02-4-2 图论初步2在线视频

再介绍拓扑知识中最后一个概念：网孔。

先了解一下平面图的概念。

所谓平面图，指一个图各条支路，除所联结的结点外，不再交叉，

这样的图就称为平面图。

如图所示，平面图和非平面图。

当然，非平面图有时也可以通过改变支路的曲线度，

变成平面图，这里就不再介绍了。

下面介绍网孔的概念，

与前面学习基尔霍夫定律时介绍的概念一致。

这里重提网孔，目的是与前面介绍的基本回路，

存在共性，

即均是独立的回路。

简单看一个小例子EX7，寻找图中的网孔，

可以取支路1、2、5为树，找“单连枝回路”，

正好与选择的三个网孔相同。

通过这个例子，我们知道，网孔是相互独立的。

其数目是单树枝的数目，

网孔是基本回路的一个特例。

反过来，基本回路，不一定是网孔。

下面来介绍两个重要的结论：

第一个重要结论，KCL方程的独立性问题。

因为KCL方程：1）是线性方程；

2）一个G图会有多个结点，

则这些方程会形成线性方程组。

根据线性代数的规律，

要求解线性方程组，

必须要这个线性方程组的方程之间，线性无关，

才可以解得唯一解。

因此，我们分析

线性电路的KCL方程组，

也需要确定这些方程，是否线性无关。

这个很重要。

下面看一个例题,如图为一个有向G图，

其中每个方向代表

该支路的电流方向，

G图中共6条支路，4个结点。

如每个支路电流都求出来，则需要列写6个方程，

且线性无关。

但是，若列写结点的kcl方程，

我们最多只能够列写4个方程。

如图所示，每个结点列写KCL方程，

按照流出的电流为正，流入的电流为负。

别列出方程如下：

n1结点：i1 + i4 - i6 = 0 ；

n2结点：– i1 + i2 + i3 = 0 ；等等

发现，这四个方程：

1）每个电流都会出现两次，且一正一负。

2）更重要的是这四个方程已经线性相关了。

而我们的目的是要线性无关的方程组，

因此，把所有结点都列写方程，

是不必要的，

当我们任意去掉一个方程后，

剩下的方程组，就线性无关了。

这就是我们要的结论：

KCL方程的独立性是指，

只能列写n-1个KCL方程。

而我们去掉的那个结点，可以称为参考结点。

余下的那些结点，又可以称为独立结点。

至此，我们学习电路知识中

多次出现的“独立”这两个字的意思，

是针对列方程而言的，即“线性无关” 的代名词。

其实，我们也可以通过基本割集，

把其所联系的支路电流来列写KCL方程，

也能找到这个结论，

独立的KCL方程数目，是单树枝割集的数目。

前面提过，单树枝割集的数目就是n-1。

如图，选择有向G图1、2、5支路为树，

然后作虚圈，

得单树枝割集：c1（即1、4、6）、c2（即3、5、6）、

c3（2、3、4、6）。

这里要用到割集方向的定义了，

我们看c1的三个支路方向都是指向虚圈外的。

其中单树枝1支路的方向，

是定义这个割集方向的参考，

它若朝（虚圈）外，则c1割集的方向就朝外。

其他的连枝的方向，若是朝外，

其电流就取“+”号，反之取“-”号。

所以c1切割的三支路电流，都是“+”号，

得kcl方程的表达式为：i1 + i4 + i6 = 0 。

根据这个原则，我们再看c2，

其单树枝支路为5,

朝虚圈内，

则它为参考时，连枝朝内都是“+”号，

连枝若朝外，都为“-”号。

所以：c2列写的KCL方程为：i3 + i5 +i6 = 0 。

最后再看c3，其单树枝为2，

朝向是虚圈内，

即规定朝内的支路方向，都为“+”号，

反之为“-”号。

故得：c3的KCL方程为：i2 +i3 + i4 +i6 = 0。

三个树枝都找完了，

因此，kcl方程也就列完了。

这三个方程，也是相互独立（或者：是线性无关的） 。

这里需要指出的是：

1）这种方法，列写的方程，

不再会出现，电流在方程组里面出两次、

一“+”一“-”的现象。

2）此方法列写，必需要先指定树，

因此，此方法不常用。

没有采用n-1 个结点的方法，列写方便。

其实我们，如果树选取的得当的话，

上述的单树枝割集支路的KCL方程，

也可以降为独立结点的KCL方程，

这个留给读者自行练习。

再介绍一下KVL方程的独立性问题。

（根据）前面介绍，我们已经知道，

独立性是指建立的方程组，要线性无关。

我们学习基本回路和网孔的时候，

已经知道，它们都是相互独立的，

它们的数量是确定的，

即G图的独立KVL的数目，为（b-n+1）个。

如图，6条支路，4个结点。

其结构为三个网孔。

而6条支路的变量，

可以设成u1-u6，

要想列写（独立的）KVL方程，

最多只能够列写3个，

（即b-n+1个，因为b=6，n=4）

我们通过选取3个网孔，并选择顺时针绕向，

根据有向G图中的电压方向，

与顺时针绕向相同的时候，电压为“+”，

与顺时针绕向相反的时候，电压为“-”。

那么三个网孔的方程，分别为：

网孔1（m1）

的KVL方程：

u1 +u2 - u4 = 0 ；

网孔2的KVL方程为：-u2+u3+u5= 0 ；

m3的KVL方程为：u4–u5+u6 = 0 。

这些方程之间，相互独立，

（也称线性无关）。

好的，至此，我们通过拓扑图和图论的初步知识，

介绍电路分析中最重要的两个定律，

列写线性方程在独立性方面存在的两个重要结论，

即独立的KCL方程有n-1个！

独立的KVL方程只有（b-n+1）个！

这两个结论，是我们后续分析电路变量必须遵守的规律。

最后再归纳和总结一下2.4节，所介绍的知识点：

目的在于让大家捡起这些知识点珍珠，

同时也希望大伙能把它们串起来，

承接前面的知识，

要知道：电路分析不是只有化简等效、

电路的KCL方程、KVL方程约束，以及支路的VCR约束，

还有一些重要结论，即电路方程的独立性约束。

这个属于自然存在的条件，

它们的方程数目：是（n-1）和（b-n+1）个。

这些结论都要遵守，

有了这些结论，我们的电路理论后续的分析将会更加精彩。

好的，总结一下本节知识点，

如图所示：

本节从模型图出发，介绍图论中的G图。

然后展开介绍了有向G图、连通图、平面图等。

而核心是，树的概念，

树把G图分解了，从树、回路、割集三方面，

我们得到树枝数、连枝数、基本回路、基本割集等等概念。

最终都指向了两个结论：n-1和b-n+1。

好的，本节就到这里

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