08-3线性电路谐波分析在线视频

同学们好！

本节介绍非正弦周期电流电路的稳态分析方法

对于由非正弦周期电流作用的电路，

采用傅里叶级数形式把激励展开成

直流量加各个谐波分量的形式来分析，

又称为谐波分析法。

通常的步骤如下：1、对于非正弦周期信号或激励，

进行傅里叶级数的分解，展开成各次谐波分量相加的形式

（通常仅会取前面的有限几项而已，因为谐波的阶数越高，其幅值越小，越接近零），

如方程式（1）所示。

2、然后采用叠加定理的方法，对方程式（1）中激励分量

逐项，单独作用到线性电路进行分析，求出这些量对应的时域解以后，

再叠加这些量，得到最终解。

关于叠加定理方法进行计算，可以分为两类计算

第一类：是直流项的计算，

则作需要直流电路模型，

按电容断路，电感短路的要求，计算直流响应Y0；

2）交流项计算。

通常作一个个不同谐波时的电路，

电容、电感要根据频率不同，计算出阻抗，然后逐一求响应（yn）。

比如，在基波时，L和C元件就有阻抗，分别为jω 1L、1/ （jω 1C），

然后把电源中基波激励转换为相量形式，

在相量法中计算，先求得相量，

再把相量形式，返回时域的三角函数形式。

再比如，二次谐波时，LC元件其阻抗，就变为j2ω 1L和1/ （j2ω 1C），

然后把电源中二次谐波激励，转换为相应的相量形式，

在相量法中计算，先求得待求量的相量形式，

再把该相量形式，返回到时域的三角函数形式，

即结果，为时域的形式为y2。

3）最终求出响应，

即把之前所有的分量，所求得的电压或电流响应，

进行时域形式的叠加而获得。

看例题8-5，已知图（a）非正弦周期电源的电路，

R1、R2的参数已知。基波的时候ωL=2Ω，-1/ωC= -15Ω。

电源的电压有三个分量。试分析电路中电流总的i、

和支路电流i1、i2，以及支路1中吸收的平均功率。

解：由于电源已经是展开后的傅里叶级数形式，

因此，采用叠加定理方法，逐项分量进行分析。

（1）直流项作用时，采用图（b）的模型，

即C开路，L短路，这样计算三个电流在直流情况下的解为

I1(0)=2(A)，I2(0)=0(A)，I(0)=I1(0)

接着计算在基波作用下，电路这三个量。

此时采用相量法比较合适。

先作相量法中的模型，如图（C）所示。

根据基波的表达式，因此设定U=100∠0°（V）；

从而计算出相量形式的三个电流，

I1(1)=18.55∠-21.8°（A），

I2(1）=5.55∠56.3°（A），

I(1)=I1(1)+I2(1）=20.43∠-6.4°（A）。

注意要把这三个量还原回时域表达式，如公式(1)所示。

（3）三次谐波单独作用时，由电源的第三项作用，

也是单一频率的正弦量，故再次采用相量法运算。

作相量模型，如图（d）所示。

令电源电压相量U(3）=50∠30°（V）。

则计算相量I1(3)=6.4∠-20.2°（A）。

还原到正弦量，i1(3)=6.4根号2cos（3ωt-20.2°）A。

继续解出相量的形式I2(3）和I（3），

并写出它们的正弦量形式。

注意到，在三次谐波作用时，图（d）中，

电感和电容的感抗或容抗，发生了相应的变化，

即感抗是原来（基波）的3倍，而容抗则是原来（基波）的三分之一。

此时，针对原图（a）所示电路中，三个电流待求量，

为三次分量，求解对应各个分量的代数和，

时域形式如方程式（1）所示。

由于R1所在的支路，只有一个电阻R1,

故算这条支路吸收的平均功率，

直接采用非正弦周期电流电路，平均功率计算公式（2），来进行计算，

代入相应的值，求得平均功率为1947瓦。

也可以采用R1乘以流过R1的电流的有效值平方获得。

代入相应的数值，得出结果也是1947瓦。

再看一个例题8-6，图（a）为RL串联电路，已知元件参数R和L。

输入电源US为非正弦周期函数，如图（b）所示。

求电路中的电流i(t).

解：本题符合非正弦周期信号的稳态分析中常见的类型。

可以按照谐波分析法的两大步骤来进行。

第一步：把图（b）方波激励，展开成傅里叶级数形式。

根据其周期2π，得到傅里叶级数展开式中，基波ω=2（rad/s）。

最终展开式为方程（1）所示，是一个直流项再加一系列的谐波项，

该级数中不含偶数谐波。

电路RL在不同谐波频率下，其阻抗Zn=R+j2n（Ω）。

转换成极坐标形式的值，便于计算。

先求直流分项作用下，电流为2.5A。

接着解在n次谐波下，对应的电流项。

采用相量法，先将正弦表达式转成余弦形式，

得到n次谐波下的电压相量形式，和电流相量形式，如方程（2）所示，

写出时域表达式为方程式（3）的形式。

最终把这些电流和直流分项在时域中相加，

得到结果如方程式（4）的形式。

再看一个非常规的非正弦周期电路。

已知电源分为两种，频率不一样，且性质也不同，

位置也不再是串联或并联在一条支路上。

而是分布在电路中，两者距离还挺远。

求解这两个电源发出的平均功率和电压u1、电流i1。

解，先分析一下：这个电路有两个电源，

对于线性电路，可以采用叠加定理来进行分析。

由于要计算两个电源发出的功率，

因此还要把两个电源中，另外一个量求出来。

如图中先设置的u和i。

再采用叠加定理的办法，把u1、i1与设置的u和i（共4个量）

通过分图的方式来把它们解出，即可。

1）电流源单独作用，

即电压源处要短路。

此时采用相量法，并画好对应的电路图，

求出这四个量的第一次值，

分别为i（1）=-5cos10t，i1（1）=0，u1（1）=u（1）。

同理：2）再画电压源单独作用时的电路，

电流源处，去除（电流源），变成开路，

此时再计算在电压源us（2）作用下，求得的四个量。

然后把它们叠加，求得四个量。

再求两个电源发出的功率。

电流源的电压u已经求出,其电流是给定的，

利用求平均功率的公式，得出电流源（发出）的功率PI=12.5瓦。

同理，电压源中的电流（i）也求出，则利用已给定的电压us，

利用求平均功率计算公式，求得它发出的功率为PU=50W。

最后，对本章的知识作个总结

1、非正弦周期电流电路的信号分解后，有几个系数，

可以利用对称函数或者对称波形等特点，

获得A0=0，以及an，bn等等的特点。

2、非正弦周期电流电路中的有效值计算：

方案有两类：1）公式法；2）函数代入的方法（即均方根进行计算）；

3、非正弦周期电流电路中的平均功率计算，

同频率量之间才有平均功率。

4、稳态分析

（又称谐波分析法），其步骤分为：

1）先对f（t）进行展开成级数运算；

2）对于级数中各项逐步的运算（叠加定理——电流、电压）

3）最终的结果：分量时域进行叠加。

注意，这里平均功率展现的形式：

似乎是叠加定理也适用于计算功率，

但是要知道，这个只是一个巧合，而不是功率也能够适用叠加定理！

好的，本章就到这里，下次再见！