08-1 非正弦周期信号的分解在线视频

同学们好！本节学习8.1非正弦周期信号的分解

对于电路分析中，直流电源或电信号，

比较简单，也容易分析。

正弦交流信号的电源或激励，通过前面章节的学习，

发现采用相量法，也能有效的分析。

今天我们学习的是一种，

既非直流信号，也非稳态、单频率正弦规律的信号，

我们称为非正弦周期信号。

1）这种信号在工程实际中普遍存在，

如图（a）所示的三角波信号、

图（b）中所示的方波信号

和图（C）中被切了一半的正弦波信号。

2）这种信号存在，一方面是因为

人们科技生活或工程实际的需要

而人为产生的一种信号；

另一方面，是因为

电路元件中一些非线性因素的原因，造成的非正弦信号，

或者是因为多种成分的信号干扰叠加，而形成的这种信号。

总之，它们存在，是有理由存在，它们的存在也合理的存在。

3）那么我们如何来分析：由这种信号作为激励或电源，

作用在线性电路中，产生的电流、电压或电功率呢？

我们把这种非正弦周期信号作用下的电路分析方法，

称为谐波分析法。

先来学习一个预备的数学知识：

即8.1.1傅里叶级数的三角形式

对于一个周期函数，通常可以描述为f(t)=f(t+nT），

其中T为周期，n为正整数。

而这个周期函数，非正弦规律，如前面介绍的方波、三角波等。

若这个函数满足狄里赫利条件，

则其可以展开成傅里叶级数的三角（函数）形式，

如方程式（1）或者方程式（2）所示。

其中两个方程中n为1,2,3。。。的自然数；ω1=2π/周期T。

关于傅里叶级数展开式中：有直流项a0,A0；

余弦项系数an、和正弦项系数bn、

以及和化积差后的余弦函数，幅值为An和相位差φn等等，

这些量的关系如方程组（8-2）所示。

特别注意的是：相位差φn是-bn/an，求反正切，得到的角度（相位）。

其中，系数a0的求取，可以通过积分运算公式（1）获得；

一系列的系数an，可以通过积分运算式（2）获得，

而一系列系数bn，可以通过积分运算公式（3）获得。

对于系数a0=A0，是一个与时间无关的直流量，

称为直流分量。

而系列系数an、bn等运算公式，

其积分区间，也可以取【-T/2,T/2】

再讨论与说明一下；

对于f(t)展开后的表达式（2）中，

我们称A0为直流分量或零频率分量。

而表达式（2）中，还有一个特点，

就是把同频率的正弦量，和化积差后，变成一个正弦函数，

这点很重要（为后续分析有效值、平均功率等，做好铺垫）。

这些一系列的三角函数形式，都是正弦量，

自然数n的取值不同，这些正弦量的名称略有不同。

其中n=1时，即ω=1倍ω1，称为基波。

N=2，3，4。。。等等，

则称为2次、3次。。。K次谐波。

大于2倍基波的这些频率的正弦函数，都可以称为高次谐波。

f(t）的分解式（2）中，

系列正弦量的系数都是正数，

其实，工程实际中还会遇到分数形式的谐波。

关于分数形式的谐波，同学们可以在课后，

自行查阅相关资料，作一些了解，这里就不再叙述了。

这里看一个例题8-1，

求图(a)所示三角波函数的傅里叶级数的三角函数展开式。

解：根据三角波的特点，

可以采用点斜式方程来描述它，

分两段时间区间表示了这个f(t)。

那么其傅里叶展开式中，

1）直流分量的计算，可以通过方程式（2）进行，

求解后得到a0=A/2；

2）余弦项系数an的计算，

则由系数求解公式（3）计算，

代入f(t)，最后得出结果如公式（4）所示。

这里需要说明的是，

这个结果里面，会呈现系列系数an中，

仅存在n为奇数的项，而n为偶数的项都不存在了。

这很有启发性。

3)再求正弦项的系数bn，

经计算，得到bn=0。

注：an、bn等系数的计算，

在我们电路课程不需要花太多时间，去解决这类数学问题，

同学们学习时，可以利用数学工具书，直接查询获得。

至此，我们计算好了三个系数，

再利用角度φn=-bn/an的反正切求得相位也为零。

于是，可得图（a）的三角波函数，

其傅里叶级数的表达式，为方程式（1）的形式，

或简写成方程式（2）所示。

别忘了，方程式（2）后，添加上n为奇数。

再看一个典型的正脉冲方波函数如图（a）所示，

求其傅里叶级数的展开式。

解：先写出正脉冲函数f(t)一个周期内的表达式，

以及其展开式中，基波的角频率ω1=2π/T=1rad/s。

然后计算直流分量A0，

代入系数计算公式，得A0=Um；

计算余弦项系数an,

发现根据积分运算的特点，所有的an=0；

再计算其正弦项系数bn，

发得出结果为bn=4Um/(nπ），其中，n为奇数项。

因此，A0，an、bn等等代入，

得到该正脉冲方波，分解后的级数展开式为方程式（1）所示。

8.1.2对称性的应用

我们来探讨一下：关于f(t）函数的奇偶性或对称性特点，

能够确定其傅里叶展开式中，

某些项为零或某些项不存在。

下面来介绍这几种：

对称、奇、偶、奇谐、偶谐、半波对称等函数。

1、奇偶对称性

（1）偶函数或关于纵轴对称的函数。

其中偶函数，是指解析表达式为f(t)=f(-t)的函数。

或者函数的时域波形图如图（a）形式的对称，

以及如图（b）形式的对称。

这种关于纵轴镜像对称的非正弦周期函数，在工程中有很多。

如我们前面例题中的三角波函数。

（2）具有奇对称的函数

满足：解析式f（t）=-f（-t）。

或者其函数在-T/2到T/2区间，关于原点对称

（3）奇偶函数相乘运算的规则：

按照偶×偶得偶，奇奇得偶，奇偶得奇的规律。

奇×奇得偶，

奇函数×偶函数，结果为奇函数的规律。

因此对于展开式中的常数项A0，

比较容易判断。

因其计算公式中被积分项就是f（t），

所以它的奇偶，就能够决定A0是否为零。

但是an和bn却不行，

因为这两个的运算过程中，

an需要用f（t）乘以cos（nωt），

bn需要用f（t）乘以sin（nωt）。

所以an、bn判断是否为零，情况要复杂一些。

2.半波对称

除了奇对称和偶对称外，还有一种半波对称。

这种对称函数或者对称波形可以分为两类:

1）奇谐波含数，是指f (t) = - f (t - T/2)，

或 f (t) = - f (t + T/2)。

奇谐波函数，导致其傅里叶级数展开式中，A0=0。

2）偶谐波函数。

是指f (t) = f (t - T/2)，或 f (t) = f (t + T/2)。

3）这两种半波对称波形图如图（a）和图（b）所示。

3.对称性与傅里叶级数中系数的关系

1）若f (t)为偶对称函数，且为奇谐波对称，

或者f (t)为奇对称函数，

则：a0=0。

这里特别指出，优一种函数如图（c）所示，既属于偶函数，也是奇谐对称，

只要f（t）函数在一个周期内的平均值为零，

则就会得到A0=0 。

2）若 f (t)为偶对称函数，

因为 f (t)×sin(nω1t) 为奇函数，

则bn=0。此时，f (t)的展开式中将不含正弦项；

3）若f (t)为奇对称函数，

因 f (t)×cos(nω1t) 为奇函数，

有an=0，则f (t)的展开式中不含余弦项;

4）若f (t)为奇谐波对称，展开式中，不含偶次谐波。

5）若f (t)为偶谐波对称，展开式中，不含奇次谐波。

3 频谱图

为了直观地表示各频率分量的相对大小，

可以将傅里叶级数的每一项

余弦函数的幅值和相角，用线段来表示 –称为频谱。

1.幅度频谱图

简称幅度谱，

各分量的幅度对于频率的关系图。

以ω= nω1为横坐标，

An为纵坐标，绘成An与ω的关系线图 ；

2. 相位频谱图，简称相位谱：

各分量的相位对频率的关系图 。

周期函数的频谱，都出现在基频ω1的整倍数的离散频率点上，

因而称为离散谱。

关于频谱图，我们来看一个例题8-2，

对于给定的已展开成傅里叶级数的函数f(t),

作出各频率的幅度频谱图。

解，把展开式中的各个谐波频率对应的幅值，

参照表1所示。

这样就可以在幅频坐标平面上，

在离散的频率点上，作出对应的幅度高度线，

从而形成图（a）所示的幅度频谱图。

我们发现，频谱图上，频率越高，

谐波分量的幅值越小。

这些线谱，其实是与该谐波的能量是有关的。

同学们可以在课后，参阅相关的资料去了解。

好的，本节就到这里，下节再见。