10-4-1运算法-1在线视频

同学们好！本节学习运算法，

即s域分析法，来分析线性的动态电路。

在动态电路章节，我们学习了一阶电路分析法，

可以用简化的三要素公式法，

或建立一阶常系数微分方程，并求解方程的办法，

来分析直流电源作用下的动态响应。

其中概念诸如：零状态响应、零输入响应、全响应等都比较多，

牵涉到要把时域从时间0-至0和0至0+、

以及0+至无穷大等三阶段来分析，

因此还是比较繁琐的。

而当电源（激励）为非直流时，比如正弦函数、

阶跃函数或冲激函数时，时域分析法就相对有点麻烦了。

再有，在遇到二阶电路，三要素公式法就不可用了，

必须建立常系数微分方程并解方程，就变得更加麻烦。

而超过二阶的高阶电路，微分方程的建立和求解就更不容易了，

虽然可以采用状态变量分析法、或数值分析法，

但我们工科数学知识还不够。

怎么办呢？

本章，通过前面的拉普拉斯变换和反变换的学习，

我们找到了一个数学工具，

把上述不容易解决的问题，全部放到s域（复频域）中，

运用运算电路模型来进行分析，将变得十分简单。

运算法的分析流程

方案一：

先列写动态电路的待求量微分方程，

再利用拉普拉斯变换的性质，

直接将微分方程变换为代数方程，

求解代数方程，然后再拉普拉斯反变换，求出待求量。

这种方案，还是存在列写（微分）方程这个环节，

对于高阶电路一般是不容易做到的，

所以该方案一不是最优。

我们选择方案二：

即通过先把时域电路变成运算电路，

直接在运算电路中分析待求量的象函数。

最后把象函数拉普拉斯反变换，而得到待求量的原函数，

这个流程，称为运算法。

在整个流程中，不再出现微分方程了，

仅是代数方程，因此比较简单。

其基本包括以下四个步骤：

1）先计算换路前的电感、电容初值iL(0-)和uC(0-)；

2）画出t>0后运算的模型电路；

3）在模型电路中求待求量的象函数；

4）拉普拉斯变逆换，求取待求量的原函数。

下面将通过很多例题，来介绍运算法分析动态电路各种情况：

如一阶、二阶以及高阶电路；

阶跃响应、冲激响应、以及特殊激励；

双电容、双电感等等，动态电路分析。

看补例例题1，如图（a）电路，

uC(0-)=100V，电路已稳定。

其在t=0时，开关闭合。

求t>0后，电感电流和电压的变化规律。

解，这题在时域动态电路中，就是一个二阶全响应的电路。

时域分析时，要建立起电感电流变量的二阶微分方程

或电容电压变量的二阶微分方程，都不是很容易。

我们采用运算法分析。具体流程如下：

1）先分析电感电容中的初值。

iL(0-)=5A，uC(0-)=100V。

从而得到两个附加电源为：Li（0-）=0.5；uC（0-）/s。

注意，这些附加电源量，都不要再带单位了，

虽然都表示电压量，但不宜用V来描述。

因为它们都是s域的量，与原函数的量相差了一个时间积分。

2）画运算电路，t>0后的情况，如图（b）所示。

可以看到，所有元件上面的参数，都没有再带单位！

续解，（3）通过直流电路分析方法中的网孔电流法，

列写方程，求解象函数Im1（s）。

如图（a）所示，选择好网孔电流和绕向，

然后列写网孔电流方程，如方程式（1）和（2）所示。

化简后得到象函数Im1（s），如方程式（3）所示，即待求量iL的象函数。

（4）对待求量象函数进行拉普拉斯反变换。

先求象函数分母等于零时的根，

发现有重根现象，按照部分分式分解，得方程式（4）所示。

续解（2）

对于象函数Im1，分解的部分分式（4），

求解对应的系数，分别是K2=5；K11=1500，K12=0。

反函数求得从而iL（t）如方程式（5）所示。

同理，计算电感两端电压象函数UL（s），如图（b）所示，

要注意UL（s）中含有附加电源。

之后再求反函数，得到最终的解，为方程式（6）所示。

讨论一下：发现在解象函数的分母的根的时候，有重根。

且该电路属于二阶动态电路，

对照时域分析，找到这个二阶响应，

应该属于临界阻尼的响应。

但是s域中求解的时后，这些因素都可以不考虑！

甚至其是零状态、还是零输入、以及全响应，都可以不考虑，

也不再关心它是否属于欠阻尼、过阻尼、临界阻尼、无阻尼等等的情况，

显然运算法比较简单。

再看一个例题10-13，图（a）中，电路原先是零状态。

在t=0时，开关S闭合。

电路元件和激励等等的参数都已知。用运算法求t>0时，电感电流iL(t)。

解：按照运算法解题流程，

1）先分析储能元件初值，确定附加电源。

本题已知储能元件零状态，因此，附加电源都为零。

2）作出t>0后的运算模型，如图（b）所示。

3)在s域中，计算待求量的象函数。

通过结点法，如图（b）中，取好结点1，

列写结点电压方程，如方程式（1）所示。

求出结点电压Un1（s），如方程式（2）所示。

再计算待求量象函数IL(s），

展开成部分分式，如方程式（3）所示。

通过计算，可以得到部分分式的系数

A=1，B=-1.5，C=0.5。

4）再求拉普拉斯逆变换，

求出待求量iL(t)，如表达式（4）所示。

这个例题，最终的结果，是二阶动态电路，

属于零状态响应，且具备过阻尼的规律。

下面看一个阶跃响应的例题。

补例1，已知激励为单位阶跃函数。

如图（a）所示，一阶RL电路中，

分析阶跃响应电流i（t）和电感电压uL（t）。

解，在时域分析时，阶跃响应分析，

是默认的零状态响应。

那么按照运算法分析流程，

1）零状态，显然没有附加电源。

2）直接画出运算电路，如图（b）所示。

3）在运算模型中，求解待求量IL（s）和UL（s），

分别如表达式（a）和表达式（b）所示。

4）再逆变换，求得阶跃响应i（t）和uL（t），

如表达式（a'）和表达式（b' ）所示。

显然，在激励为奇异函数ε（t）时，、

动态的分析，采用运算法更为简单。

再看一个奇异函数激励源的例题分析。

补充例题2，电路如图（a）所示，激励源为冲激函数。

求电路的冲激冲激响应ic(t)和uc（t）。

解，运算法流程分析

1）冲激响应也是默认的零状态响应，因此无附加电源。

2）作运算电路模型，如图（b）所示；

冲激函数的象函数Is（s）=1；

3）解待求量象函数UC(s)的表达式为（x）所示，

IC（s）的表达式为(y)所示。

4）求反函数：

求得电压uc（t）为表达式（x'）所示，或（x"）所示。

Ic（t）则为表达式（y'）所示。

其中（y'）式中，

表明了电容电压在0时刻是一个冲激量，且为无限量。

因此，就可以解释电流ic（t）的（x'）表达式中的含义

可见（x'）表达式中，

电容的电压在0-和0+处的值不连续，

即电压突变了。

讨论一下，本例题中电容的电流和电压的冲激响应

显然，电容电压表达式（x'），对应的图（b）（波形），

可见uc（0-）不等于uc（0+）。

在时域中，动态电路有换路定则，

指出，只有ic为无限值，才能符合uc（0-）是不等于uc（0+）的。

本例题中，解答的ic（t）如方程（y'）所示，

显然在0时刻，存在无穷大电流，

因此完美的解释了，电容电压的突变的特点。

小结一下，至此，我们通过几个例题讲解，

运用运算法分析线性动态电路时，

无所谓二阶电路是否过阻尼、欠阻尼或临界，

也无所谓电路是否零状态响应，还是全响应等等，

全部都可以按照运算法四步骤的流程，进行分析。

而对应典型的奇异函数（包括：阶跃函数和冲激函数）

作用下的动态电路分析，

运算法分析，则更为简单。

其求取的结果，按照时间0至无穷大，来分段分析，

都符合时域分析的响应规律。

因此，运算法是分析动态电路，十分重要的分析方法。

好的，本节就到这里，下节再见。