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10-5-3 网络函数与卷积在线视频

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10-5-3 网络函数与卷积课程教案、知识点、字幕

同学们好!本节学习

10.5.3网络函数的零、极点分布与频率响应的关系

前面已经研究和学习过,零点、极点的位置,与时域响应的关系。

即研究s=σ+jω中,实轴σ从负无穷到正无穷,

来预判f(t)变化规律的。

零极点的位置在二三象限,其时域f(t)都收敛,

在一四象限,则f(t)不收敛。

在正的虚轴上,为等幅振荡规律(正弦交流规律)。

本节研究的是s=σ+jω,其中s=jω,

仅从虚轴ω角度来研究,零极点位置不同,

分析ω从0到无穷大,H(jω)的规律。

网络函数极点、零点的分布不同,电路的频率响应也会不同。

具体而言,是将多项式H(s)中s用jω替换,

则得到网络函数退化为方程式(1)所示,是一个复数,

关于角频率ω复数。显然分析H(jω)随ω变化,就是分析频率响应(不含幅频特性和相频特性)。

显然分析H(jω)随ω变化,

就是分析频率响应(包含幅频特性和相频特性)。

而考虑到H(s)多项式,可以分解成分式,分子因式的连乘积和

和分母因式的连乘积的形式,

即表达式(2)所示。

表达式(2)中,分子的连乘,

每一个因式都是jω到零点的差,

同理分母连乘的每个因式则是jω到极点的差。

这些jω到零点或到极点的差,本身也是一个复数,

可以用一个线段和一个角度来描述。

其中分子可以描述为Miejαi形式,

分母可以描述成Nkejθk形式,

如表达式(3)所示。

也转换为表达式(4)。则根据表达式(4),

又给我们提供了另一种,分析交流电路频率响应的方法。

即图解方法来分析和计算频率响应。

针对表达式(4)。可知,这个复数的模,

即幅值|H(jω)|,

可以用表达式(a)所描述。

如图(a)中,一个极点和一个零点的时候,

则分子线段为Mi,分母线段为Nk。

若频率ω在正半轴上,由小到大变化时,

则分子的线段Mi和分母的线段Nk,

两者的长度比将越来越接近1。

这种看零极点分布图,画线段,

求分子线段的积,除以分母线段的积的方法,

来分析幅频响应规律,称为图解法。

同理,(4)表达式中,相位的频率函数为方程式(b)所示,

在图解分析中,如图(a)中,

表现为零点线段的相位αi,与极点线段Nk的相位的差。

若多个极点和多个零点,

则多个零点与ω构成的多个线段都有相位,

多个极点与某频率ω构成的线段也都有相位。

则零点的相位相加,减去多个极点的相位的和。

看一个例题10-21 ,讨论图(a)中所示RC电路的网络函数U2/U1的频率响应。

解:根据图(a)所示,计算网络函数H(s)=U2(s)/U1(s),

得其表达式(1)所示。

更换s=jω代入表达式(1中),

得到H(jω)为表达式(2)所示。

显然表达式(2)为复数,其中H0等于1/RC。

分母中的N,是从极点P=-1/RC起始,

指向虚轴上某一ω的线段的长度。

θ为该线段N与实轴的夹角,如图(b)所示。

因此,此时研究H(jω)函数的幅频响应,

可以由表达式(3)来绘画。

而表达式(3),提供了两种方案,

即:可以通过画H0/N中的N的长度,来判断其幅值的变化趋势。

见图中的前部的高亮部分;

也可以通过解析式1/根号下(ωRC)的平方+1的函数式来表示,

见图中公式(3)中,后部的高亮部分。

解析式,也可以画出幅频随ω变化的曲线。

同理,相频响应曲线,也有两种方案。

方案一:图解法,看图(b)N线段与实轴的夹角,

由于是在网络函数的分母上,因此为-θ,见公式(4)中的前半部分,

可以根据图解得出,极点为定值,

随着ω向上无穷大变化时,N与实轴的夹角将最终趋向90度,

相频响应中,φ(jω)=-θ=-90°;

方案二,可以用解析公式方法,

见图中公式后半部分,解析式是一个反正切函数,

为-arctan(ωRC)。

好,下面来采用图解法,画出该网络函数的频率响应。

即只有一个极点在负实轴上,

如图(b)N为频率任取某值时的情况。

那么采用图解法时,其表达式(3)中,

可见ω=0,则|H|=1/RC/N=1;随着ω向上长,

随着ω向上增长,则N的值越来越大,

|H|将会越来越小,因此就是一个单调减小的过程,

与采用解析式画幅频特性,是一样的,见图(c)。

同理,图解法,分析相频特性,见表达式(4),

逐点描述argH(j ω ):

ω从0到无穷大增长的过程中,

线段N与实轴夹角越来越接近+90°。

因为在分母上,所以相频曲线如图(d)。

再补充一个例题1,

用图解法分析rlc串联时,网络函数UC/US的幅频特性。

解:作出运算电路如图(b)所示。

则计算得出网络函数为表达式(x),

继而解出两个极点p1、p2是一对共轭的复数根,

在复平面上分布如图(c)所示。

可以在图(c)上,作极点到虚轴上某点ω的线段,

如图中N1、N2或N1'、N2'等。

根据幅频特性表达式(x)可知,

两个极点,到虚轴某频率点的线段N1、N2,

由于在分母上,所以N1、N2的乘积越小,

则,幅值|H|越大。

那么,在频率从零开始,

得ω=0时,|H|=1,

ω=∝时,则|H|=0。

而在ω从大于零开始,向无穷大线性增长时,

每增加一点值,

达到ω'、ω''或ω'''等等频率点时,

幅值是持续单调衰减的规律、还是先增长、达到一个最大值后再衰减的规律呢?

作为一个思考题,留给大伙课后作为开放性的作业,查阅相关资料,自行找到答案。

(这里简单作个提示,当rlc串联谐振电路的Q>0.707、

或小于0.707时,上述问题的答案就比较明确了)。

下面介绍本章最后一个知识点:

10.5.4卷积及其在拉普拉斯变换中的应用

先看定义:卷积是一个数学积分,如方程式(1)所示。

考虑实际情况,积分的时域函数f(t)均为有始信号,

因此卷积定义,又可以写成方程式(2)所示。

用单边的拉普拉斯变换,

得到方程式(3),称为拉普拉斯变换的卷积定理。

表明时域中两个原函数的卷积,

其拉普拉斯变换后,等于对应的两个象函数的乘积 。

卷积满足交换定律,即f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)。

2、卷积的应用

因为:运算电路中象函数R(s)=H(s)×E(s),

即如表达式(x)所示,

则该表达式左右两侧,同时求反函数,

便得到方程式(y)。

而表达式(x),要求是在零状态情况下,

才有H(s)的,因此,对应的表达式(y),

表明了一个时域响应r(t),是一个冲激响应h(t)与激励e(t)的卷积。

这是一个求电路零状态响应的表达式,

这点很重要!

另外根据卷积的交换定律,可以得到方程式(z),

也是可以用来运算,求解时域响应r(t)。

今后在计算时,可以采用(y)表达式,也可以采用(z)表达式,

要看在时域中哪个运算方便,就选择哪一个。

看一个例题10-22,已知某网络的单位冲激响应h(t)=e-tε(t)。

求在激励e(t)=ε(t)-ε(t-3)的零状态响应r(t)。

解:可以先在象函数中计算:

H(s)如表达式(1)所示,

激励E(s),则如方程式(2)所示。

因此响应的象函数R(s),为表达式(3)所示。

所以对表达式(3)求反函数,得到表达式(4)即为所求。

而表达式(4)还可以根据激励的延时性特点,可以分段表示,如方程式(5)所示。

至此,我们学习了卷积及其应用。

卷积,也称卷积积分,在时域中,

卷积积分计算,还是比较麻烦的,

但是,在拉普拉斯变换中,卷积定理,

采用运算法,求解还是比较容易的,

只是要注意,用于卷积定理来反过求解时域电路,

只能够求:电路在外激励作用的零状态响应。

好的,本章就到这里,下次课再见。

电路理论课程列表:

00绪论

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01 电路概念与基本定律

-01-1 电路模型与集总假设

--01-1 电路模型与集总假设

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-01-2 电路变量

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-01-3 基尔霍夫定律

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-01-4 电路基本元件及方程

--01-4-1电路元件-1

--01-4-1作业

--01-4-2电路元件-2

--01-4-2作业

--01-4-3电路元件-3

--01-4-3作业

--讨论02

--01-x自测题

02 电阻电路分析方法

-02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1作业

-02-2 电阻△-Y等效变换

--02-2电阻Y-△连接的等效变换

--02-2作业

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--02-3等效电阻

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--02-4-1图论初步-1

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--02-5-1支路法1

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--02-6-1网孔电流法

--02-6-2 回路电流法

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--02-7-1结点电压法-1

--02-7-2结点电压法-2

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03 电路定理

-03-1 叠加定理

--03-1叠加定理

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-03-2 齐性定理和替代定理

--03-2齐性定理和替代定理

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-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理

--03-4诺顿定理与最大功率传输定理

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--03-6 互易定理和对偶原理

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--05-6-1正弦稳态交流电路功率

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