当前课程知识点:电路理论 > 04 动态电路 > 04-4 阶跃与冲激 > 04-4-1阶跃响应与冲激响应-1
同学们好,本节学习阶跃响应和冲激响应。
我们在前面学习动态电路的分析时,
当直流电源激励时,发现求解的动态电路变量,
通常是一个负指数函数的形式。
随着时间的推移,这些指数函数都能够收敛,
属于正常的函数。
本节将学习两个奇异函数,它们与直流激励有所不同,
也可能在时域范围内,不收敛。
但是这两个奇异函数,应用很广,十分重要。
4.4.1阶跃函数和冲激函数
一、单位阶跃函数
1、定义:如表达式(a)所示。它的时域波形图如图(a)所示。
非单位阶跃函数,可以见图(a)中,非单位阶跃函数的波形。
它的第一个重要作用:是可以省略电路的开关S,
并能够把动态电路,换路后的结构,描述清楚。
如图(b)可以用图(b’)来描述。
2、阶跃函数的延时函数
如表达式(c)所示,其波形图如图(c)所示。
作用2,由阶跃函数及其线性组合可以描述更加复杂的信号或波形。
如补充例题1,图(a)为一个脉冲波形函数。
要用时域函数来描述的话,通常用表达式(1)分段形式来表示,
但是利用阶跃函数的延时性,可以通过图(b)的曲线相加获得。
因此,可以把表达式(1)描述成一个阶跃函数及其相关的延时函数的组合,
即(x)表达式所示。
再看补充例题2:对于图(c),
其波形图函数表达式为(2)所示,
利用阶跃函数及其组合,可以描述成表达式(y)。
二、单位冲激函数
1、单位脉冲函数的高度问题,如图1所示。
某脉冲函数的时间长度为△,高度为1/△,
即其面积为1,若保持面积为1不变,
其时间宽度越来越小,则高度越来越高。
当时间宽度为0+-0-,
为无穷小时,即△’,则高度为1/△’,将趋向于无穷大,
我们用δ来表示,如图2所示。
2、定义:单位冲激函数为表达式(1)所示。
再配合表达式(2)和表达式(3),就能够完整描述这个奇异函数δ(t)。
当非单位冲激函数时,可以在前面乘以
一个常系数k,则其对应的波形如图2‘所示。
3、延时的单位冲激函数δ(t-t0),如表达式(4)所示,
描述的是一个延时的单位冲激函数,可以用图3来表示。
4、作用:冲激函数的筛分性。
如:某函数f(t)乘以δ(t),之后再在全时域中进行积分,
如表达式(x)所示。
因δ(t),仅在时刻t=0时有值,
因此可以得到如表达式(5)所示,
筛选出t=0时刻的值。
也可以通过延时,筛出某时刻t=t0的值。
函数的筛分性:在现实中很有用。
如监控设备中,对于异常现象进行摄录和拍照等,
动态心电图中,记录异常数据时,进行存储等。
这个函数的构成的表达式(x),
在信号处理等课程中十分有用,
以后在相关课程中,大伙会深入学习。
讨论一下:电路分析中,这个冲激函数,有吗?
实例:如图1中,给理想电容器充电,
设其初始零状态,
在t=0时开关S合上,
分析电容中电流iC。
则其电流就是一个冲激量,iC=C×US×δ(t)。
因为根据KVL规律,由换路后,电容电压等于电源电压,即电容电压出现非连续跃变。
而电容电压的表达式,由换路定则可知,为(x)的表达式。
根据零状态初始值的条件,得到表达式(y)
即ic在0-到0+区间积分为常量。从而得到:iC=CUSδ(t),是一个冲激量。
也可以这样理解冲激电流的含义
如图(2)所示,一阶阻容零状态电路,其零状态响应uc的解为表达式(a)所示。
而ic是表达式(b)所示,其波形图如图3所示。
当电阻R越来越小,电流的高度将越来越越高,持续的时间越来越短。
电阻趋于零时,电流表现为一个冲激量。
单位阶跃函数和(单位)冲激函数的关系
1)、数学运算的关系
ε(t)是δ(t)的积分;反过来,δ(t)是ε(t)的微分。
2)、两者的时间段联系
ε(t)与δ(t)合在一起,构成了全时域区间。
4.4.2阶跃响应
电路的激励是阶跃函数,储能元件初始值
不含能量的零状态响应,称为阶跃响应。
通常用s(t)表示。
求解方法,与直流激励加开关情况下的零状态响应,分析相同。
当电路的激励是幅度为k倍的阶跃函数,
则根据零状态响应的比例性
可知电路的零状态响应为 k倍的s (t)。
即:齐性性(比例性);
由于非时变电路的电路(元件)参数不随时间变化,
则在延迟的阶跃信号作用下,其响应,应为s(t–t0)。
即非时变性(或定常性)。
先来分析一阶电路在阶跃函数激励下的阶跃响应
1)响应对激励的比例性或齐性性质
如图(a),求一阶rc电路的单位阶跃响应uc和i。
可以比较方便的得到图(b)所示,uc的解和波形图,
也可以得到i的解和波形图,如图(c)所示。
而当激励为K倍阶跃函数时,如图a’,
得出uc’响应如图b’所示,
i’的响应如图c’所示。
这就是零状态响应的比例性,或齐性性质。
2)激励延时响应的非时变性质(或时不变性)
如图(a)所示,在延时的激励下,
求阶跃响应uc和ic。
图(a)中,电路激励是在t=t0 开始作用的,因此响应是从t0才开始,
线性电路参数的非时变性,也决定了其响应的非时变性,
因此,响应uc为表达式(1)所示。
注意uc中指数函数中的t,
应该与激励的延时函数一致,即t-t0。
这就是延时激励的响应,(也)具有延时特性,即响应的非时变性。
同理,电容电流也具备延时的非时变性,
写成表达式(2)的形式。
通过表达式(2)和表达式(3),
初步了解:时变性和非时变性的区别。
看一个例题,4-8,如图(a)电路,
激励u是如图(b)所示。当t大于等于0后,
分析该电路的零状态响应i(t),并画出i(t)波形图。
解:方法一、分时间段来分析。
第一段时间:指 t<0 时,i =0;
第二段时间:0 ≤ t ≤2s时,
则us=10 V,
电路为零状态响应,用“三要素”法求解。
列出三要素:初值,终值和时间常数。则得出解为表达式(1)所示。
则得出,解为表达式(1)所示。
(第三段时间)当 t ≥2s时,us= 0,电路为零输入响应。
先求来t=2s时刻时的电流值,得i(2+)=6.32A。
后续响应为:表达式(2) 所示。把
把三段时间列在一起,可以写成(3)的形式,
图(c)为i的波形图。
可见,用分段来分析,绘画波形图比较容易,也较清晰明了。
方法2、可以用零状态响应的齐性性质和非时变性质,来表示该电路的响应。
首先:由图(b)的脉冲,
写出us,用阶跃函数组合形式描述,
如(x)式子所示。
再由原电路图(a)可知,当激励源为单位阶跃函数时,
其电流的零状态响应,为表达式(a)的形式。
因此根据零状态响应的比例性和非时变性,
可得 ,该电路在脉冲US作用下,零状态响应,
可以用一个式子描述,如表达式(b)所示。
我们来比较一下,方法1得出的结果表达式(3)和方法2得出的结果表达式(2),
是完全相同的,大伙可以课下自行分析一下。
好的,本节就到这里,我们下节再见!
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