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04-4-1阶跃响应与冲激响应-1课程教案、知识点、字幕

同学们好,本节学习阶跃响应和冲激响应。

我们在前面学习动态电路的分析时,

当直流电源激励时,发现求解的动态电路变量,

通常是一个负指数函数的形式。

随着时间的推移,这些指数函数都能够收敛,

属于正常的函数。

本节将学习两个奇异函数,它们与直流激励有所不同,

也可能在时域范围内,不收敛。

但是这两个奇异函数,应用很广,十分重要。

4.4.1阶跃函数和冲激函数

一、单位阶跃函数

1、定义:如表达式(a)所示。它的时域波形图如图(a)所示。

非单位阶跃函数,可以见图(a)中,非单位阶跃函数的波形。

它的第一个重要作用:是可以省略电路的开关S,

并能够把动态电路,换路后的结构,描述清楚。

如图(b)可以用图(b’)来描述。

2、阶跃函数的延时函数

如表达式(c)所示,其波形图如图(c)所示。

作用2,由阶跃函数及其线性组合可以描述更加复杂的信号或波形。

如补充例题1,图(a)为一个脉冲波形函数。

要用时域函数来描述的话,通常用表达式(1)分段形式来表示,

但是利用阶跃函数的延时性,可以通过图(b)的曲线相加获得。

因此,可以把表达式(1)描述成一个阶跃函数及其相关的延时函数的组合,

即(x)表达式所示。

再看补充例题2:对于图(c),

其波形图函数表达式为(2)所示,

利用阶跃函数及其组合,可以描述成表达式(y)。

二、单位冲激函数

1、单位脉冲函数的高度问题,如图1所示。

某脉冲函数的时间长度为△,高度为1/△,

即其面积为1,若保持面积为1不变,

其时间宽度越来越小,则高度越来越高。

当时间宽度为0+-0-,

为无穷小时,即△’,则高度为1/△’,将趋向于无穷大,

我们用δ来表示,如图2所示。

2、定义:单位冲激函数为表达式(1)所示。

再配合表达式(2)和表达式(3),就能够完整描述这个奇异函数δ(t)。

当非单位冲激函数时,可以在前面乘以

一个常系数k,则其对应的波形如图2‘所示。

3、延时的单位冲激函数δ(t-t0),如表达式(4)所示,

描述的是一个延时的单位冲激函数,可以用图3来表示。

4、作用:冲激函数的筛分性。

如:某函数f(t)乘以δ(t),之后再在全时域中进行积分,

如表达式(x)所示。

因δ(t),仅在时刻t=0时有值,

因此可以得到如表达式(5)所示,

筛选出t=0时刻的值。

也可以通过延时,筛出某时刻t=t0的值。

函数的筛分性:在现实中很有用。

如监控设备中,对于异常现象进行摄录和拍照等,

动态心电图中,记录异常数据时,进行存储等。

这个函数的构成的表达式(x),

在信号处理等课程中十分有用,

以后在相关课程中,大伙会深入学习。

讨论一下:电路分析中,这个冲激函数,有吗?

实例:如图1中,给理想电容器充电,

设其初始零状态,

在t=0时开关S合上,

分析电容中电流iC。

则其电流就是一个冲激量,iC=C×US×δ(t)。

因为根据KVL规律,由换路后,电容电压等于电源电压,即电容电压出现非连续跃变。

而电容电压的表达式,由换路定则可知,为(x)的表达式。

根据零状态初始值的条件,得到表达式(y)

即ic在0-到0+区间积分为常量。从而得到:iC=CUSδ(t),是一个冲激量。

也可以这样理解冲激电流的含义

如图(2)所示,一阶阻容零状态电路,其零状态响应uc的解为表达式(a)所示。

而ic是表达式(b)所示,其波形图如图3所示。

当电阻R越来越小,电流的高度将越来越越高,持续的时间越来越短。

电阻趋于零时,电流表现为一个冲激量。

单位阶跃函数和(单位)冲激函数的关系

1)、数学运算的关系

ε(t)是δ(t)的积分;反过来,δ(t)是ε(t)的微分。

2)、两者的时间段联系

ε(t)与δ(t)合在一起,构成了全时域区间。

4.4.2阶跃响应

电路的激励是阶跃函数,储能元件初始值

不含能量的零状态响应,称为阶跃响应。

通常用s(t)表示。

求解方法,与直流激励加开关情况下的零状态响应,分析相同。

当电路的激励是幅度为k倍的阶跃函数,

则根据零状态响应的比例性

可知电路的零状态响应为 k倍的s (t)。

即:齐性性(比例性);

由于非时变电路的电路(元件)参数不随时间变化,

则在延迟的阶跃信号作用下,其响应,应为s(t–t0)。

即非时变性(或定常性)。

先来分析一阶电路在阶跃函数激励下的阶跃响应

1)响应对激励的比例性或齐性性质

如图(a),求一阶rc电路的单位阶跃响应uc和i。

可以比较方便的得到图(b)所示,uc的解和波形图,

也可以得到i的解和波形图,如图(c)所示。

而当激励为K倍阶跃函数时,如图a’,

得出uc’响应如图b’所示,

i’的响应如图c’所示。

这就是零状态响应的比例性,或齐性性质。

2)激励延时响应的非时变性质(或时不变性)

如图(a)所示,在延时的激励下,

求阶跃响应uc和ic。

图(a)中,电路激励是在t=t0 开始作用的,因此响应是从t0才开始,

线性电路参数的非时变性,也决定了其响应的非时变性,

因此,响应uc为表达式(1)所示。

注意uc中指数函数中的t,

应该与激励的延时函数一致,即t-t0。

这就是延时激励的响应,(也)具有延时特性,即响应的非时变性。

同理,电容电流也具备延时的非时变性,

写成表达式(2)的形式。

通过表达式(2)和表达式(3),

初步了解:时变性和非时变性的区别。

看一个例题,4-8,如图(a)电路,

激励u是如图(b)所示。当t大于等于0后,

分析该电路的零状态响应i(t),并画出i(t)波形图。

解:方法一、分时间段来分析。

第一段时间:指 t<0 时,i =0;

第二段时间:0 ≤ t ≤2s时,

则us=10 V,

电路为零状态响应,用“三要素”法求解。

列出三要素:初值,终值和时间常数。则得出解为表达式(1)所示。

则得出,解为表达式(1)所示。

(第三段时间)当 t ≥2s时,us= 0,电路为零输入响应。

先求来t=2s时刻时的电流值,得i(2+)=6.32A。

后续响应为:表达式(2) 所示。把

把三段时间列在一起,可以写成(3)的形式,

图(c)为i的波形图。

可见,用分段来分析,绘画波形图比较容易,也较清晰明了。

方法2、可以用零状态响应的齐性性质和非时变性质,来表示该电路的响应。

首先:由图(b)的脉冲,

写出us,用阶跃函数组合形式描述,

如(x)式子所示。

再由原电路图(a)可知,当激励源为单位阶跃函数时,

其电流的零状态响应,为表达式(a)的形式。

因此根据零状态响应的比例性和非时变性,

可得 ,该电路在脉冲US作用下,零状态响应,

可以用一个式子描述,如表达式(b)所示。

我们来比较一下,方法1得出的结果表达式(3)和方法2得出的结果表达式(2),

是完全相同的,大伙可以课下自行分析一下。

好的,本节就到这里,我们下节再见!

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00绪论

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-01-1 电路模型与集总假设

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-01-2 电路变量

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-01-3 基尔霍夫定律

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--01-4-3作业

--讨论02

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-02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1 电阻电路的化简与等效

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--02-2电阻Y-△连接的等效变换

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--02-3等效电阻

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--02-6-1网孔电流法

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--02-7-1结点电压法-1

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--讨论03

03 电路定理

-03-1 叠加定理

--03-1叠加定理

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--03-2齐性定理和替代定理

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--03-3-2戴维南定理-2

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-03-6 互易定理与对偶原理

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考试3

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