当前课程知识点:电路理论 > 03 电路定理 > 03-5 特勒根定理 > 03-5特勒根定理
同学们好,本节学习3.5特勒根定理
这个定理,是电路理论分析中最普遍的定理之一。
它可以应用到集总参数的二端元件所构成的任何电路,
可以不论元件的性质。
1、先认识具有相同拓扑结构的电路
我们把两个电路,支路数和结点数相同,
且对应的支路和结点的联结关系也相同的电网络,称为N网络和N拔网络。
如图(a),为N网络,图(b)为N拔网络。
两者互为拔网络。它们可以是同一个电网络的不同时刻,
也可以是一个网络中,某支路元件被替换后形成的新网络。
2.特勒根定理1
对于一个具有n个结点和b条支路的电路,如图(a)所示,
假定各支路电压和支路电流取关联参考方向,
并设支路电压和支路电流分别为(u1,u2,… ,ub),
(i1,i2,…,ib ),
则对任何时:
有:所有支路的电压与电流乘积代数和为零,
如表达式(a)所示。
该定理是功率守恒的具体体现,
表明了电路或电网络全部支路,
所吸收的功率之和恒等于零。
这个规律在基尔霍夫定律介绍时就提到过,
是自然界中普遍存在的规律之一,即能量守恒。
现实的电力系统工程中,如电厂发出来的电能,
用户都在瞬间能够用掉。
而在夜间或凌晨,用户用电量减少时,
人们会采用储能装置或者蓄水储能等方式,
把多余的电能以别的能量形式存储起来;
而当某时段用户用电量突增,
则又可以把储能装置中其他能,释放到电力系统中;
如:把储到高处的水,通过水轮发电机发电而注入到电力系统,
来实现电力系统中的功和能的平衡。
证明一下
如图(a)所示某网络的G图,
结点支路等编号已写明,每条支路中电流电压关联参向,
则对于图中的三个独立结点而言,
其电流的KCL为方程组(1)所示。
而对应的支路电压和结点电压,
可以由方程组(2)和方程组(3)来描述。
于是:∑uk×ik,展开后,
为六条支路的吸收功率相加,如表达式(4)所示,
把支路电压换成结点电压,如表达式(5)所示,
再通过合并同类项计算,得出表达式(6),
参看方程式(1)的结点KCL,
最终得出表达式(6)=0。证明完毕。
此证明可以推广到,
任何具有n结点b支路的电网络中。
3.特勒根定理2
如果有两个具有n个结点和b条支路的电路,
它们具有相同的拓扑图,但由内容不同的支路构成。
假定各支路电压和支路电流取关联参考方向,
并分别用(u1,u2,… ,ub),(i1,i2,…,ib ),
u1拔,u2拔,。。。Ub拔,i1拔,i2拔。。。ib拔,
来表示两电路中b条支路电压和支路电流,
则对任何时刻t ,有表达式(a)
或表达式(b)两种形式的结论。
这个定理2,说明一下
1)特勒根定理2的表达式,
不能再用吸收功率来描述每一个运算项的含义,
但是它具有功率之和的形式,
所以有时,又称为“似功率守恒定理”。
2)它也适用于一切集总电路,对支路元件性质无特别要求。
这个定理2 的证明,这里从略。
读者可以仿照证明特勒根定理1的方法,来证明它们。
看一个例题3-10,如图(a)图(b)所示两电路,其中N为纯电阻网络。
各抽出两对支路,
试证明这两对支路的电压电流遵循表达式(x)的规律。
证明如下:由特勒根定理2可知,方程组(a)成立。
而已知N为纯电阻网络,其中的电压电流遵循欧姆定律,
即N网络中uk=Rk×ik;
N拔网络中,uk拔=Rk×ik拔。
所以,特勒根定理2的表达式中,
抽出两对支路后,剩下的支路中从3到b,
可以写出表达式∑Rkik×ik拔和∑Rk×ik拔×ik。
如表达式(b)所示。
显然表达式(b)方程组中,这两项相等。
从而得以证明表达式(x)的结论,是正确的。
也可以把这个结论称为“特勒根定理3”。
看一个例题3-11图(a)所示电路,N为纯电阻构成网络。
电阻R=2Ω,us=6V时,测得电流i1=2A,u2=2V;
当R=4Ω,us=10V时,测得i1拔=3A,求u2拔。
解:由“特勒根定理3”的结论:
方程式(x)可知,在N不变的情况下,
只要找到(x)式中的8个量中7个量已知即可,
根据两支路的支路方程和已知条件,
我们逐一把7个量给找到。
分别如下:U1=6V;i1拔=3A;
u1拔=10V;i2=1A;u2=i2×R2;
(即第四、第五量已知或用函数表达式表示);
i2拔=u2拔/4(即第六、七变量也用表达式得出);
把这些量代入(x)式,可以得出u2拔=4V。
注意,在使用(x)式运算时,
要把电路每条支路的电压电流变量,取关联的参考方向!
再看一个例题3-11,
已知条件(1)和条件(2)求图(b)电路中u2'。
解:利用特勒根定理3,
找8个量中7个量已知或相关的函数关系式,如下
根据条件(1)得到u1=4V;
i1=2A;u2=2V;I2=u2/R2=1A;
而根据条件(2)得出:u1拔=u's-I'1×R1=4.8V,
i1拔=3A,i2拔=U2拔/R2=5/4U2拔;
把这些量代入特勒根定理3,注意关联的参考方向;
最后得到U2拔=1.6V=u2’为所求。
再看一个补充例题ex12,对于图示(a)和(b)所给条件,
求(b)图中的电压u1拔。
解:直接利用特勒根定理3,
找出对应的8个变量中尽量多的量。
本题已知条件,只能找到6个量有明确的值或表达式。
即图(a)和图(b)中所示。
还可以找到一个表达式,
u1拔=i1拔×2(N拔电路中欧姆定律)
那么直接代入这些量到特勒根定理3的等式,如(x')所示。
虽然(x’)式中只有六个变量,但是根据图(a)和图(b)
存在有开路和短路的特点,
会把表达式(x’)中部分量与零相乘。
因此,这种结构的电路,可以不必要找到7个量,
也是能够求出待求量的。
即(x')中,U2=0,
所以可以不关心I2拔的值,
故得出(x')表达式为(a)所示,
代入已知的5个量,则解答结果为u1拔=1V。
至此,我们学习了特勒根定理,
特别是“特勒根该定理3”,
发现其在分析含有黑匣子结构的电路时,
只要黑匣子中为线性无源纯电阻结构,
其应用解题还是非常有效的。
而本页的例题,更是为我们提供了一个思路,
即电路抽出的两对支路,
当有开路或短路情况时,其分析会较为简单。
好的本节就到这里,下节再见。
-00绪论
-01-1 电路模型与集总假设
--01-1作业
--讨论01
-01-2 电路变量
--01-2作业
-01-3 基尔霍夫定律
--01-3作业
-01-4 电路基本元件及方程
--01-4-1作业
--01-4-2作业
--01-4-3作业
--讨论02
--01-x自测题
-02-1 电阻电路的化简与等效
--02-1作业
-02-2 电阻△-Y等效变换
--02-2作业
-02-3 含受控源的等效电阻
--02-3等效电阻
--02-3作业
-02-4 电路的拓扑图和电路方程 的独立性
--02-4-1作业
--02-4-2作业
-02-5 支路法
--02-5作业
-02-6 网孔电流法和回路电流法
--02-6作业
-02-7 结点电压法
--02-7作业
--讨论03
-03-1 叠加定理
--03-1叠加定理
--03-1作业
-03-2 齐性定理和替代定理
--03-2作业
-03-3 戴维南定理
--03-3作业
-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理
--03-4作业
-03-5 特勒根定理
-03-6 互易定理与对偶原理
--3-56作业
-04-1 动态电路概念和换路定则
--04-1-1作业
--04-1-2作业
-04-2 一阶电路
--04-2作业
-04-3 二阶电路
--04-3作业
-04-4 阶跃与冲激
--04-4作业
-05-1 正弦量
--05-1作业
-05-2 正弦量的相量表示
--05-2作业
-05-3 电路定律和元件方程的相量形式
--05-3作业
-05-4 阻抗与导纳
--05-4-1作业
--05-4-2作业
-05-5 正弦稳态电路的相量法分析
--05-5作业
-05-6 正弦稳态交流电路的功率
--05-6作业
-06-1 三相电源
--06-1作业
-06-2 对称三相电路的线值与相值
--06-2作业
-06-3 对称三相电路一相法计算
--06-3作业
-06-4 不对称三相电路
--06-4作业
-06-5 三相电路功率
--06-5作业
--期中考试01
-07-1 耦合电感的电路模型
--7-1作业
-07-2 耦合电感的串并联
--7-2作业
-07-3 空心变压器
--7-3作业
-07-4 理想变压器
--7-4作业
-08-1 非正弦周期信号
--8-1作业
-08-2 有效值与平均功率
--8-2作业
-08-3 谐波分析法
--8-3作业
-09-1 网络函数与频率响应
--9-1作业
-09-2 串联谐振
--9-2作业
-09-3 并联谐振
--9-3作业
-10-1 拉普拉斯正变换
--10-1作业
-10-2 拉普拉斯反变换
--10-2作业
-10-3 运算模型
--10-3作业
-10-4 运算法
--10-4作业
-10-5 网络函数与冲激响应和卷积
--10-5-3课件
-11-1 无源线性二端口网络的方程和参数
--11-1作业
-11-1 二端口的端接
--11-2作业
-11-3 二端口的有效性
--11-3作业
-11-4 含理想运算放大器电路分析
--11-4作业
-12-1 非线性元件
--12-1作业
-12-2 非线性电阻电路的折线分析法和小信号分析法
--12-2-1作业
--12-2-2作业
-考试3
-电路分析基础考试-1