04-2-3一阶电路三要素方法在线视频

同学们好！

本节来学习一阶电路的全响应分析和三要素法分析。

先学习全响应分析。

首先来认识全响应的概念：

即非零状态动态元件，在外激励作用下，电路的过渡过程。

再来分析一下一阶电路情况:如图1所示RC电路，

电容初值非零，外激励为恒定直流。

在换路后，求电流i和电压uC变量。

先列写换路后的方程，为式（1），

与零状态响应建立的方程完全相同。

只是初值uC (0-) = U0，非零而已。

那么方程的解也是采用特解+通解,来分析。

自然得到时间常数τ，

方程的解为式（2）所示。

通过代入初值，求得待定量A值为:

A = U0 – US。

于是得到全响应的解为式（3）。

2、分析全响应解的表达式

可以有两种表示形式:

1）全响应=稳态解+暂态解。

如式（1）,由一个稳态量和一个衰减量相加构成。

稳态分量也是全响应最终的结果，

暂态分量最终衰减为零,见波形图。

稳态分量、暂态分量和全响应这三个量变化规律，

都直观的描述出来。

这里还有个值得讨论的问题，

就是暂态分量中的起始量U0-US，

若两代数和为零，则没有暂态分量，

即该全响应，是不存在过渡过程的。

2)全响应=零状态响应+零输入响应。

把全响应的解式（1）,改成式（2），

这两项，正好是我们前面介绍的零状态响应和零输入响应。

这种分解的结论，也非常重要。

说明线性电路的基本性质，电流、电压变量具有叠加性。

即全响应，可以用叠加定理来分析。

图（a）为全响应。

可以分成求图（b）和图（c）中的变量进行叠加。

其中图（c）（是）零输入响应，

是把电容电压初值非零，等效成图（d）来进行分析计算的。

零状态响应分量、零输入响应分量和全响应，

三者波形图，如图(e)所示。

全响解的两种表达式，各有优点和特色，

两者的准确理解，能更加深入的认识一阶电路的实质。

如分解方式（1），

等于稳态加暂态，

则能够很容易判断，电路换路后可能不存在过渡过程。

而分解方式（2）等于零状态+零输入，

则体现线性电路的叠加定理，也可以在动态变量分析时适用。

至于一阶RL电路的全响应分析，大家可以自行推导。

思考与提问：是否可以不要分这么多的过程，

而运用简单方法，来计算一阶电路呢？

答，有的！三要素法，可以解决。

好的，下面学习本节第二个知识点。

三要素法，分析一阶动态电路。

我们通过前面的零输入响应、零状态响应和全响应分析，获知

一阶电路的换路后电路方程为方程式（1）所示。

而该方程模型的解答，可以用方程式（2）来描述。

方程式（2），就是所谓的三要素公式。

其中fp(t)和fp(0+)为特解在0+时刻和任意时刻的值。

f(0+)为待求量的初值，τ 为一阶电路的时间常数。

它们统称为三要素。

在式（1）中，当c为直流电压时，

则三要素中fp(t)和fp(0+)相等，称为终值。

此时三要素公式变成公式（3），

在直流激励下，分析一阶动态电路，则更为简单。

我们下面来分析一些例题，逐步掌握这个方法。

注意，三要素方法分析一阶电路动态过程，

其非齐次微分方程中，等式右侧为激励，

其形式除了直流电以外，也可以是其他形式，

如：指数函数、正弦函数或阶跃函数、冲激函数等，

我们将在后续章节深入分析。

三要素分析方法的一般分析过程：

1）先分析待求变量。电路分析中，待求量往往很多，

如图（1）所示，有uc，ic，uR1，iR2等。

这些待求量，可以是所有支路的电流和电压，或者所有元件的功率等。

2）在待求量中，选择首选待求量首先分析。

众多的待求量，其中电容的电压uc和电感的电流iL最容易求，

因为它俩有换路定则约束，比较容易获得初值。

3）再求其他的待求量。

可以不再采用三要素公式法，而运用电路的三大规律：

KVL、KCL、VCR，来找待求量与首选量之间的关系，

然后求解。

当然，不按照上述1）2）3）步骤来分析，

直接用三要素公式法，也是可以的，不过求解过程并不轻松。

看一个例题EX1。求图示电路换路后的uc。

解：该变量为首选量，因此直接运用三要素方法，先求初值。

换路定则：uc(0-)=uc(0+)=2V;

时间常数τ 为ReqC = 2 秒。

电容换路后，终值uc（∞）=2/3V。

因此可以用三要素公式（1），

把相关三要素代入，待求量uc如式（2）。

注意，在式子后面别忘了，标明解答式子的时间t是有一个定义域的，

即t≥0。

最后，还可以画出uc的波形图。

再看例题EX2。

求图示电路两个开关次第闭合，在两次换路后电感电流i（t）。

解：本题也是分析首选变量问题，采用三要素。

电流初值为0.

即在K1换路后，电路第一阶段：0 < t < 0.2s，

初值i(0+)=0，时间常数τ=0.2s。

假设其在第一阶段就能达到稳定值，则该终值i（∞）=2A。

运用三要素公式（1），得出结果为式（2）。

继续解：当K2换路时，

电感电流初值已经被充电了，

因此此时的初值应该是i(2+)=i(2-)=

式（2）中t为2时得到的结果，为1.26安培。

而第二阶段的时间常数τ=0.5s，终值为i（∞）=5A，

利用此段电路的三要素公式（3），

代入三要素，最终，t>0.2s后，电流为式（4）所示。

再来分析一个含有受控源的电路的电流，产生的过渡过程。

如例题4-5，图（a）中，iL(0-)=2A。

求t ≥0时的iL(t)、i1(t) 。

解：先分析首选变量iL。

可以把去除电感L后的含源网络，进行戴维南等效，

该电路中UOC=24V，Req=6Ω

（这个过程，大伙可以课下自行推导）。

这样，得图（b）等效电路，

求得iL(∞)=4A，

初值用换路定则，时间常数用等效电路，分别求出。

然后代入三要素公式，得电感电流结果如式（1）所示。

最后，再利用原图（a）中电流i1与iL和电流源4A的结点关系，

求得i1的值，如式（2）所示。

思考：

若i1不用结点KCL方程，而直接采用三要素法，

是否也可以求呢？

当然是可以的，大家可以自行课下推导。

请大家在课后，多多训练，

希望充分掌握三要素法，求解一阶电路的过渡过程。

以上，我们以一个储能元件电容C或者电感L，与电阻R构成的RC、RL电路为基础，

分析了动态电路的过渡过程，

研究了对应的微分方程的建立、

求解，并给出了一阶电路的时间常数τ、三要素法等。

请大家想一想，如果电路中有两个独立的储能元件，其对应的过渡过程如何分析、计算呢？

图示为R、C、L元件构成的串联（电路），

当开关闭合后，可列写KVL方程，用一阶电路的知识，选择UC作为变量，

则可得到微分方程式（1），可见其为二阶微分方程。

二阶微分方程求解，对应有两个特征根，两个待定系数；

也有零状态响应、零输入响应和全响应，

我们将在运算电路分析法中继续研究。

本章就到这里，谢谢！