03-6 互易定理和对偶原理在线视频

同学们好，本节学习3.6互易定理

对于一个仅含线性电阻的电路网络，

在单一激励下，当激励和响应互换位置时，

响应和激励的比值不变，称为互易定理。

先学习互易定理的第一种形式：电压源激励，短路电流响应，两种可以互换位置，称为电流互易。

电压源激励，短路电流作为响应，这两者可以互换位置，称为电流互易。

如图，N网络和N拔网络，各取一对支路，作为激励和响应的位置。

图a，N网络中设支路 j 中有唯一电压源uj，

其在支路 k 中产生的电流为 ikj；

在图bN拔网络中若支路 k 中有唯一电压源 uk，

其在支路 j 中产生的电流为 ijk(图b)。

则：表达式（x）成立。

证明一下这个结论

由特勒根定理3，这两对支路的8个变量，写出关系式为表达式（a）。

对应N和N拔网络中的变量，代入后，为表达式（b）所示。

则两个支路中电压电流有如下关系，表达式（x）所示或表达式（y）。

至此证明完毕。

显然表达式（x）中，如uk=uj时，则电流ikj=ijk。

此种形式互易表明：

电压源与产生的短路电流位置是可以互易！

互易定理的第二种形式，

电流源为激励，产生开路电压响应，

这两者的位置可以互易，而响应与激励的比值不变，称为电压互易。

如图（a）（b）两个电路，

在任一线性电阻网络的一对结点 j，j‘ 间接入一电流源 ij，

它在另一对结点 k，k’ 间 产生电压ukj，

如图a所示；

若改在结点 k，k‘ 间接入唯一电流源 ik，

它在结点 j，j’ 间产生电压 ujk，如图b所示，

则上述的电压、电流可以用（x’）表达式或（y’）表达式所示。

这个结论的证明就不再重复了。

在（x’）表达式中，如取ik=ij，则电压ukj=ujk。

此种形式表明：电流源与产生的开路电压位置可以互易！

第三种形式的互易

混合型数值互易。

是指图a的N网络和图b的N拔网络，

如果接在端子ab的为电流源 Is，，

而端子cd的短路电流为i2；

当在端子cd间接入电压源 us ,且有us= is（这里是指数量上），

而在端子ab间的开路电压u1拔，

这种混合型互易的结论为：u1拔=i2（数值上）。

混合型会议的表达式为（c）所示。

同样这个结论证明也用特勒根定理3，这里不再重复。

而混合型互易表达式（c）表明了：激励与产生的响应比值为定值，

且激励和响应同为电压、同为电流均可以！

总结和提示，互易定理应用时的注意事项;

(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，

两个支路的电压电流关系，是网络的固有特性。

(2)激励为电压源时，响应为电流；

激励为电流源时，响应为电压。

电压与电流互易。

(3)混合型数值互易，要注意：

电压源激励，互易时原电压源处短路，

电压源串入另一条支路；

电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个结点间。

(4)互易要注意，电源与电压(或电流)的方向。

(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。

(6)互易定理是特勒根定理的特殊形式，

所有采用互易定理解的问题，都可以用特勒根定理求解。

看一个例题3-12，互易网络如图（a）（b）所示，

相应的条件已知。求N拔网络中的电流i1拔。

解：显然该题中的网络对应互易定理形式一。

代入其核心的公式，得到如表达式（1）所示。

代入已知条件和参数，得出i1拔=-4A。

这里给大伙一个思考？若采用特勒根定理，该如何求解？大伙可以课后自行求解。

再看一个例题3-13，如图（a）和图（b）的已知条件，求图（b）中电压U1’。

解：将图（a）和图（b）中作适当的辅助线，

并用虚框框住，发现两者为形式二的互易定理。

则有计算表达式（1），可以轻松地求出U1’=3V。

同样该题目，也可以采用特勒根定理求解。

至此，我们学习了第三章中的互易定理、特勒根定理、最大功率传输定理、

诺顿定理、戴维南定理、替代定理、齐性定理和叠加定理。

它们都是分析线性电路的比较基础的定理，

可以单独地运用来求解直流电阻电路，也可以综合在一起来分析直流电路。

我们把这一章这些定理的方法，以及前面第二章中学习的三类系统分析法

（是指：结点电压法、回路电流法、还有支路法等）、

以及等效化简方法；KCL、KVL方程列写法等等，

归纳到一起会发现：

电路分析中，分析电流、电压、电功率等感兴趣的量，

采用上述的各种方法、定理、列方程等过程，

往往存在一种现象，我们称为对偶现象，

即有的方法是求电流时，只要换成求电压的时候，其规律和思路是一样的，

换成求电压的时候，其规律和思路是一样的，

只要变换电流和电压的位置即可，

在数学上，描述是相同的。

这种现象非常重要，我们称为对偶。

3.7对偶原理概述

1、对偶现象

如图（a）所示电路，我们可以列写网孔电流方程，如方程组（a）所示。

若把方程组（a）中的电路变量、电路参数等逐个找一个对应的量进行对换。

如R换成G，i换成u等等。

则方程组（a）就可以写成方程组（b）的形式。

方程组（b）显然是一种结点电压法的规律，

进而可以画出图（b）电路。

显然，只要把元件的参数、变量等等，用一个对应的量替换后，

得到的方程组数学含义是相同的，

虽然对应的电路或分析方法完全的不同，但理论分析原理一致。

这种现象就称为对偶现象。

两个电路称为对偶电路；两种方程称为对偶方程；两种元件称为对偶元件。

关于元件的对偶关系，如表1所示。

关于电路变量的对偶，如表2所示。

还有一些对偶现象如表3所示。

注意！对偶不是对等，也不是等效。

只是自然界中的辩证现象。

任何事物都有两方面性，在电路分析中，对偶现象就能充分的体现。

我们以后的学习中，要善于总结，

可以根据已知的规律，

去探索与实践该规律的对立面

（或对偶现象），或许有新的发现。

好的，本节就到这里，下节再见。