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同学们好!本节学习拉普拉斯反变换。
这一节也是数学知识,
我们这里介绍的不是利用逆变换公式(1)去求积分,
而是从拉普拉斯反变换的查表法中获得思路,
即把象函数F(s)作必要的变形和拆分,
形成多项式Fn(s)的形式。
并对Fn(s)适当的线性运算,利用变换对,
如冲激函数、常数、负指数函数、t函数、正弦、余弦函数等,
来求得相应的原函数或原函数的组合。
我们学习的是对F(s)进行分部分式处理,
得到分部分式Fn(s),
通过对Fn(s)的简单处理,更容易找到对应的f(t)。
关于分部分式处理,你会发现,其实就是我们中学学习过的多项式的因式分解。
下面我们来研究如何对F(s)部分分式处理
先假设:象函数F(s)如表达式(1)所示。
式中ai(i = 0,1,2, …, m)和bj(j = 0,1,2, …, n)都为实的常数,
m和n为正整数。
当m < n时 ,F(s)则为有理真分式,则可以直接进行部分分式处理;
当m≥n时,F(s)为假分式,
此时可利用多项式长除法,将F(s)分解为多项式与有理真分式之和形式,
即 F(s)=A(s)+B(s)/D(s)的形式。
其中第一项A(s)较为复杂,是一个s的多项式。
而后一项B(s)/D(s),仍然为有理真分式,
满足部分分式处理的条件,可以进行部分分式的处理。
在电路分析中,主要讨论的是F(s)为有理真分式形式,
即多项式方程(1)中,父母的幂的最高次数比分子的幂的最高次数大,
满足m < n。
对于真分式F(s)可以进行分解,
方法是令分母D(s)=0。
可以求出n个根pi(i=1,2,。。。n),
这些根又称为F(s)的极点;
同理也可以令分子N(s)=0,求出m个根zj(j=1,2,。。。m),这些根则称为零点。
求出m个根zj(j=1,2,。。。m),这些根则称为零点。
对于真分式F(s)的分母进行因式分解,
之后可以展开成部分分式的代数和,
这个过程就称为部分分式处理。
你会发现:求分母D(s)=0,
其实就是中学数学一元多次方程的求解。
下面我们来介绍,D(s)=0,
求得的极点,会有两种不同的情况,
因此,F(s)的部分分式会有所不同。
1、F(s)的极点仅为单根
部分分式,可以将F(s)分解成方程式(1)的形式。
那么对于方程式(1)中,这些部分分式的分子上的系数,
逐一求解出来,还是比较容易的。
比如:方案一,逐一代入每个pi的根,构成s-pi乘以F(s),
这样,就能求出部分分式的分子上常系数ki。
如求k1,可以由s-p1乘以F(s),
则右侧部分分式,也逐项乘以(s-p1),
除了第一项直接等于k1 以外,余下的所有部分分式,
因为与s-p1相乘,所以结果都为零,
因此k1 就就这样求出了。
那么,这些部分分式的所有系数都求出后,
利用拉普拉斯和时域函数变换对,
即表达式(2)的特点,我们就可以直接写出:
F(s)的拉普拉斯反函数,如表达式(3)所示。
看一个补充的例题,求一个F(s)的反函数f(t),
已知F(s)=(4s+5)/(s平方+5s+4)。
则其可以展开成部分分式,
k1/(s+1)+k2/(s+4)
则其分母等于零时的根为p1=-1,p2=-4。
从而可以求出k1=(s+1)×F(s)=4s+5/s+4,
代入s=-1时,得k1=1/3;
同理,用(s+4)×F(s)=4s+5/s+1,代入s=-4的
得k2=11/3。
所以F(s)的部分分式,可以直接找到拉普拉斯变换对,
得出该象函数F(s)的(反函数)结果,为方程式(1)所示。
求取单一根的部分分式系数ki,还有方案二:
也被称为分解定理。
即把F(s)的分母多项式D(s),直接求其对s变量的一次微分,
得出D’(s),然后形成N(s)/D’(s)的分式。
然后代入D(s)=0的各个根的值,求出各个对应的系数ki。
如上述的补例F(s)的分母D(s),求一次s的微分后,为2s+5,
构成的新的分式为N(s)/2s+5,
分别代入s=p1的根,得到系数k1=1/3 ;
代入s=p2的根的时候,得到系数k2=11/3;
最后的结果与方法一相同。
注意,通常求电路分析中求F(s)反函数f(t)后,
对应的拉普拉斯变换对中,时域f(t)之后都乘以ε(t),
这是因为:本课程研究的拉普拉斯变换,都是0-开始的单边的拉普拉斯变换。
看一个例题10-9,求F(s)=s/(s平方+2s+2)的原函数f(t)。
解,象函数的分母D(s)=0,对s求根时会得到共轭的复数根,显然也是单根。
可以用单根求取系数ki的方案,
也可以采用拉普拉斯变换对中s与平移的特性,寻取找f(t)变换对的方法。
先看方法一,采用分解定理,把D(s)=0的两个共轭复根
p1和p2,分别代入构建N(s)/D’(s)=s/2s+2。
得出k1和k2也为复数,如表达式(x)和表达式(y)所示。
再利用拉普拉斯变换对的特性,得到原函数f(t)为表达式(z)所示。
显然表达式(z),看起来有点别扭。
关于方程式(z)的说明
对于原函数f(t)由(z)形式表示时,比较别扭,
我们是可以通过数学知识,即公式(a)和公式(b)把方程式(z)
作相应的复数分母有理化推导,得到如表达式(z’)所示。
再经过三角函数的积化和差计算,得出最后的表达式为(z‘’)所示。
对于原函数f(t)用(z‘’)表示,
则是为我们所熟悉的电路变量的表现形式,
显然这个过程比较繁琐。
其实我们可以采用方案二:
可以利用拉普拉斯变换后的象函数,自变量s的平移对时域函数f(t)的影响,
这个变换对公式,来直接求得部分分式的原函数f(t)。
如本例题中的F(s)函数,分解分母部分分式的时候,
作必要的配方,使得分母变成(s+pi)的平方+ω平方的形式,
这样来部分分式F(s),就可以分解表达式(1)所示。
从而在分解的部分分式表达式(1)中,
寻找cosωt函数的象函数和sinωt函数的象函数。
部分分式中的(s+pi)中的pi即为s域的平移,
对应到时域中都是乘以e-pit即可。
因此,例题中待求的F(s)象函数的反函数,两次利用了平移性质,
最终能得到的结果如方程式(2)所示,与前面解答的结果相同。
2、F(s)的极点有重根的处理
设象函数F(s)=N(s)/D(s)=N(s)/(s-p)n次方,
即在s=p时,是n重极点。
则F(s)的部分分式,应该展开成表达式(1)的形式。
这里的部分分式的分子上的系数,
求解它们既要细心,也比较复杂,如方程组(2)所示。
然后对应的找到部分分式的原函数f(t),如方程表达式(3)所示。
这种情况在电路的分析中比较少见,就不再累述了。
看一个例题10-12,了解一下,在学习了这么多的数学知识后,
看看应用到电路分析中有哪些好处。
图(a)电路为动态电路,仔细分析后,
发现其为阶跃响应,且动态元件初始值还非零。
解,当t>0后,电路方程时域形式为方程式(1)所示。
若对方程式(1)两边同时求取拉普拉斯变换,则得到方程表达式(2)所示。
而方程式(2),显然没有了微分,仅是代数运算。
可以轻松的求得象函数I(s),为一个s多项式,且为有理真分式。
分解成部分分式,如表达式(3)所示。
再返回原函数求得i(t),是比较容易的,如方程表达式(4)所示。
这种应用时域电路的微分方程,求拉普拉斯变换,
在象函数定义域中求解,再返回时域电路的过程,
我们称为运算法,它属于运算法的一种方案。
后面,我们将来介绍运算法中的另外一种方案。
好的,本节就到这里,下节再见!
-00绪论
-01-1 电路模型与集总假设
--01-1作业
--讨论01
-01-2 电路变量
--01-2作业
-01-3 基尔霍夫定律
--01-3作业
-01-4 电路基本元件及方程
--01-4-1作业
--01-4-2作业
--01-4-3作业
--讨论02
--01-x自测题
-02-1 电阻电路的化简与等效
--02-1作业
-02-2 电阻△-Y等效变换
--02-2作业
-02-3 含受控源的等效电阻
--02-3等效电阻
--02-3作业
-02-4 电路的拓扑图和电路方程 的独立性
--02-4-1作业
--02-4-2作业
-02-5 支路法
--02-5作业
-02-6 网孔电流法和回路电流法
--02-6作业
-02-7 结点电压法
--02-7作业
--讨论03
-03-1 叠加定理
--03-1叠加定理
--03-1作业
-03-2 齐性定理和替代定理
--03-2作业
-03-3 戴维南定理
--03-3作业
-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理
--03-4作业
-03-5 特勒根定理
-03-6 互易定理与对偶原理
--3-56作业
-04-1 动态电路概念和换路定则
--04-1-1作业
--04-1-2作业
-04-2 一阶电路
--04-2作业
-04-3 二阶电路
--04-3作业
-04-4 阶跃与冲激
--04-4作业
-05-1 正弦量
--05-1作业
-05-2 正弦量的相量表示
--05-2作业
-05-3 电路定律和元件方程的相量形式
--05-3作业
-05-4 阻抗与导纳
--05-4-1作业
--05-4-2作业
-05-5 正弦稳态电路的相量法分析
--05-5作业
-05-6 正弦稳态交流电路的功率
--05-6作业
-06-1 三相电源
--06-1作业
-06-2 对称三相电路的线值与相值
--06-2作业
-06-3 对称三相电路一相法计算
--06-3作业
-06-4 不对称三相电路
--06-4作业
-06-5 三相电路功率
--06-5作业
--期中考试01
-07-1 耦合电感的电路模型
--7-1作业
-07-2 耦合电感的串并联
--7-2作业
-07-3 空心变压器
--7-3作业
-07-4 理想变压器
--7-4作业
-08-1 非正弦周期信号
--8-1作业
-08-2 有效值与平均功率
--8-2作业
-08-3 谐波分析法
--8-3作业
-09-1 网络函数与频率响应
--9-1作业
-09-2 串联谐振
--9-2作业
-09-3 并联谐振
--9-3作业
-10-1 拉普拉斯正变换
--10-1作业
-10-2 拉普拉斯反变换
--10-2作业
-10-3 运算模型
--10-3作业
-10-4 运算法
--10-4作业
-10-5 网络函数与冲激响应和卷积
--10-5-3课件
-11-1 无源线性二端口网络的方程和参数
--11-1作业
-11-1 二端口的端接
--11-2作业
-11-3 二端口的有效性
--11-3作业
-11-4 含理想运算放大器电路分析
--11-4作业
-12-1 非线性元件
--12-1作业
-12-2 非线性电阻电路的折线分析法和小信号分析法
--12-2-1作业
--12-2-2作业
-考试3
-电路分析基础考试-1