05-2-2相量表示-2在线视频

大家好，本节衔接上节的话题，接着讨论正弦量及其相量形式的计算问题。

2、同频率正弦量的四则运算，包括：

1）正弦量的加减运算。

看例题，两个同频率正弦量，

电压u1=6倍根号2cos（314t+30°）V和u2=4倍根号2cos（314t+60°）V。

计算两者相加后得到的正弦量为多少？

解之前，我们先分析一下：

若采用时域函数来分析的话，

则两个三角函数相加，计算量比较繁琐，

需要运用三角函数的积化和差或和差化积等烧脑公式，才能把时域结果求出。

才能把时域结果求出。

而我们把这两个量，

转换成相量形式，将会简单不少。如PPT所示，

这两个正弦量的相量形式，采用极坐标表达式，

分别为：6∠30°和4∠60°。

由于是加减运算，再把这两个量写成代数形式，

如式（1）所示，

则很容易得出一个复数的代数形式，再还原成极坐标形式，如式（2）所示。

最后再把相量形式（2）返回到时域形式，补全三要素即可。

如式（3）所示。可见正弦量加减运算，采用相量形式，还是相对简单的。

2）相量图运算，也适用于正弦量的加减运算。

同频率正弦量加、减运算，可以借助复平面的相量图来运算。

相量图运算，是正弦稳态分析中，一种重要的分析方法，

尤其在分析正弦量的相位差问题上，十分直观。

如：取相量I1=10∠60°和相量I2=22∠-150°，

求两种相加后的总电流I与I1的是超前还是滞后关系？

解：运用相量图，可以采用图（a）的方式，即平行四边形法则。

如图所示，先画出坐标系，再画出I1和I2相量，

然后运用平行四边形法则，取对角线即为两者加的结果。

显然，I超前I1。

这里作一个简单介绍：

在相量图中，所有的相量，都画成以坐标原点为起点的矢量，

规定它们都按照逆时针方向匀速地旋转，

假定以正实轴为参考。

这些逆时针旋转的相量，先转到正实轴的相量，超前后转到正实轴的相量。

这就是我们比较相量的超前和滞后的依据。

因此，图（a）中三个相量，按照逆时针旋转，

显然，先后到达到正实轴的顺序为：

先是I2，接着是I，最后才是I1。

于是我们就能判断，I2是超前I的，I超前I1的。

当然，两个相量相加，也可以采用多边形法则，

画首尾相连的多边形，如图（b）所示。

3）乘除运算

我们先看除运算，

设电压相量为U∠φu，电流相量为I∠φi。

则两者相除运算，得到的还是一个复数，

但是，这个复数不能再称为相量啦！

我们后面会学习它，称为阻抗。或全称为：复阻抗。如方程式（1）所示。

再看两个相量相乘运算

也取两个相量，设电压相量为U∠φu，

而电流相量取其共轭复数，即I∠-φi。

这时候，这两个相量相乘，得到的也是一个复数，

也不能称为相量！如公式（2）所示。

我们后面会学习它，称为复功率。

那么有同学就会问，为什么不用电压的相量乘以电流的相量的自身？

而是电流相量的共轭复数呢？

对于这个问题，我们将在介绍交流电路功率分析时，

再详细的介绍，这里先不分析。

4）正弦量的微分

我们知道一个正弦函数，在时域中微分，得到的结果还是一个正函数，

只是表达式由余弦的形式，变成了正弦形式。

与原正弦量相差一个系数ω和一个角度90°而已。

如图所示。那么这个正弦量，也可以在复数域中找一个相量来与之对应。

还找能到它与原正弦量的关系，如公式（1）所示。

这个公式表达的关系很有用，也是相量分析法分析正弦量的优点所在。

继而我们推广一下，对于一个无限可微分的正弦量，其n次微分，

对应到复数域中，相当于相量再乘以（jω）的n次方，如公式（2）所示。

5）正弦量的积分

我们知道一个正弦函数，在时域中不定积分，得到的结果还是一个正弦量，

表达式也由余弦形式，变成了正弦形式。

与原正弦量相差了一个系数1/ω，和一个角度-90°。

如。。。所示。

那么这个正弦量，也可以在复数域中找一个相量来与之对应，如PPT所示。

也找到它与原正弦量的关系，如公式（1）所示。

这个公式的关系也是很有用的，

也是相量法分析正弦量的另外一个优点所在。

我们也推广一下，对于一个无限可积分的正弦量，求其n重积分，

对应到复数域中，相当于相量再除以（jω）的n次方，如公式（2）所示。

看一个例题，例5-2：求两个正弦量i1和i2，相加后的正弦量的相量的形式，

以及i1积分后和I2微分后的相量形式。

解：先把不是用余弦形式表示的正弦量，转换成余弦函数形式表示。

如i2，转换为相量形式，应该为22∠-150°，i1正常，这里应该是10∠+60°。

两者相加的运算，我们采用代数形式，这里就不再重述了，

最终我们能得到结果：其相量形式为14.24∠-170.54°。

或者用正弦量形式表示为：方程式（1）所示。

令正弦量i1的微分的相量形式为K∠φ。

则原正弦量的相量，乘以jω即可得到。

最终得到3140∠150°。

同样另一个正弦量i2，积分后的相量形式为C∠φ，

由前面的结论知道，等于原正弦量的相量形式，除以jω即可；

最终结果为0.07∠-240°，把它转换到正常角度范围，变成C∠φ=0.0707∠120°。

再看一个例题，我们来分析在动态电路中，遇到正弦激励情况下，

全响应分析中求解特解的问题。

如图5-6所示，设电路的电感初始电流为I0。求合闸后，

电感电流的过渡过程。

解：这是一阶电路，它的过渡过程，可以用三要素的方法直接列写。

其中，时间常数、初始值、特解（终值解）只要解出，

就能代入三要素公式，写出待求量的解。

本题中，时间常数、电感电流的初值比较容易解。

我们用相量法来求解特解。

首先，写出合闸后电路的一阶电路方程。

如方程式（1）所示。

若把方程式（1）中待求量i和激励us都换成正弦量的相量形式，

则方程式（1）可以改写成方程式（2）。

其中激励已知，可以令其为相量：U∠φu。

对于方程式（2），就变成复数域下的代数方程，

显然，计算就比较简单。直接写出相量I的结果，

是一个复数，如式（3）所示。方程式（3），是待求量的相量形式，

其对应到时域的正弦量为方程式（4），

也是本题待求量的特解。

取时刻t=0，把特解在0时刻的值求出，如式（5）所示。

最后把特解表达式、

特解0时刻的值、电感的电流初值I0，以及时间常数τ等，

代入三要素公式，即求得该电流的过渡过程表达式，如式（6）所示。

显然，遇到有正弦量时，采用相量法，

化微分方程为代数方程，解法上要简单的多。

好的，本节就到这里，

希望大伙课后，多训练复数的四则运算，以及在四种形式中，数值之间的相互转换关系。

我们下节再见！