09-2-1串联谐振-1在线视频

同学们好！本节学习串联谐振电路

前面介绍过，在交流稳态分析时，用相量法分析，

是采用了固定频率的办法。

用相量形式分析如图（a）所示，相量法中的无源一端口网络。

一般来说，该网络的端口电压和电流的相位是不同的。

但是，在某一特定的频率下，

端口电压u和电流I可以达到同相位。

或该端口的阻抗的虚部为零，

称此时，电路在该频率下发生谐振。

这就是电路中的谐振的定义。

该定义的核心要素：就是电流电压同相位。

电路的谐振分析，即属于相量法分析范畴，也符合频率响应分析范畴。

通常分析谐振电路有以下几种：

RLC串联谐振电路、

GCL并联谐振电路、

以及其他形式的谐振电路。

我们重点来学习串联谐振电路。

9.2-1RLC串联谐振

电路如图a所示。

该端口的阻抗：U/I=Z（jω）=R+jωL+1/(jωC)

=R+jX（ω）

阻抗Z（jω）函数，其|Z|-ω曲线如图（b）所示。

其中阻抗Z、电抗X（含感抗、容抗）都是频率的函数；

比如图b中虚线部分，

只有R为常量，

电抗（感抗、容抗等）随频率变化而变化。

其中电抗为零时，与频率轴交点为ω0。

重要的几个量：谐振频率、特性阻抗、品质因数

在RLC串联回路中，在ω0频率点时，电路发生谐振，

即：端口的电压电流同相位，

此时的频率为谐振频率。

计算公式为：角频率ω0=1/根号下LC（rad/s）。

换成频率：f0=2π乘以根号下LC分之一。

谐振频率：是一个与回路中串联电阻值R无关的量。

谐振时，回路的阻抗，值为最小。

谐振时，感抗容抗相加为零；

感抗或者容抗的绝对值，定义为特性阻抗，用ρ表示。

即：ρ=ω0L=1/ω0C，也=根号下L/C。

单位为欧姆（Ω）。

再定义：在谐振时，特性阻抗与串联回路的总阻抗的比值为：品质因数，用大写字母Q表示，

（没有单位）。

可以写成Q=ρ/R，也=ω0L/R，或者说=1/ω0CR，

也=1/R倍根号下L/C。

这个品质因数Q，在串联回路的电路中，

联系了R、L、C三个元件参数，是一个十分有用的辅助参数。

其实质：是指在串联谐振发生时，

回路中电感或电容中存储的能量，与电阻中消耗的能量的比。

（这个实质，同学们可以课后搜索相关文献，寻找更加确切的说明）。

看一个例题9-4，求图（a）电路，

在发生串联谐振时的谐振频率、特性阻抗、品质因数。其元件的参数已知。

解：先计算等效电感：

Leq=1H；

再求等效电阻：Req=25Ω。

因此：1）谐振角频率：ω0=1/根号下LC=1000（rad/s）

2）特性阻抗：ρ=ω0Leq=1000Ω；

3）品质因数：Q=ρ/Req=40。

再看一个补充例题：改变电路参数，可以实现在信号的固有频率点出现谐振。

如图1所示，收音机调台电路的示意图。

L、R参数已知，电容C可调节大小。

三个电台的信号幅度很小，为U1=U2=U3=10mV，

串联在回路中，其频率分别是f1=666kHz（合肥广播电台）、

f2=540kHz（中央广播电台）、

f3=936kHz（安徽广播电台）。

试计算，要在这三个频率点谐振，则电容C的值为多少？

解：先将这些频率点化成角频率。

则ω1=2πf1=6.28×666k=4.18×10的6次方rad/s。

所以C1（合肥台）=1/（ω1的平方乘以L）=228.9pF,约等于230pF，

同理：C2（中央台）=348pF，C3（安徽台）=116pF。

9.2.2串联谐振的特点

1)电压谐振

在谐振频率点时：相当于定频交流电路，

相量法分析，端口电压和电流同相，取电流I相量为I∠0°A。

则电阻电压UR，也为0°相位，

且等于端口电压U。

而电感电压，超前端口电压90°，

且其大小是端口电压的Q倍，如方程式（1）所示；

电容电压滞后于端口电压90°，

且与电感电压一样，大小也是端口电压的Q倍，

如方程式（2）所示。

这两个电压，相位正好相反，大小相等，串联后相加等于零。

因此图2所示，相当于ab间短路。

这就是串联谐振时，

元件电压的平静中，含有不平静。

当电路的品质因数Q远大于1时，会发现，电感和电容上的电压，

比端电压高得很多。

所以，串联谐振也称为：电压谐振。

2）阻抗值最小：

电路在谐振时，入端的阻抗Z=回路的等效电阻R，值最小。

3）电流最大

在输入激励的幅值为定值时，在谐振频率点时，回路电流最大。

4）谐振是RLC串联回路的固有特性。

其谐振的（角）频率ω0=1/根号下LC，是由回路自身的元件参数所决定，

因此ω0又称为固有振荡（角）频率。

工程中，改变回路的自身参数L或C，可以改变电路的固有振荡频率；

也可以让输入信号或激励源改变频率，来实现电路谐振，

这就需要从频率特性的角度，去进行分析。

5）功率

电源或激励源向回路中仅提供有功功率，

且全部被回路中电阻消耗。

而电感消耗的无功功率，则由电容产生，

注意，两者的数值都不是零。

其功率消耗情况，如图1示意图所示。

相关的计算公式为：有功功率P=I0的平方×R；

QL=ω0L×I0的平方；

QC=-I0的平方/ω0C。

电路工作在谐振点时，电感和电容不与激励源交换能量。

补充：关于品质因数实质的说明

这个回路（特别是通讯工程实际中），激励源的幅值通常都较小，

即能量有限。

谐振频率是固有的，此时电路在谐振点振荡，

若保持这个电路，持续在谐振点振荡下去，

则希望电路每一个振荡周期内，电阻消耗的能量越小越好，

这就是品质因数定义的实质。

用回路中电感或电容中存储的无功功率

与电阻消耗的有功功率的比来定义的。

即Q= ω0L/R，

因此，希望Q越大越好。

6）谐振的利与弊

（a）在通讯工程中，利用谐振可以从不同频率段的信号源中选择出所需要的信号。

利用谐振，可以从不同频率段的信号源中选择出所需要的信号。

通常希望品质因数较大，

如，某收音机，C=150pF，L=250mH，

R=20Ω。

则其：Q值为65。

如果信号幅度只有10mV,

但是在电感上，感应的电压值，可以达到Q倍的数值，即650mV，

这就比较可观，也是收音机所需要的。

（b）不过在电力系统中，由于电源电压本身就比较高，

一旦发生谐振，会因为出现过高电压，

而击穿电器件的绝缘，也有可能损坏设备，因此需要避免谐振。

看一个例题9-5，某收音机输入回路为图（a）所示。

电容有两个，固定电容C0和可变电容C并联。

L=0.3mH，Q值=80，R未知待求。

若电路的固有谐振频率，与f=540kHz一致。

则求：（1）可变电容C的值。（2）待求电阻（R）的值。

解：1）电路的固有频率仅与自身的参数有关

其ω0表达式为方程式（1）所示，

然后，经过代入参数计算得：C=270pF。

2）计算回路中等效电阻，则由方程式（2）所示，

代入参数，得R=12.5Ω。

好的，本节就到这里，下节再见！