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10-2拉普拉斯反变换在线视频

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10-2拉普拉斯反变换课程教案、知识点、字幕

同学们好!本节学习拉普拉斯反变换。

这一节也是数学知识,

我们这里介绍的不是利用逆变换公式(1)去求积分,

而是从拉普拉斯反变换的查表法中获得思路,

即把象函数F(s)作必要的变形和拆分,

形成多项式Fn(s)的形式。

并对Fn(s)适当的线性运算,利用变换对,

如冲激函数、常数、负指数函数、t函数、正弦、余弦函数等,

来求得相应的原函数或原函数的组合。

我们学习的是对F(s)进行分部分式处理,

得到分部分式Fn(s),

通过对Fn(s)的简单处理,更容易找到对应的f(t)。

关于分部分式处理,你会发现,其实就是我们中学学习过的多项式的因式分解。

下面我们来研究如何对F(s)部分分式处理

先假设:象函数F(s)如表达式(1)所示。

式中ai(i = 0,1,2, …, m)和bj(j = 0,1,2, …, n)都为实的常数,

m和n为正整数。

当m < n时 ,F(s)则为有理真分式,则可以直接进行部分分式处理;

当m≥n时,F(s)为假分式,

此时可利用多项式长除法,将F(s)分解为多项式与有理真分式之和形式,

即 F(s)=A(s)+B(s)/D(s)的形式。

其中第一项A(s)较为复杂,是一个s的多项式。

而后一项B(s)/D(s),仍然为有理真分式,

满足部分分式处理的条件,可以进行部分分式的处理。

在电路分析中,主要讨论的是F(s)为有理真分式形式,

即多项式方程(1)中,父母的幂的最高次数比分子的幂的最高次数大,

满足m < n。

对于真分式F(s)可以进行分解,

方法是令分母D(s)=0。

可以求出n个根pi(i=1,2,。。。n),

这些根又称为F(s)的极点;

同理也可以令分子N(s)=0,求出m个根zj(j=1,2,。。。m),这些根则称为零点。

求出m个根zj(j=1,2,。。。m),这些根则称为零点。

对于真分式F(s)的分母进行因式分解,

之后可以展开成部分分式的代数和,

这个过程就称为部分分式处理。

你会发现:求分母D(s)=0,

其实就是中学数学一元多次方程的求解。

下面我们来介绍,D(s)=0,

求得的极点,会有两种不同的情况,

因此,F(s)的部分分式会有所不同。

1、F(s)的极点仅为单根

部分分式,可以将F(s)分解成方程式(1)的形式。

那么对于方程式(1)中,这些部分分式的分子上的系数,

逐一求解出来,还是比较容易的。

比如:方案一,逐一代入每个pi的根,构成s-pi乘以F(s),

这样,就能求出部分分式的分子上常系数ki。

如求k1,可以由s-p1乘以F(s),

则右侧部分分式,也逐项乘以(s-p1),

除了第一项直接等于k1 以外,余下的所有部分分式,

因为与s-p1相乘,所以结果都为零,

因此k1 就就这样求出了。

那么,这些部分分式的所有系数都求出后,

利用拉普拉斯和时域函数变换对,

即表达式(2)的特点,我们就可以直接写出:

F(s)的拉普拉斯反函数,如表达式(3)所示。

看一个补充的例题,求一个F(s)的反函数f(t),

已知F(s)=(4s+5)/(s平方+5s+4)。

则其可以展开成部分分式,

k1/(s+1)+k2/(s+4)

则其分母等于零时的根为p1=-1,p2=-4。

从而可以求出k1=(s+1)×F(s)=4s+5/s+4,

代入s=-1时,得k1=1/3;

同理,用(s+4)×F(s)=4s+5/s+1,代入s=-4的

得k2=11/3。

所以F(s)的部分分式,可以直接找到拉普拉斯变换对,

得出该象函数F(s)的(反函数)结果,为方程式(1)所示。

求取单一根的部分分式系数ki,还有方案二:

也被称为分解定理。

即把F(s)的分母多项式D(s),直接求其对s变量的一次微分,

得出D’(s),然后形成N(s)/D’(s)的分式。

然后代入D(s)=0的各个根的值,求出各个对应的系数ki。

如上述的补例F(s)的分母D(s),求一次s的微分后,为2s+5,

构成的新的分式为N(s)/2s+5,

分别代入s=p1的根,得到系数k1=1/3 ;

代入s=p2的根的时候,得到系数k2=11/3;

最后的结果与方法一相同。

注意,通常求电路分析中求F(s)反函数f(t)后,

对应的拉普拉斯变换对中,时域f(t)之后都乘以ε(t),

这是因为:本课程研究的拉普拉斯变换,都是0-开始的单边的拉普拉斯变换。

看一个例题10-9,求F(s)=s/(s平方+2s+2)的原函数f(t)。

解,象函数的分母D(s)=0,对s求根时会得到共轭的复数根,显然也是单根。

可以用单根求取系数ki的方案,

也可以采用拉普拉斯变换对中s与平移的特性,寻取找f(t)变换对的方法。

先看方法一,采用分解定理,把D(s)=0的两个共轭复根

p1和p2,分别代入构建N(s)/D’(s)=s/2s+2。

得出k1和k2也为复数,如表达式(x)和表达式(y)所示。

再利用拉普拉斯变换对的特性,得到原函数f(t)为表达式(z)所示。

显然表达式(z),看起来有点别扭。

关于方程式(z)的说明

对于原函数f(t)由(z)形式表示时,比较别扭,

我们是可以通过数学知识,即公式(a)和公式(b)把方程式(z)

作相应的复数分母有理化推导,得到如表达式(z’)所示。

再经过三角函数的积化和差计算,得出最后的表达式为(z‘’)所示。

对于原函数f(t)用(z‘’)表示,

则是为我们所熟悉的电路变量的表现形式,

显然这个过程比较繁琐。

其实我们可以采用方案二:

可以利用拉普拉斯变换后的象函数,自变量s的平移对时域函数f(t)的影响,

这个变换对公式,来直接求得部分分式的原函数f(t)。

如本例题中的F(s)函数,分解分母部分分式的时候,

作必要的配方,使得分母变成(s+pi)的平方+ω平方的形式,

这样来部分分式F(s),就可以分解表达式(1)所示。

从而在分解的部分分式表达式(1)中,

寻找cosωt函数的象函数和sinωt函数的象函数。

部分分式中的(s+pi)中的pi即为s域的平移,

对应到时域中都是乘以e-pit即可。

因此,例题中待求的F(s)象函数的反函数,两次利用了平移性质,

最终能得到的结果如方程式(2)所示,与前面解答的结果相同。

2、F(s)的极点有重根的处理

设象函数F(s)=N(s)/D(s)=N(s)/(s-p)n次方,

即在s=p时,是n重极点。

则F(s)的部分分式,应该展开成表达式(1)的形式。

这里的部分分式的分子上的系数,

求解它们既要细心,也比较复杂,如方程组(2)所示。

然后对应的找到部分分式的原函数f(t),如方程表达式(3)所示。

这种情况在电路的分析中比较少见,就不再累述了。

看一个例题10-12,了解一下,在学习了这么多的数学知识后,

看看应用到电路分析中有哪些好处。

图(a)电路为动态电路,仔细分析后,

发现其为阶跃响应,且动态元件初始值还非零。

解,当t>0后,电路方程时域形式为方程式(1)所示。

若对方程式(1)两边同时求取拉普拉斯变换,则得到方程表达式(2)所示。

而方程式(2),显然没有了微分,仅是代数运算。

可以轻松的求得象函数I(s),为一个s多项式,且为有理真分式。

分解成部分分式,如表达式(3)所示。

再返回原函数求得i(t),是比较容易的,如方程表达式(4)所示。

这种应用时域电路的微分方程,求拉普拉斯变换,

在象函数定义域中求解,再返回时域电路的过程,

我们称为运算法,它属于运算法的一种方案。

后面,我们将来介绍运算法中的另外一种方案。

好的,本节就到这里,下节再见!

电路理论课程列表:

00绪论

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01 电路概念与基本定律

-01-1 电路模型与集总假设

--01-1 电路模型与集总假设

--01-1作业

--讨论01

-01-2 电路变量

--01-2 电路变量

--01-2作业

-01-3 基尔霍夫定律

--01-3 基尔霍夫定律

--01-3作业

-01-4 电路基本元件及方程

--01-4-1电路元件-1

--01-4-1作业

--01-4-2电路元件-2

--01-4-2作业

--01-4-3电路元件-3

--01-4-3作业

--讨论02

--01-x自测题

02 电阻电路分析方法

-02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1作业

-02-2 电阻△-Y等效变换

--02-2电阻Y-△连接的等效变换

--02-2作业

-02-3 含受控源的等效电阻

--02-3等效电阻

--02-3作业

-02-4 电路的拓扑图和电路方程 的独立性

--02-4-1图论初步-1

--02-4-1作业

--02-4-2 图论初步2

--02-4-2作业

-02-5 支路法

--02-5-1支路法1

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--02-5作业

-02-6 网孔电流法和回路电流法

--02-6-1网孔电流法

--02-6-2 回路电流法

--02-6作业

-02-7 结点电压法

--02-7-1结点电压法-1

--02-7-2结点电压法-2

--02-7作业

--讨论03

03 电路定理

-03-1 叠加定理

--03-1叠加定理

--03-1作业

-03-2 齐性定理和替代定理

--03-2齐性定理和替代定理

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-03-3 戴维南定理

--03-3-1戴维南定理-1

--03-3-2戴维南定理-2

--03-3作业

-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理

--03-4诺顿定理与最大功率传输定理

--03-4作业

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--03-5特勒根定理

-03-6 互易定理与对偶原理

--03-6 互易定理和对偶原理

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04 动态电路

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--04-1-1动态电路概念

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--04-3-3二阶电路分析-3

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--04-4-1阶跃响应与冲激响应-1

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--05-3基尔霍夫 定律的相量形式

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-05-4 阻抗与导纳

--05-4 阻抗与导纳

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--05-5-1相量法分析问题交流电路1

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--05-6-1正弦稳态交流电路功率

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-06-2 对称三相电路的线值与相值

--06-2对称三相电路的线值与相值

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--06-3 对称三相电路计算

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10 运算电路

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11 二端口与理想运算放大器

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12 非线性电阻电路

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考试3

-考试3

考试1(电路分析基础)

-电路分析基础考试-1

10-2拉普拉斯反变换笔记与讨论

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