05-2-1相量表示 -1在线视频

5.2 正弦量的相量表示法

前节讲过，一个正弦量，要说清楚，需要三个要素才明晰。

因此，由它所引起的电路响应，或求解电路变量，将会比较复杂。

为此我们现在来学习

分析正弦稳态交流电路的便捷分析法——相量法：

它是用,称为相量的复数,代表正弦量，

将描述正弦稳态电路的积分（微分）方程

变换成复数的代数方程，从而简化电路的分析和计算。

该法自1893年由德国人

C.P.施泰因梅茨提出后，

得到广泛应用。

相量可在复平面上，用一个矢量来表示。

相量法的基础工具是复数，

涉及到复数的表示形式、运算、等等

5.2.1 复数的表现形式及其运算

我们先来回顾、并巩固复数的相关知识：

1、复数的表示形式。

可以有代数形式，如：F=a+bj的形式；

也可以有指数形式，如：F=|F|ejφ；

以及极坐标形式：F=|F|∠φ;

还可以描述成三角函数形式

如：F可以=根号下a平方+b平方乘以（cosφ+jsinφ）。

显然，复数具有二维空间的特点。

描述它，必须有两个量才行。

如实部加虚部，或长度加角度。

同时，复数还可以用矢量图来描述。

这四种形式的相关数值关系，

我们需要巩固并熟悉。

如：1）a平方+b平方=|F|的平方。

2）b/a=tanφ。

3）还有一个需要注意的是，

由于φ取值范围规定要在正负180°之间，

因此，遇到a或b为负值时，

要注意，先确定其在哪一个象限，

然后再确定，某一个值是180°-arc tan（b/a），

还是-180°+arc tan（b/a）？

而复数的四种方式的相互转换，

我们也要学会，在普通的计算器上进行操作。

2、复数四则运算

1）加减运算

则采用代数形式，比较方便，

实部与实部相加减，虚部相加减即可，

得到的形式仍然是实部加虚部。

也可以运用矢量图运算，如图（a）所示。

在复平面上，采用平行四边形法则作图

F=F1+F2；

还可以用第二种形式作图，

即作闭合多边形的方式。

多边形法则：是把后一个矢量的起点，连接在前一个矢量的终点，

保持后一个矢量的与实轴的角度，

延长该矢量到其准确的长度后，

作为下一个再加的矢量的起点。

延续下去，直到加完所有的矢量，

最后把坐标原点与之终点连接，

方向由坐标原点指向最终点。

如图所示。

2）乘除运算：

则首选复数的极坐标表达式，或者指数表达式。

（a）再采用代数形式，则计算比较冗长和繁琐。

比如(a1+jb1) 乘以(a2+jb2)＝(a1a2 -b1b2) + j(a1b2+a2b1)

或者说，除法计算如方程式（1），

包括分母的有理化，和分子的实部虚部合并等等。

（b）采用指数形式，乘除就较方便。

比如F1的复数和F2复数，相乘或者说相除，

则模相乘或相除，而角度相加或相减即可，

如方程计算式（2）和（3）所示。

（c）其实我们更多的时候，还是采用极坐标的形式，

来计算其乘、除。

它与指数形式类似。

如计算方程式（4）和计算方程式（5）所示。

如果方程式（2）或方程式（4）中的复数F2，

其模的长度为单位长度1的时候，

则这个数乘以某一个复数

或者说某一个复数除以F2的话，

我们可以这样认为：

乘以F2，就是让某复数逆时针旋转一个角度θ2。

若除以F2，就是让某复数顺时针旋转一个角度θ2。

比如F2为90°、-1、-90°等等，

则它乘以某复数，

就会把这个复数逆时针旋转90°、旋转180°或旋转270°。

5.2.2 正弦量的相量表示

1.正弦量的相量表示形式

我们选择一个正弦量表示的电流，

比如说：i=根号2Icos（ωt+φi）A。

若取一个复指数函数：

根号2Iej（ωt+φi），

其可以描述成方程式（1）所示。

而这个复指数函数，求其实部的运算，

如表达式（3）所示，其结果就是我们刚才设定的正弦量形式的电流i。

说明：一个求实的运算，

能够把复数域的一个复数，与时域的正弦量

一一对应起来。

如把复指数形式的复数，

指数拆开成成ejωt乘以ejφi，

则能展开成方程式（4）。

在方程式（4）中，

有个I头上加点的量，

我们令它为一个复数，

其模为I，角度为φi

为正弦量的相量形式。

注意这个相量形式，是一个复数。

它与时域形式的正弦量i（t），

存在着一一对应关系。

我们来认识相量形式，与正弦量的关系：

正弦量的相量形式，实质是复数。

它是通过运算公式（1）联系起来的。

表示一个实数范围内的时域正弦量，

与一个复数范围内的复指数量

具有一一对应关系。

用有效值（大写字母）上加点的方式表示，

称为正弦量的相量形式，简称相量。

既可以与有效值 I 有区分，

又可以与一般的复数，作区分。

表达式（2）表明了这种关系的实质。

把正弦量由三要素才能区别的一个量，

降维成复数，只要两个要素，就能够区分的量。

在数学上，我们还得注意，不要写出表达式（3）这种形式。

正弦量的相量形式：是一个复数，

其模是正弦量的有效值；其辐角，是正弦量的初相位。

同理，一个正弦形式的电压，也可以表示成相量的电压。

如式（4）所示。

再次强调，正弦量和相量是不同定义域的量，

不是等于，应该是一一对应。

既要注意书写的大小写形式，也要注意表达式的实质。

再来说一下，相量图。

正弦量降维后成相量，

而相量是复数，

复数用矢量图，可以在复平面描述几何图形。

如果这些矢量，都是正弦量的相量，

则得到几何图形，称为相量图。

如，i和u相量，可以在复平面画几何图形，有角度、有长度即可。

如图所示，i和u的相量图描述。

角度，通常是对复平面的实轴而言的。

实轴的正方向为0度。虚轴的正方向为90度，

平时，我们大多数不画出实轴和虚轴。

默认：实轴正方向为0度的量作为参考正弦量，

或取初相为零的正弦量，作为参考正弦量。

总结一下：相量、复数、正弦量之间的关系

1、共性问题：

从运算角度来说：相量 = 复数，

即复数的一切数学运算规则，相量都会遵守！

2、个性方面：专指角度：

专指或特指角度：

复数≠相量，

复数是复平面上的一个点，与时间无关；

没有实际的物理意义，是一种数学工具。

表达的形式方面，也不需要在大写字母上加一个黑的点。

相量特指来自于时域中某个正弦量，

这个正弦量与时间有关；只是映射到复数定义域中，

被降（低）维（度）成仅取两个要素的复数

书写形式上，是用大写字母上加点来特指。

电路分析或电路理论中，通常是指电压和电流这两个变量。

因为它们回到时域中，有正弦量与之对应。

普通的复数，阻抗以及复功率等，

在时域中，是没有对应的正弦量。

因此，不能称之为相量。

好的，本节就到这里，下节再见。