04-2-2一阶零输入响应与全响应在线视频

大家好！本节学习一阶电路的零状态响应。

先认识概念：

所谓零状态响应，是指储能元件的初始能量为零的电路，

在输入激励作用下产生的响应。

1、先研究RC电路的零状态响应。

如图所示，电路换路前，初值为uC（0-）=0。

在0时刻换路，合上开关。

则t>0后，电路遵循KVL方程。

uR=电阻上的电流与电阻的乘积，

i=Cduc/dt，最后整理的方程式（1），

属于一阶非齐次常系数微分方程。

对于它的解，我们可以采用数学方法，即uc等于特解+通解。

特解是指代入一个选取的量，能够满足方程（1）即可。

对于通解，则是对于方程（1）降为齐次方程的解。

我们仍然用前面零输入响应的方法，

令其通解uch=A乘上e的pt 形式，

显然，方程式（1）中的p=-1/RC.

关于特解和通解的特性，我们作一个详细的认识。

非齐次方程的特解Ucp，是与输入激励的变化规律有关的量，

1）若激励为直流恒定量时，

特解计算的方法是，即非齐次方程中微分项为零的求解。

2）若激励为周期性函数时，特解的计算方法，

则可以设定一个与激励相类似的函数待定量，

代入非齐次方程，然后化简整理，

通过系数比较等办法，把设定的待定值解出而得到的特解。

所以，特解属于与激励性质类似的量，

也称之为强制分量，或者稳态分量。

而通解Uch，则是非齐次方程降为齐次方程后的解。

注意，表达式（1）中的待定量A，

与前节的零输入响应中方程的通解表达式A，是有区别的。

它将会与初值有关，也与特解有关。

通解由电路结构和参数决定，

它真正反映了某分量的过渡过程实质，

所以这个通解，也被称为自由分量或暂态分量。

至此，我们把两个分量合成，才是零状态响应的完整解，如式（1）。

再由起始条件 uC (0+)=0 ，代入， 确定待求量A。

通过计算，得到A=-US。

于是，完整解为式（2）。

式（2）中有个稳定不变的量和一个指数衰减的量，

分别对应前面所说的强制分量和自由分量。

对于完整解式（2），用波形图表示，

如动画所示。

可见，电容电压也是一个单调变化的连续函数。

对于电流变量i，

则利用与uC的关系求得。

再作出电流变化波形图，可见，

显示该变量在过0时刻点，存在跃变现象。

再从能量再分配角度了解一下：

零状态响应中的能量关系：

t>0，整个过程中,

外激励提供总能量为式（1），

计算结果，是CUS的平方。

而电容充电到完成后，吸收或存储了的能量为

二分之一CUS的平方。

电阻在这个过程中消耗的能量，通过式（2）计算，

也是二分之一CUS的平方。

显然能量守恒。

电源对电容充电，有一半的电磁能量被电阻所消耗，

一半被电容以电场能形式保存。

效率为50%。

2、再研究RL电路的零状态响应。

由典型电路图1所示，

在0时刻换路。

电路原来零状态，即iL(0-) =0。求换路后电流iL(t)和电压uL(t）。

分析得到，以iL(t)为变量的一阶非齐次常微分方程，式（1）所示。

方程解法与前面类似，特解加通解。

利用零状态条件，待求量iL和uL，

并画出他们的波形图。

结论是：电流过0点连续，而电压过零点不连续。

总结与讨论

1、在零状态响应的解中，指数函数，指数是由电路参数决定，即为时间常数τ，

RC电路的τ=1/(RC)，RL电路的τ=L/R。

它们也与零输入响应一样，是反应过渡过程快或慢的指标，只是这里是充电而已。

2、零状态响应的解也存在对某量的比例性（或称齐次性）。

零状态响应的解与外激励（直流稳态外激励）成正比，

对稳态直流外激励具有齐次性。

3、τ 计算，

则与零输入响应一样。注意外激励对它没有影响。

再讨论一个外激励为非直流量的零状态特例。

了解此种情况下特解的求解过程。

如图（a）所示电路，零状态。

t=0时刻换路，但激励为一正弦交流量，如图（b）所示，

正弦量在t=0时刻还有角度φu。

显然，电路变量i的非齐次微分方程很容易建立。

而求解的结果也延续前面的方式，为特解加通解两个分量。

我们来分析方程式（1）的特解ip。

令其特解：ip=Imsin（ωt+θ）。

即与外激励是同频率的正弦量，有两个待定量：Im和θ。

把特解代入方程式（1），得方程式（2）。

解方程式（2），就可以得到结果（3）。

即求得两个待定量Im和θ，分别如（4）和式（5）。

这个求解过程，同学们可以在课后，利用高中数学中三角函数的积化和差公式，自行推导。

最后把全解写出来，为方程式（1）。

再把初始条件i（0+）=0，代入方程式（1），得出全解中待定量A，

A为式（2）表达，是一个定值，

是一个与激励正弦量的初始角度φu有关的定值。

最终写出，在正弦外激励作用下的RL电路的一阶零状态响应的电流表达式（3）。

在工程中，还是值得推敲和讨论的。

比如：1）假设在合闸（换路）时，

φu -θ=0，则A=0，

此时电流i中没有通解分量，

即电路不存在过渡过程，而直接进入与电源同样规律的正弦信号。

i=Imsinωt，只是电流与电压的相位不同而已。

2）当φu -θ=±90°，则A为±Im

此时，自由分量ih=±Im乘以指数衰减函数，

即ih=±Ime的（-t/τ），

再加上特解分量，形成电流的解为式（3）所示。

我们取式（1）中，φu –θ=-90°，

得电流i为式（2）。把式（2）中两个量的波形图分别画出来，

如图1所示。黑色线条为特解分量，蓝色线条为通解（自由）分量。

再把两者相加后的结果也画出来，合成后为红色线条。

可见，在特解分量T/2时刻，特解分量出现最大值，

而通解分量此时衰减较少，

分别对应在图中的AB两点。

两点值相加为图中的C点，

显然，C点的电流值较大，

略小于2倍最大电流值。

这种现象，往往会对用户造成较大的损失。

因此，电力系统在检修后，再送电的时候，是需要选择合适的时机来合闸操作！

即选择φu –θ=0为最佳。

好的，零状态响应就分析到这里。