

收敛数列的有界性

以及极限的保号性质

下面我们来介绍我们数列极限的运算性质

实际上也就是数列极限的四则运算

我们给一个结论

这个结论是说

如果我们数列｛an｝的极限是A

数列｛bn｝的极限是B

我们的结论是

则第一个这两个数列加起来

就是｛an加bn｝它的极限也是存在的

它的极限就是A加上B

然后这个数列an与bn乘起来极限也是存在的

就是A乘上B

第三个就是说n趋向于无穷时

这个an除上bn在极限B不等于0的前提下

这个极限也是存在的就等于A除上B

这是我们要介绍的数列极限的四则运算性质

这性质就是说我们先来解释一下

一方面就是说

这个条件是说an和bn的极限都存在

我们才能保证它的和数列的极限存在

乘积数列极限的存在

商数列的极限存在

而它的结果我们也可以看成是

第一个和数列的极限这个结论也可以看成是

数列的加法运算与这个极限运算

形式上看好像是有分配律

因为这个东西我们完全可以写成是

limn趋向于无穷an加上lim趋向于无穷bn

当然它等于它

所以说形式上看应该就是分配律

类似的我们自然也可以写成是

an的极限再乘上bn的极限

所以它也是极限运算与乘法运算的分配律

同样最后一个也可以理解成是

极限运算与数列商的运算的分配律

刚才说了这个条件是B不等于0

这是希望大家注意的一个条件

另外大家在用四则运算法则的时候

请大家注意这个运算法则

只对有限个数列的加减乘除有用

如果说我把这个数列的个数写成无穷多个行不行

这个是不可以的

那我在这个地方给大家写两个例子

一个例子就是说这个东西

k从1到n n的平方分之k

这是一个数列

这个数列你当然可以看成是n个数列加起来

而每一个数列大家都很清楚

什么n的平方分之一n的平方分之二

一直到n的平方分之n

这个数列它本身的通项我们可以写出来的

应该就是二分之一倍的n方分之n乘上(n+1)

而这个极限我们就是可以求出来

这个极限是等于1/2的

也就是说它会趋向于1/2

但是如果大家说你不就是n个数列加起来吗

我能不能把每个数列的极限求完了以后再加起来

如果把每个数列的极限求完之后再加起来

它就不会是二分之一了

它应该就是说无穷多个0加起来了

无穷多个0加起来

在后面我们介绍级数的时候我们知道

当然还是第一个0加第二个0加第三个0

这样一直加下去看看它等什么

由于你无论是加多少它还是等0的

所以说呢这个的意思就是说什么呢

我们只能把它的通项求出来去做极限

而不能把每一项的极限求完了再做加法

这是求和

再譬如说我们这个极限

这个极限就是说

limn趋向于无穷1加上n分之一的n次方

这当然可以看成是n个数列的乘积

每个数列都是一样的1加上n分之一

1加上n分之一的极限大家很清楚应该是1

如果我们给它求完极限之后再加起来

就是说都是1相乘

1相乘当然我们正常理解应该还是1

但是这是我们微积分后面要介绍的一个重要极限

这个重要极限实际上它不是等1234的1

它实际上是无理数e

这是这个东西

这个就是说清楚了什么呢

无穷多个数列乘起来你求极限的时候

也不能先把每个数列的极限求完了再做乘法

我想呢

这是关于这个四则运算需要跟大家强调的两点

要注意我们的条件是什么

同时要注意它的适用范围是只对有限项对

那接下来我们做一个简短的证明

我们就证一下这个乘积的

因为这个加法的很简单

大家作为练习可以给出证明

我们就证一下乘积的和证一下商的

乘积的是这样子的

我们就证明这个乘法运算

乘法运算是这样子

我们的条件大家一定要清楚

所以说我们要证的问题就是

an乘上bn减掉AB绝对值是不是可以充分小

而我们知道的是谁呢

知道的是an减A绝对值可以充分小

bn减B绝对值也可以充分小

我们为了把它们联系起来呢

就这样来做一个变形

an乘上bn减掉A乘上bn再加上A乘bn减掉AB的绝对值

这样给它减一项加一项它应该是不变的

那接下来我们利用三角恒等式呢

可以把这个等号直接写成小于等于号

这个地方写成是两个绝对值之和

然后接下来我们再做个简单整理

这个应该就等于

bn的绝对值乘上an减掉A的绝对值

再加上A的绝对值乘上bn减掉B的绝对值

到了这一步之后我们来分析下

这个是可以充分小的

这个也是可以充分小的

后面这一项因为它前面乘的是常数

所以说任意小是没关系的

前面这个乘了一个｜bn｜

但是我们前面介绍过

｛bn｝如果收敛的时候｛bn｝应该是有界的

所以前面这个东西也可以放大的

分析到这我们就知道这个证明应该怎么写了

我们应该这样写就是

任给ε大于0

因为咱们的条件就是说写出来

所以我就存在一个M>0

还存在一个N>0

当n>N时我就把这个照抄

这个减掉这个应该小于等于这两个绝对值之和

当然这两个绝对值之和就是说写到这之后

我就直接给它放大到就是这个样子

这个就给它放大到M

这个给它放大到ε

这个就是｜A｜这个放大到ε

所以这个就等于M加上A的绝对值再乘上ε

也就是说只要我们的n大于N

那么这个差的绝对值就小于这个数

ε是可以任意小的

前面乘的是个常数

所以说它也可以是任意小的

这样我们就证明了

这个乘积的极限应该等于它们极限的乘积

这是这一个

接下来关于商的证明

商的证明因为我们已经有了乘法运算

所以说你只要证明一个倒数运算就行了

也就是说只要在｛bn｝的极限是B

B不等于0的前提下

你只要证明｛bn分之一｝的极限是B分之一就可以了

那我们简单分析一下

也就是这个证明

这个证明也就是要证明这个绝对值是可以任意小的

那这一个也就写成了bn绝对值乘上B的绝对值

再一个是上面bn减掉B的绝对值

就到了这一步

接下来我们该怎么处理这个分母

根据我们前面介绍的保号性质

我们知道｛bn绝对值｝的极限是B的绝对值

在给定条件下B的绝对值是大于0的

所以说只要n足够大

bn的绝对值应该是大于二分之一倍的bn的绝对值

这样子的时候也就是说我可以把分母变小

变成什么呢

二分之一倍的B的绝对值

原来是个B的绝对值

这样就是上面呢就是bn减掉B

我想分析到这个地步呢

基本上这个证明就出来了

所以如果我们写证明该怎么写呢

我们是不可以这样写

就是任给ε大于0

因为｛bn｝的极限是B

｛bn绝对值｝的极限是B的绝对值且大于0

所以我们能找到一个N

当n大于N时bn减掉B的绝对值是小于ε的

同时bn的绝对值是大于二分之一倍的B的绝对值的

那这样到了这一步

最后就可以写出这个实际就是

B方分之二倍的ε

那ε是可以任意小的

B方分之二是个常数

所以它当然是可以任意小的

这样我们就证明了这个倒数运算也是对的

那么有了乘积和倒数之后商的运算自然也是对的

关于就是说极限的四则运算

应该是我们在极限运算里面最常用的一个运算法则

我们尽管只给出了加法乘法和商

大家说有了乘法之后数乘运算就有了

也就是说我k乘上an的极限应该是k乘上an的极限

就是说这个等式是对的

k乘上an求极限应该等于k倍的an的极限

这肯定是对的

另外有了加法有了数乘之后

an减bn的极限应该等于an的极限减bn

它的极限我们也就得到了

所以说讲四则运算不见得一定要把加减乘除都讲到

只要就是说你把最基本的讲清楚了

所有的我们就可以了