09-2-2串联谐振-2在线视频

同学们好！本节先学习9.2.3串联谐振中的电流谐振曲线

1）导纳函数

对于RLC串联的一端口，其导纳函数Y（jω）

表达式为方程式（1）所示。

可以描述为复数形式（2）所示。

因此，导纳函数的幅频特性，可以得到图（a）所示，

其相频特性可以由图（b）所示。

2）电流谐振曲线

对于图（1）所示RLC串联谐振电路，

在电压源幅值为定值的时候，

电流函数I（ω）表达式为方程式（3）所示。

显然电流函数与导纳函数相似，

是Y函数乘以一个定值得到的。

如图（2）所示，

电流随频率变化规律，就是导纳幅值特性扩大了一定的倍数而已。

因此电流的频率特性，与导纳函数的频率特性相似。

3）电流通用曲线

取谐振频率点处的电流I0=I(jω0）为基准，

作电流转移函数KI（jω），如方程式（1）所示。

该转移函数的幅频特性，如方程式（2）所示。

这种以电流最大值为基准，构成的电流转移函数，

求取其幅值特性，

I（ω）/I0，也称为归一化处理。

由于Q=ω0×L=1/（ω0×C），因此，可以将方程式（2）化成表达式（3）的形式，

再取η=ω/ω0，

则将表达式（3）转化为表达式（4）。

这样针对不同的Q值，可以作出电流转移函数KI（jω），幅频响应特性曲线，如图1所示。

其横坐标取η=ω/ω0。

我们会发现，不同Q值对应的曲线具有Q值越小，曲线越平坦；

Q值越大，则曲线越尖锐。

这些幅频特性曲线最大值都是1，

对应的频率点都在η=1处，即ω0频率点处。

曲线的形状与Q值大小有关，

把这些不同Q值的幅频特性，绘在一个坐标系中，称为电流通用曲线。

4）电流通用曲线作用

（1）通频带。

在图（1）的通用曲线上作0.707平行线，

与每条幅频特性曲线，都会相交两点。

其对应的归一频率为η1和η2，如图所示。

通过公式（1）计算，得到归一化频率η1和η2，如表达式（a）和表达式（b）所示。

那么η2-η1，代入（a）和（b）表达式，其结果如公式（c）所示。

从公式（c）可知，Q值越大，Δη越窄；反之，Δη越宽。

把这个Δη还原成角频率或频率，即是通频带。分别为ω0/Q（rad/s）或f0/Q（Hz）。

看一个例题9-6，图（1）中参数已知。

计算：1）求谐振频率f0；2）在回路Q=80的情况下，分析在谐振点频率时，

有0.1mV信号传入回路，计算回路中电流I0、电容电压UC和该电路的通频带。

解：1）f0=2π根号下L×（C0+C）分之一。

代入参数后，得f0=1024kHz。

2）电路等效电阻R=1/Q根号下L/(C0+C)，

代入参数，获得R=23.6Ω。

3）电路电流：US/R=4.3μA。

4）谐振时电容电压：UC=QUS=8mV.

5）通频带：f0/Q=12.8kHz。

再看一个补充例题。RLC串联回路中

串联接入三个等幅，但不等频率的信号源u1、u2、u3。

它们的频率分别为f0=820kHz，f1=640kHz，和f2=1026kHz时，

求电路中电流的值。

解：根据题目条件，f0=820kHz，换算成ω0=5.16×10的6次方rad/s。

此时计算ω0×L=1290Ω，

，-1/ω0C=-1290（Ω）。

因此回路的阻抗为纯电阻，R=20Ω。

该频率的电源电压有效值为10mV，此时回路电流最大，

I0=10/20=0.5mA。

而此情况下，f1频率也作用在该电路中，代入f1=640kHZ，

计算ω1L=1000Ω，

-1/ω1C=-1660欧姆。

因此回路阻抗|Z|=R平方+（ω1L-1/ω1C）的平方后开根号，

再由信号源有效值除以它，得到的电流I1为0.0152mA。

同理计算得f2=1026kHZ的信号源，作用在回路中，求得电流I2=0.0173mA。

可以看到。I1/I0=3.04%;I2/I0=3.46%。

只有频率为f0=820kHZ时，电流最大。

因此，回路参数确定的电路，

能在系列的信号中，选择与自身固有谐振频率相近或相同的信号的能力。

其他频率的信号，都被抑制得很多。

如例题中的f1频率和f2频率的信号，

产生的电流是f0信号，产生电流的3%左右。

因此接收器仅收到820KHZ的节目。

（2）选择性：从多频率的信号中取出ω0 的那个信号，即选择性。

如图（a）中，电路能选择f0=820KHZ这个信号。

而对其左右两边的两个信号f1=620kHZ和f2=1000kHZ的频率，

则选择不出来。

选择性的好、坏与谐振分析中的电流通用曲线的形状有关。

显然其形状越尖越好，如图（b）所示。

若Q=1，电流曲线很平坦，

对应640KHZ和1000KHZ两点在0.707（线）的上方，

这样就出现三个电台的节目都能收得到，或者说串台啦。

在参数LC都不变的时候，R值越大，则Q越小，

会导致曲线平坦，导致选择性比较差。

回路中参数R 的变化，对选择性的影响，其实就是Q对选择性的影响。

9.2.4 电压谐振曲线

前面研究串联谐振特点时，提到的串联谐振又称电压谐振，

是因为其回路上R、L、C元件的两端电压比较精彩。

这里再来分析一下在整个频率区间，这三个电压在细节上的一些特点。

仿照电流曲线研究的思路，

构建归一化函数HC（jω），如公式（a）所示。

因为US（jω0）为定值，因此可以将（a）公式中频率归一化，得到公式（1）。

同理构建电感电压的归一化公式HL（jω），如公式（b）所示。

再归一化频率后得到公式（2）。

对于构建的两个函数，分别分析其幅频特性，得到公式（3）和公式（4）。

两个函数的幅频特性

先看HC（jη）的幅频特性，由公式（3），可以作出如图（1）中蓝色的幅频特性曲线。

可以通过对方程式（3）求η的微分等于0，

来计算其幅频特性曲线中的极值点，所对应的坐标ηc1和ηc2。

ηc1=0，而ηc2是一个与Q有关的量。

这个量必须是实数才符合要求，即Q值需要大于0.707。

若Q小于0.707，则没有ηc2点，只有ηc1=0这一点。

此时幅频特性曲线，应该如图（1）中虚线部分，

是一个单调减的函数规律。

再分析HL（jη）的幅频特性规律：

由公式（4），也可以作出如图中红色幅频特性曲线。

可以通过对方程式（4）求η的微分等于零，来计算幅频特性中的极值点对应的坐标，ηL1和ηL2的值。

会得到ηL1=无穷大；ηL2为一个表达式，与Q有关。

若要ηL2为实数值，则要求Q大于0.707；如果说Q小于0.707，则ηL2不存在；

只有一个极值对应点，ηL1=无穷大。

此时，幅频特性曲线应该如图（1）中，红色的单调增长虚线（且有界，其无限接近1）。

另外发现：在Q>0.707的两条幅频特性曲线中，

电感或电容的最大值不是出现在谐振点处，而是出现在图中a和b点处。

看例题9-7，

某RLC串联电路，US=5V，CL等参数已知，R为可调电阻。

计算：1）R=30Ω时，谐振角频率、以及电阻、电感、电容上的电压的有效值。

2）计算在R=30Ω时，电路频率为多大时电容电压出现最大值，最大值是多少？

3）当R=300Ω时，再求电容电压最大值，和最大值对应的角频率。

解：1）求出谐振角频率，ω0=10000rad/s；

Q=3.33；UC=QUS=16.7V；UR=US=5V；

2）在R=30Ω时，Q=3.33是大于0.707的，因此会存在ηc2。

将Q值代入ηc2的计算公式，再折算成角频率，最终得到ω=9772（rad/s），

电容上出现的最大电压值，为UCMAX=16.8V。

（3）当R=300欧姆时，Q=0.33<0.707，因此没有ηc2，只有ηc1=0。

即在ω=0时，电容（电压）才会出现极值，计算该极值Ucmax=5V。

好的，本节就到这里，下节再见。