04-3-1二阶电路分析-1在线视频

同学们好！本节学习二阶电路的分析。

引言：二阶电路的动态分析，

是指在换路后，有两个独立的动态元件，完成的过渡过程。

在二阶电路的分析中，三要素法已不适用了。

二阶电路中，有两个独立的动态元件，

列写的电路方程，是二阶常系数微分方程。

求解较为复杂，

要用到二阶微分方程的求解运算知识。

二阶电路需要两个初始条件，

它们均由储能元件的初始值所决定。

本节对于二阶电路的分析，

采用的是时域范围内的经典分析法，

即列写微分方程求解法。

经典法，按照响应的类型分为：

零状态响应、零输入响应和全响应。

4.3.1 零输入响应

以RLC串联为例

1、典型的电路与标准待的求量

已知图（a）电路，uc(0-)=U0,

i（0-）=0，求开关S闭合后 uC(t) , i(t) , uL(t) 。

先分析一下：该电路有两个动态元件

电感和电容，且都独立，

即它们未出现，被电压源并联或电流源串联的情况。

求电路中电容电压或电感电流，都属于标准的待求量。

至于电感的电压，

则可以通过求出电感电流后，再寻求它与电流的关系来求得。

所以二阶电路中，求解标准变量，还是与一阶电路一样，

先分析主要的，还是电容电压uc和电感电流iL。

分析的具体过程如下：

第一步：把标准待求量的微分方程列写出来；

以电容电压uC为例，S闭合后，

可以通过KCL、KVL、VCR三种关系，

得到图（a）电路中三个方程式（1）（2）（3），

联立这三个方程，消除uL,i等变量，

得到二阶常系数微分方程，见表达式（x）。

该方程为齐次方程，

可以得到其特征方程为表达式（y）所示。

第二步：开始对列写好的微分方程（x）表达式，

进行求解。

先解其特征方程(y)的两个根，为p1和p2。

然后得出二阶常系数，微分方程（x）的解的表达式为：（z）的形式。

（z）表达式为一个含有两个待定系数的时域量，

待定系数A1和A2。

这两个量还需要确定出来。

这需要联系电路的状态来确定。

由于本电路为零输入响应，

电感电容的初值是给定的，

即：1）、uC(0+)=uC(0_)=U0；

2）、iL（0+）=iL（0-）=I0；

因电路串联，从而得到iL=-Cdu/dt，

于是du/dt在0+时刻的值为-I0/C。

有了这两个初始条件，

就可以把表达式（z）中的uC(t)，

在时刻t=0时代入，

再把uC（t）对时间求导一次，代入。

于是得到方程组（a）。

本例题中取U0≠0，I0=0，

因此可以把待定系数A1、A2都求出，

如表达式（b）和表达式（c）所示。

至此，我们就解出了uc(t)的完整的解，

如表达式（z）。

而表达式（z）会因为p1、p2的不同表现形式，

有更具体的描述，

我们下面来逐一讲解。

特征方程的根（即p1p2的特性），将决定响应的特性。

对于特征方程（y）表达式，

其根p1、p2，可由一元二次方程求得，

即p1p2=-R/2L±根号下2L分支R的平方减去LC分之一。

取根号下的量R平方C平方减4LC等于△，则△的结果大于、等于或小于零时，

会得到不同的特征根：

1）△>0，即R>2倍根号下L比C，

p1p2均为负的实根，且不相等，

则uc的具体解为表达式（1）所示，

其中待定的系数为A1和A1；

2）△=0，即R=2倍根号下L比C，

p1p2为相等的负实根。

令其等于p，则uc的具体解为表达式（2）所示，

其中待定系数为A3和A4。

3）△<0，即R<2倍根号下L比C，p1p2为一对共轭复数根。

则uc的具体解为表达式（3）所示，

其中待定系数为A5和A6。

由于共轭复数根的两个量是由RLC决定的，

即：p1p2=-δ±jω

（其中：δ=R/2L，

ω=LC分支一减去R除以2L括号平方后，开根号获得），

因此可以将表达式（3），通过欧拉公式改写为表达式（3’ ）的形式，

这时候，待定系数转换为K和角度θ。

我们来研究一下，这几种情况下，二阶动态零输入响应的波形图，

与一阶响应的区别与联系。

一、Δ>0，即不相等负实根情况下：

对于图（a）电路的三个待求量的解及其时域波形图。

先看它们的解的函数表达式：

根据初始条件uc（0-）和i（0-）代入解答形式（a）中，

得出A1、A2待定量为具体的数值，如表达式（m）和表达式（n）所示。

就可以将（a）的结果，具体表现为表达式（x）的形式。

而另外两个待求量，如：i（t）可以利用其与u成的关系获得，

为表达式（y）所示；

uL的结果，是对i（t）的再次求时间微分，

即得到的结果，为（z）所示。

有了这三个待求量的具体函数，

我们可以通过作波形图，来直观地研究其响应的特性。

零输入响应，uc的波形图。

根据uc的函数式（x），

可以展开为表达式（x’），

两项代数和的形式。

因为p2p1两个负根不相等，

取 | p2| > | p1|，

则表达式（x’ ）中两项，衰减函数的起始值，

第一项P2U0/(P2-P1)为正数，

第二项-P1u0/(P2-P1)为负。

如图中对应的A点和B点。

且A点的绝对值，比B点的绝对值大。

而（x’ ）中对应的两项衰减函数，

第一项为从A点起始，开始衰减，

但指数为p1t，

因P1小而衰减速度慢，

第二项从B点反向衰减，

因指数P2绝对值大，故衰减速度快。

而两者的合成为uC，其波形仍然为衰减。

如图中,实线波形形式所示。

由于存在正向和反向衰减，因此导致uc衰减速度放慢；

而整个过渡过程中，uc单调衰减。

波形图上未出现波峰或波谷等现象，

我们又称为过阻尼状态，或过阻尼过渡过程。

当然，若取： | p2| <| p1|，结论是相同的!

大伙课后可以自行指定P1P2的值，自行推导一下。

再来分析一下i和UL的波形图，

如图（a’）所示。

uc的波形已存在，而i的表达式（y）以及uL的表达式（z）

与uc表达式，虽然有点相似，

但是，代入具体的p1p2值时，

仿照绘画uc波形图,得出其波形如图（a’）所示。

显然这两变量的变化趋势，并非单调，都存在拐点。

我们来关注一下，两个拐点对应的含义。

i 曲线的拐点，t = tm 时，i 最大。

uL曲线的拐点（时刻），为电感电压穿越到反向最大值时的时间。

那么为什么这两个时间具有2倍关系呢？

原因如下：

数学中函数分析可知，表达式（y）时间导数 =0，

可以得到 t 值，即为i的拐点——时轴坐标。

而（z）表达式本身就是对（y）的时间的导数，

再乘以常数L，所以这个 t 值，正好使得uL为零。

继续分析两个拐点对应时间的关系

如图（a‘’）所示，第一个拐点，

是要求i的时间导数=0 ，即可符合要求。

于是取电感电压表达式（z）等于零。

则运算得出表达式（1）所示，经运算，得到tm为表达式（a）所示。

而对于第二个拐点，存在对表达式（z）的再一次对时间求导=0 即可。

于是，经求导运算得到表达式（2）的情况。

对表达式（2）进行计算，

最后得到这个拐点的时间轴坐标t为表达式（b）所示，

显然这个t=2倍tm。

再来关注一下，该过渡过程的能量再分配过程。

当开关闭合后，到时间tm之间，

电容电压逐渐减小，电路回路电流逐渐增加，

此时电感电压为正，如图（a'''）所示，

则电感在吸收能量，

是磁场能量被存储起来。

当时间t=tm时，电流到了拐点，

而电感电压降低到零，开始准备穿越，变为负值。

当t>tm时，电容电压仍持续减小，

电流拐点后也开始减小，但仍然为正值，

根据电容电压和电流的 参考方向，此时电容仍然释放能量；

而电感电压穿越后为负值，与电流的参考方向相反，

则此时电感开始向外释放能量，故此时两个动态元件都向外释放能量，

直至被电阻消耗完毕。

显然，整个过程中，电容持续放电，

电感吸收了一定能量后，也加入释放能量的过程，

而电阻始终在消耗能量，

直至把原电路中存储的能量消耗完后，结束过渡过程。

这个电路的特点，就是：

电容电压单一衰减，持续降低，不出现电压的峰谷波动变化，

我们称它为非振荡形式放电，因为电阻值较大，

称为过阻尼的过渡过程。

好的，本节暂分析到这里，再见！