05-3基尔霍夫 定律的相量形式在线视频

同学们好！

本节学习基尔霍夫电路定律和RLC元件方程的相量形式。

1.基尔霍夫电流电压定律的相量形式

这两个定律，在复数域中，

可以直接把时域中的电压和电流变成对应的相量形式即可。

即：相量形式的Σu=0和Σi=0.

对于这些电流或电压的计算，就是复数的计算，

按照复数规则，几个复数相加等于零，

应该是实部相加后等于零，虚部相加后也是等于零。

看一个例题，比如有三个电流流入图（a）中的结点1。

试分析这三个电流相加后的结果。

我们来解：1）用时域的形式来进行运算

这三个电流表达式相加，分别把后两个电流用cos函数展开，

并列写出来。

再通过正弦函数cos120°、sin120°、等等都算出来。

逐步运算，得到（1）方程式，

最终得到的结果为零。

2）用相量形式运算，则把三个电流写出相量形式，

分别为10∠0°，10∠-120°，和10∠+120°，

于是，这三个相量相加，就是三个复数相加。

最终结果为0，实部和虚部均都是0。

再来看一个 KVL运用的例题，如图（a）所示，三个串联元件，

两端电压均已知，求端口的总电压。

这个问题为基尔霍夫电压定律的运用。

前面分析已经强调过，采用复数运算，要比三角函数简单。

因此，这里直接写出三个电压的相量形式。

分别为：80∠0°V，240∠-90°V，180∠90°V。

则根据图中的参考方向，

由KVL规律，得端口电压的相量U

等于UA+UB+UC

这三个相量（其实，就是三个复数）相加

得到的复数为80-j60，

我们习惯把电压、电流这两个变量的相量形式，写成极坐标的表达式，

因此，（80-j60），等于100∠-36.9°V。

由于题目要求的u为小写，即正弦量，

因此最后把相量形式100∠-36.9°V

对应的正弦量写出即可。如方程式（1）所示。

在采用相量法计算时，几个量相加等于零，

不要误认为，是几个量的有效值相加为零。

相量表示的每一个量，都是一个二维的量。

至此，我们发现，用相量法进行电路分析，

其中电路变量（待求量）的维度扩展了，即每一个量都应该由两个参数才能确定。

本章 分析的电路变量，是在单一频率的情况下，

且整个电路都是在相同频率的情况下，进行的分析，

因此，称为单频正弦交流稳态电路。

或简称正弦交流稳态电路。

把常见的电路元件，从时域转换到相量域，

并掌握其相应的变化规律。

1、电阻元件。时域的电阻元件模型如左侧的图。

电压电流关系，由欧姆定律所约束。

当电流为正弦量时，其电压根据欧姆定律，得到为方程（2）。

两个正弦量相位差为零，见图（1）所示

把电流方程式（1）和电压方程式（2）

转换成相量形式，

可以根据方程式（5），画出其在相量域的电路模型，如右图所示。

对于方程式（5），我们要记住，是两个参量等式。

即：UR=IR和φu=φi。

也可以把方程式（5）的两个相量，画出相量图，如图（2）所示。

显然，电阻从时域到相量域，并没有变化，变化的是电流和电压。

2.电感元件。左侧为其时域模型，

其电压和电流遵循的规律， 选择微分公式，

若电流是正弦量的话，则电压也为正弦量，

且与电流同频率。按照同频率比较相位差分析，

电感元件的电流滞后电压90°，

或者说两者初相位垂直。

而把它的时域正弦量电流和电压对应到相量域中，

得到相量形式为公式（1）。

同理，公式（1）也由两个参量关系，

即有效值关系和相位（差）关系。

把方程式（1），作出相量模型，

也可以把方程（1）中的电压、电流相量作相量图。

如右侧图所示。

可看到，电感在相量域中，其形式发生了些变化，

变成了jωL。

当电路的频率为定值时，则电感的参数也是一个定值。

则在相量域中，电感的电流和电压的关系，也是线性关系。

关于电感元件的相量模型，我们要抓住重点，

即有效值的公式U=IωL，

和相位差的关系：电压超前电流90°。

3.电容元件：左侧为其时域模型，

其电流和电压，遵循的规律，也选择微分的表达式，

若电压是正弦量的话，则电流也为正弦量，且与电压同频率。

按照同频率比较相位差，电容元件的电流超前电压90°，

或者说两者初相位，垂直或正交。

而把它的时域正弦量的电流和电压，对应到相量域中，

得到相量形式，为公式（1）。

同理，公式（1）也有两个参量关系，即有效值关系和相位差关系。

把方程（1）作出相量模型，也可以把方程（1）中的电压和电流作相量图。如右侧图所示。

也可以把方程（1）中的电压和电流作相量图，如右侧图所示。

这里可以看到，电容在相量域中，其形式也发生了变化，变成了1/jωC。

当电路的频率为定值，则电容的参数也是一个定值。

在相量域中，电容的电流和电压也是线性关系。

关于电容元件的相量模型，我们重点要抓住两点，即

有效值的公式I=ωCU

和相位差的关系，电流超前电压90°。

看一个例题5-7，正弦交流稳态电路中，

电流表、电压表测量的数值，都是有效值。如图（a）中，

两个电压表的读数分别为30V和60V，

让我们分析，总电源的电压的有效值为多少？

解：若采用图（b）的相量模型，

则可以根据电路的串联特性，

设置电流的相量为I∠0°。

于是根据电阻电压与电流是同相的条件，得电阻的电压为30∠0°，

电感电压为60∠90°。

两者相量相加，得到总电源的电压相量形式为：

67.08∠63.43°V。

最后求得电源的电压有效值为：67.08V。

再看该例题的第二部分，串联三个元件，RLC。

个电压表读数分别为：15V，80V，100V。

最后求总电源电压的有效值。

解：与前面的解题思路一样，取串联电路的

电流相量为I∠0°A。根据条件，知道电阻、电感、电容电压的相量分别为：

15∠0°V，80∠+90°V和100∠-90°V。

则三者相加，得到总电源电压相量为：25∠-53.13°V，

最终取有效值为25V。

好的，本节就到这里，我们下节再见。