当前课程知识点:电路理论 > 10 运算电路 > 10-5 网络函数与冲激响应和卷积 > 10-5-3 网络函数与卷积
同学们好!本节学习
10.5.3网络函数的零、极点分布与频率响应的关系
前面已经研究和学习过,零点、极点的位置,与时域响应的关系。
即研究s=σ+jω中,实轴σ从负无穷到正无穷,
来预判f(t)变化规律的。
零极点的位置在二三象限,其时域f(t)都收敛,
在一四象限,则f(t)不收敛。
在正的虚轴上,为等幅振荡规律(正弦交流规律)。
本节研究的是s=σ+jω,其中s=jω,
仅从虚轴ω角度来研究,零极点位置不同,
分析ω从0到无穷大,H(jω)的规律。
网络函数极点、零点的分布不同,电路的频率响应也会不同。
具体而言,是将多项式H(s)中s用jω替换,
则得到网络函数退化为方程式(1)所示,是一个复数,
关于角频率ω复数。显然分析H(jω)随ω变化,就是分析频率响应(不含幅频特性和相频特性)。
显然分析H(jω)随ω变化,
就是分析频率响应(包含幅频特性和相频特性)。
而考虑到H(s)多项式,可以分解成分式,分子因式的连乘积和
和分母因式的连乘积的形式,
即表达式(2)所示。
表达式(2)中,分子的连乘,
每一个因式都是jω到零点的差,
同理分母连乘的每个因式则是jω到极点的差。
这些jω到零点或到极点的差,本身也是一个复数,
可以用一个线段和一个角度来描述。
其中分子可以描述为Miejαi形式,
分母可以描述成Nkejθk形式,
如表达式(3)所示。
也转换为表达式(4)。则根据表达式(4),
又给我们提供了另一种,分析交流电路频率响应的方法。
即图解方法来分析和计算频率响应。
针对表达式(4)。可知,这个复数的模,
即幅值|H(jω)|,
可以用表达式(a)所描述。
如图(a)中,一个极点和一个零点的时候,
则分子线段为Mi,分母线段为Nk。
若频率ω在正半轴上,由小到大变化时,
则分子的线段Mi和分母的线段Nk,
两者的长度比将越来越接近1。
这种看零极点分布图,画线段,
求分子线段的积,除以分母线段的积的方法,
来分析幅频响应规律,称为图解法。
同理,(4)表达式中,相位的频率函数为方程式(b)所示,
在图解分析中,如图(a)中,
表现为零点线段的相位αi,与极点线段Nk的相位的差。
若多个极点和多个零点,
则多个零点与ω构成的多个线段都有相位,
多个极点与某频率ω构成的线段也都有相位。
则零点的相位相加,减去多个极点的相位的和。
看一个例题10-21 ,讨论图(a)中所示RC电路的网络函数U2/U1的频率响应。
解:根据图(a)所示,计算网络函数H(s)=U2(s)/U1(s),
得其表达式(1)所示。
更换s=jω代入表达式(1中),
得到H(jω)为表达式(2)所示。
显然表达式(2)为复数,其中H0等于1/RC。
分母中的N,是从极点P=-1/RC起始,
指向虚轴上某一ω的线段的长度。
θ为该线段N与实轴的夹角,如图(b)所示。
因此,此时研究H(jω)函数的幅频响应,
可以由表达式(3)来绘画。
而表达式(3),提供了两种方案,
即:可以通过画H0/N中的N的长度,来判断其幅值的变化趋势。
见图中的前部的高亮部分;
也可以通过解析式1/根号下(ωRC)的平方+1的函数式来表示,
见图中公式(3)中,后部的高亮部分。
解析式,也可以画出幅频随ω变化的曲线。
同理,相频响应曲线,也有两种方案。
方案一:图解法,看图(b)N线段与实轴的夹角,
由于是在网络函数的分母上,因此为-θ,见公式(4)中的前半部分,
可以根据图解得出,极点为定值,
随着ω向上无穷大变化时,N与实轴的夹角将最终趋向90度,
相频响应中,φ(jω)=-θ=-90°;
方案二,可以用解析公式方法,
见图中公式后半部分,解析式是一个反正切函数,
为-arctan(ωRC)。
好,下面来采用图解法,画出该网络函数的频率响应。
即只有一个极点在负实轴上,
如图(b)N为频率任取某值时的情况。
那么采用图解法时,其表达式(3)中,
可见ω=0,则|H|=1/RC/N=1;随着ω向上长,
随着ω向上增长,则N的值越来越大,
|H|将会越来越小,因此就是一个单调减小的过程,
与采用解析式画幅频特性,是一样的,见图(c)。
同理,图解法,分析相频特性,见表达式(4),
逐点描述argH(j ω ):
ω从0到无穷大增长的过程中,
线段N与实轴夹角越来越接近+90°。
因为在分母上,所以相频曲线如图(d)。
再补充一个例题1,
用图解法分析rlc串联时,网络函数UC/US的幅频特性。
解:作出运算电路如图(b)所示。
则计算得出网络函数为表达式(x),
继而解出两个极点p1、p2是一对共轭的复数根,
在复平面上分布如图(c)所示。
可以在图(c)上,作极点到虚轴上某点ω的线段,
如图中N1、N2或N1'、N2'等。
根据幅频特性表达式(x)可知,
两个极点,到虚轴某频率点的线段N1、N2,
由于在分母上,所以N1、N2的乘积越小,
则,幅值|H|越大。
那么,在频率从零开始,
得ω=0时,|H|=1,
ω=∝时,则|H|=0。
而在ω从大于零开始,向无穷大线性增长时,
每增加一点值,
达到ω'、ω''或ω'''等等频率点时,
幅值是持续单调衰减的规律、还是先增长、达到一个最大值后再衰减的规律呢?
作为一个思考题,留给大伙课后作为开放性的作业,查阅相关资料,自行找到答案。
(这里简单作个提示,当rlc串联谐振电路的Q>0.707、
或小于0.707时,上述问题的答案就比较明确了)。
下面介绍本章最后一个知识点:
10.5.4卷积及其在拉普拉斯变换中的应用
先看定义:卷积是一个数学积分,如方程式(1)所示。
考虑实际情况,积分的时域函数f(t)均为有始信号,
因此卷积定义,又可以写成方程式(2)所示。
用单边的拉普拉斯变换,
得到方程式(3),称为拉普拉斯变换的卷积定理。
表明时域中两个原函数的卷积,
其拉普拉斯变换后,等于对应的两个象函数的乘积 。
卷积满足交换定律,即f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)。
2、卷积的应用
因为:运算电路中象函数R(s)=H(s)×E(s),
即如表达式(x)所示,
则该表达式左右两侧,同时求反函数,
便得到方程式(y)。
而表达式(x),要求是在零状态情况下,
才有H(s)的,因此,对应的表达式(y),
表明了一个时域响应r(t),是一个冲激响应h(t)与激励e(t)的卷积。
这是一个求电路零状态响应的表达式,
这点很重要!
另外根据卷积的交换定律,可以得到方程式(z),
也是可以用来运算,求解时域响应r(t)。
今后在计算时,可以采用(y)表达式,也可以采用(z)表达式,
要看在时域中哪个运算方便,就选择哪一个。
看一个例题10-22,已知某网络的单位冲激响应h(t)=e-tε(t)。
求在激励e(t)=ε(t)-ε(t-3)的零状态响应r(t)。
解:可以先在象函数中计算:
H(s)如表达式(1)所示,
激励E(s),则如方程式(2)所示。
因此响应的象函数R(s),为表达式(3)所示。
所以对表达式(3)求反函数,得到表达式(4)即为所求。
而表达式(4)还可以根据激励的延时性特点,可以分段表示,如方程式(5)所示。
至此,我们学习了卷积及其应用。
卷积,也称卷积积分,在时域中,
卷积积分计算,还是比较麻烦的,
但是,在拉普拉斯变换中,卷积定理,
采用运算法,求解还是比较容易的,
只是要注意,用于卷积定理来反过求解时域电路,
只能够求:电路在外激励作用的零状态响应。
好的,本章就到这里,下次课再见。
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