04-4-2 阶跃响应与冲激响应-2在线视频

同学们好！本节继续学习奇异函数作用的动态电路分析。

4.4.3冲激响应

概念：电路在单位冲激函数δ（t）作用下的零状态响应，

称为单位冲激响应，用h（t）表示。

分析方法一：

按照时间顺序，分步骤求解，过渡过程的物理意义明确。

包括：

第一步：先计算由冲激函数δ（t）作用下产生的动态元件的初值uc（0+）和iL（0+）。

这个过程需要作电路的0时刻图。

在零状态电路的前提下，

0时刻图中，电容视作短路，电感视作开路。

因此在0时刻图中，可以利用KCL、KVL等规律求出初始值。

如果如有冲激电流流过电容处，

电容的电压将发生跃变，则利用表达式（a）求电容电压uc（0+）；

如有冲激电压出现于电感两端，

电感电流将发生跃变，则利用表示（b）求电感电流iL（0+）

第二步：则求解冲激作用后，产生的初值作用下的零输入响应。

这两个步骤，先后顺序分明，物理概念明确，

求解分的分量含义也非常明确，

即先冲激出初始值，是一个点的稳态值；

后在此初值下的零输入响应，是一个区间的过渡过程。

求解方法二：间接法，即利用阶跃响应求时间微分来进行分析。

（1）先分析电路在单位阶跃（激励）作用下，

产生的响应

s(t）=f (t) ε(t) ；

（2）再通过对s（t）求微分来分析冲激响应，如公式（x）所示。

要注意：采用此种方法，（x）式子微分运算，

可以得到两项，如表达式（y）所示。

对于表达式（y）通常要作一下简单分析：

有时候，可能冲激量会存在；有时候可能冲激量不存在。

下面来看一些例题，初步掌握冲激响应分析。

例4-9，求图（a）示电路一阶冲激响应uC和iC。

解，方法一：按照时间顺序。

1）作0时刻图，如图（b）所示，

找到电容中的电流ic为冲激电流δ（t）。

再由换路定则公式，计算电容C在0时刻的uc（0+）的值，

得出uc（0+）=1/C（v）。

2）时间t>0+后的分析，如电路图（c）所示，

是一个零输入响应，得到uc为（y）表达式所示。

全时间段的波形图，如图d所示。

也得到ic为（z）表达式所示，其全时段的波形图，如图（e）所示。

方法二：先求阶跃响应，再求微分的办法。

先看原电路图（a），作出图（b）替换冲激激励为阶跃激励。

即δ（t）被换成ε（t）。

先计算uc的阶跃响应s（t），其结果为表达式（a）所示。

再对表达式（a）求微分，得到uc的冲激响应。

如下计算：h（t）=ds（t）/dt，

然后进行分部微分，

得到表达式（b）所示。

对于表达式（b）中，稍为分析一下，

其中含有冲激量的一项，（发现）无论时间为何值时，结果都等于零。

这就是采用方法二，要注意的一点。

因为分部的微分，会出现两项。

但是冲激量前面的的系数，

会因为函数时间变量的取值，

存在一个始终等于零，或有时可能不等于零的情况。

再求ic，也采用先求阶跃响应，再求微分的办法。

如图（b），求ic在阶跃函数作用下，阶跃响应为表达式（a）所示。

再把求得的阶跃响应求微分，即为冲激响应。

即为冲激响应。

即h（t）=ds1（t）/dt，

（a）表达式代入后，分部微分，得到表达式（b）。

对于表达式（b）中，有一项含有冲激量，

分析一下，冲激量前面的系数，

发现只有t=0才能存在δ（t），因此这项中，δ（t）前系数为1，

所以得出ic的冲激响应，为（c）所示。

与方法一求解的结果相同。

再看一个例题4-10，（a）所示电路，电感电流初值为零。

R1=6Ω，R2=4Ω，L=100mH。求冲激响应iL和UL。

解：按照时间顺序求解，

1、0-到0+区间，作0时刻图，如图（b）所示。

在0时刻图中，电感电流为零，相当于断路，

因此方便得出，此时电感两端电压u（0）为外激励冲激量的分压，

等于4δ（t）。

因此，可以用换路定则计算，iL（0+）=1/L=（40A）。

2、再分析t>0+之后的响应

此时冲激量消失，余下的是电感获得了初始能量，

在iL（0+）的初始值下，完成后续的零输入响应。

续解，iL(0+)完成后续的过渡过程。

作出 t >0+后的电路图，如图（c）所示，

为一阶RL零输入响应，采用三要素方法即可解答。

由图（c）中，得出时间常数τ=1/24s，

以及iL的初值和终值。所以，电流iL为表达式（a）所示。

再求uL，

由iL求微分乘以L可以获得。

计算得出结果为表达式（b）所示。

观看和稍作分析一下表达式（b）中，

看看冲激量前面系数是否为零。

显然表达式（b）中，冲激量前面系数非零。

因此得出uL的结果，为表达式（c）所示

（至于方法二，用先求阶跃响应，再进行微分的方法，留作课后作业，大伙课下自行分析）。

看一下这两个量的波形图,

1、iL的波形图，如图（1）所示。

2、uL的波形图，如图（2）所示。

比较一下会分析，电感电流在0时刻出现跃变，是因为0时刻，电感电压存在冲激量。

看一个二阶电路的冲激响应。如图（a）所示RLC串联电路，

在冲激电压源作用下，求冲激响应uc。

解：按照时间顺序的方法，

1、先求0-到0+区间，作0时刻图，如图（b）所示。

因为求冲激响应，通常是零状态的，

因此电感电流为零（相当于开路），

电容电压为零（相当于短路），

所以，图（b）中，电感电压在0时刻时为冲激量，即uL=δ(t)。

然后来求初值，采用表达式（1），求得电感电流在0+时刻初值=1/LA。

有同学会有疑问：为什么不求uC（0+）？

思考一下，原因是：求uc（0+）不等于uc（0-），

是要存在着穿过电容电流为冲激量时，才成立的！

显然本题中RLC串联，在0时刻图中，电容C中电压为0，不是无穷大，

因此冲激产生突变的量为电感电流，而不是电容电压。

分析得知，电容的电压为uc（0+）=0。

2、t>0后，电路的分析。

显然冲激产生了初值，在电感的电流上，

t>0后，由电感电流的初值，引起后续过渡过程。

电路的等效结构如图（c）所示，

由电路图（c）列写以uc为变量的二阶常系数微分方程。

如表达式（x）所示，再代入初始条件uc（0+）

和iL(0+)化简转换得到的duc/dt在0+时的初值。

就可以通过特征方程，求解特征根，

来判断，后续的二阶过渡过程属于过阻尼、临界阻尼还是欠阻尼等等。

后续的分析就不再叙述了。

好的，至此，我们基本介绍完了关于时域经典方法，

来分析动态的一阶电路、二阶电路。

主要是列写电路微分方程，根据初始条件，求出微分方程的解的过程。

二阶电路分析时，微分方程求解较为复杂，应用数学知识也较多，

同时，也开拓了我们的思维，

直流激励，作用在线性电路中，产生的响应，有多种多样。

比如，能产生两个衰减函数，一正一负相加，最终还是衰减量；

一个指数衰减量，乘以一个线性增长的函数，最终还是一个衰减量；

以及一个无阻尼情况下，无限振荡下去的正弦波函数（量）。

我们稍作总结一下：

应该建立起这样的认识，

电路变量，

在直流电路分析时，一个点就可以来描述；

但在动态电路中，电路的变量是随时间作变化的，如衰减的负指数函数，

要用一根线才能够描述清楚，即一维的时间函数的波形图；

由此类推，是否在后续的学习中，电路的变量，要用到二维、三维，才能够描述清楚呢。

这个问题，可以作为贯穿整个电路理论课程学习期间的大思考作业，

在每一章结束后，都值得思考一下！

好的，本章就到这里，下个章节再见。