05-4 阻抗与导纳慕课视频播放-电路理论-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们好！本节学习阻抗和导纳及其计算

5.4.1 阻抗的定义

对于一个无源线性二端网络，

如图（a）所示，在正弦稳态交流电路中，

其端口的电流和电压的相量分别为I和U。

则阻抗的定义为：Z=相量的U除以相量的I。

是两个复数的除运算。

得出的结果可以用表达式（1）描述，

简化成一个阻抗元件，如图（b）所示；

也可以用表达式（2）描述，形成一个如图（c）所示的阻抗三角形。

阻抗Z是一个复数，又称复阻抗，其单位为欧姆（Ω）。

阻抗的模：即|z|等于电压的有效值除以电流的有效值。

阻抗的角，是电压与电流的相位差。

（这里要注意：是同频率的电压和电流变量的相位差）

由阻抗Z的模型和阻抗三角形，可以得到阻抗的表达式中|Z|，X，R，φ等量的关系，

见方程组（3）和方程组（4）。

思考一下：阻抗Z与电压相量成正比、与电流相量成反比吗？

再来看看前面学习的单个元件的阻抗。

1、电阻元件：ZR=R；2、电感元件：ZL=jωL；

3、电容元件：ZC=1/jωC也可以=（-1/ωC）×j；

我们来认识和理解关于电感的阻抗，

其纯虚数的系数XL称为电感的感抗，单位是Ω；

XL=U/Iω也=ω×L也=2πfL。

该系数是有效值U和有效值I的除，

要注意书写中常见的错误。

其物理意义：

1）表示电感元件在正弦稳态交流电路中的限制电流的能力；

　2）感抗是和角频率成正比的。

（若电路频率为变量，则感抗是频率变量的函数：

当直流电路中，频率为0时，电感相当于短路；

当交流电路中频率为无穷大时，则电感的感抗也为无穷大，相当于开路）。

3）单频交流电路中，频率为定值，因此感抗也是一个定值。

4）由于电感的感抗为正的纯虚数，使得电感的电流滞后电压相位90°。

同样，我们认识和理解关于电容的阻抗：

其纯虚数的系数XC称为电容的容抗，单位也是Ω。

XC=-1/ωC=-1/2πfC。

该系数，是有效值U和有效值I相除以后，前面加一个负号所形成的，

（也有教材定义XC=+1/ωC，大家可以课下参照相关教材，自行去理解）

这里也提示一下，XC常见的书写出错的形式。

其物理意义：

1）表示电容元件，在正弦稳态交流电路中的限制电流的能力；

2）容抗的绝对值和角频率成反比。

（若电路频率为变量，则容抗的绝对值是频率变量的函数

当直流电路时，频率为0，电容相当于开路；当频率为无穷大时，则电容的容抗趋近0，相当于短路）;

3)单频交流电路中，频率为定值，因此容抗也是定值！

4）由于电容的容抗为负的纯虚数，使得电容的电流超前电压相位90°。

无源一端口，通常构成的元件不止一个，

因此阻抗的计算，应该掌握。

看例题ex1，对于图（a）由RLC串联组成的一端口，请计算其端口的阻抗。

解：把图（a）转换成相量模型，如图（b）所示。

分别计算L和C的感抗和容抗，

得到感抗jωL=j56.5Ω；容抗-j/ωC=-j26.5Ω。

于是，端口的总阻抗为端口电压除以端口电流，得到z=R+jωL-j/ωC=15+j30Ω，

写成极坐标形式为33.54∠63.4°Ω。

再介绍一个阻抗的感性、容性、阻性的概念：

一个阻抗，为纯电阻时，称为阻性。

当阻抗Z=R+jX，R和X都大于零，则称该阻抗为感性阻抗；

若R大于零，X小于零，则称阻抗为容性阻抗。

因此，本题就很容易得出，计算的结果为感性阻抗的结论。

再来学习导纳的概念

5.4.2 导纳

对于一个无源一端口网络，导纳的定义是：

端口的电流相量除以端口电压相量，也等于该端口阻抗的倒数。

如方程式（1）所示。也可以通过运算，得到如方程式（2）所表示的表达式。

它也是一个复数，实部G是电导分量；虚部B称为电纳分量；

导纳的单位是西门子（S），其模和角，分别称导纳的模和导纳的角。

若B大于零，导纳为容性；B小于零，导纳为感性。

导纳复数，也可以用三角形描述，其模和三角形的两个直角边对应的关系，如公式（3）和公式（4）所示。

单个元件的导纳

1、电阻元件：YR=G;

2、电感元件：YL=1/jωL=j(-1/ωL)=jBL；

注意BL是一个负值，称为感纳。

3、电容元件：YC=jωC=jBC；BC称为容纳。

看一个典型的RLC并联时，端口导纳的求解。

如图（a）所示，先转换成相量模型，如图（b）所示。

根据电流电压变量的参考方向，列写端口KCL方程和支路方程，如方程式（1）所示，

最终得到该端口的导纳为G+jB。

是一个与激励和响应的大小都无关的量（要注意：这里是针对单频正弦稳态交流电路而言的）。

5.4.3阻抗与导纳的关系及等效阻抗

1、关系：

两者是对同一个无源一端口而言，互为倒数，即：Z=1/Y。

要注意这个表达式，含有两个分量公式。分别为|Y|×|Z|=1，以及角度φz+φy=0。

2、注意：一个阻抗和导纳互相求解的时候，

不要误以为Z=R+jX的倒数，是Y=1/R+j/X。

3、阻抗的串并联等效

1）串联：

与直流电路电阻的串联等效方式类似，阻抗的串联等效计算公式为方程式（1），

也能够起到分压作用，如分压公式（3）。

2）并联：

与直流电路电阻的并联等效方式类似，阻抗的并联等效公式为方程式（2），

也能够起到分流的作用，如分流公式（4）。

看一个例题，已知图中三个阻抗或导纳元件混联。

端口的电压为正弦交流稳态电压源，电压有效值为220V。试分析三条支路上的电流。

解：先计算端口总阻抗，为Z2和Y3的倒数先并联，再串联Z1。

计算得阻抗Z=20∠53.13°Ω。

再令端口的电压为220∠0°V，

则计算端口总电流I=11∠-53.13°A。

　I2可以用分流公式，如公式（1），代入各个数值，

计算得的结果为11∠20.7°A。

然后采用分流公式或KCL，得出电流I3为13∠-106.2°A。

可以看出，计算的原理与直流电路相同，只是计算中，参与计算的各个量都是复数而已。

同时计算结果也十分的有趣：

仅看有效值的话，会发现，总电流的有效值，与分流的有效值，

有点特别，如本题中，总电流的有效值为11A，

分电流，有效值一个为11A，另外一个却是13A。

4、阻抗的三角形和星形等效变换

阻抗的三角形和星形等效变换，与直流电阻电路运算规律是一样的。

比如已知三角形的阻抗，求三个星形阻抗；

则为相邻三角形阻抗相乘除以三角形三个阻抗和，

等于该点对应的星形阻抗。

若已知星形阻抗，求三角形阻抗；可以用相邻两点导纳相乘除以三个导纳的和，

来获得两点间的三角形导纳。

好的，本节就到这里，下节再见。

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