04-3-3二阶电路分析-3在线视频

同学们好，本节继续研究和讨论二阶动态电路过渡过程。

前面研究了RLC二阶电路的零输入问题，

分析时，表现三种状态的过渡过程：

1）过阻尼形态的过渡过程，是指电阻R大于2倍根号下L/C，

波形图为，uc呈不振荡、稍慢一点速度的单调衰减的变化趋势。

2）临界阻尼形态的过渡过程，

是指电阻R等于2倍根号下L/C，

波形图为，uc呈不振荡、较快速的单调衰减的变化趋势。

3）欠阻尼形态下的过渡过程，

是指电阻R小于2倍根号下L/C，

uc呈振荡衰减过程；若无阻尼，则等幅振荡。

那么，思考一下，RLC并联的二阶电路，是否也存在上述规律呢？

还有RLC混联的情况又是如何呢？

以及二阶电路的零状态响应、全响应，

其规律又与零输入响应有多少区别呢？

好的，就这些问题，我们下面来逐一分析。

分析一下RLC并联的情况（其实是对偶原理的应用）。

1、电路，如图（a）所示，

求S闭合后，电路中电感电流变量的响应iL。

2、列方程。根据KCL、kvl、vcr等规律，

可以列写出电流IL的微分方程如表达式（a）所示。

发现该方程与RLC串联，零输入得到uc为变量的微分方程，

完全就是一个对偶的方程。

对于方程（a）表达式，可以得出其特征方程为表达式（b）所示。

关于特征方程中的根，

显然与该一元二次方程系数有关，

即表达式（x）的值大于、等于、小于零，

决定不同形式的特征根。

1）、表达式（x）>0，

参数R小于2倍根号下L/C；

此时为两个不相等的负实根，称为过阻尼；

2）、表达式（x）=0，

参数R等于2倍根号下L/C；

此时为两个相等的负实根，称为临界阻尼；

3）、表达式（x）<0，

参数符合R大于2倍根号下L/C；

此时为两个共轭复根，称为欠阻尼。

显然，与RLC串联电路的区别在于：

参数R的大与小变化趋势，对应的过阻尼欠、阻尼正好相反。

4.3.2零状态响应和全响应

1、概念，零状态响应

与一阶电路零状态响应的概念类似，

二阶电路中的初始储能为零（即电容电压为零、电感电流为零），仅由外加激励所产生的过渡过程响应，称为二阶电路的零状态响应。

仅由外加激励所产生的过渡过程响应，称为二阶电路的零状态响应。

如图（a）电路，

求其在S闭合后，电容电压零状态响应uc（t）。

图中，uc（0-）=0，iL（0-）=0。

分析如下：

第一步，列写待求量的微分方程。

由KCL和VCR等列写方程有：ur+uc+uL=0，ur=iR，uL=Ldi/dt等，联立后得到，uc的微分方程为表达式（x）所示，

ur+uc+uL=0，ur=i×R，

uL=Ldi/dt等等，联立后得到，

uc的微分方程为表达式（x）所示，

是一个非齐次的二阶常系数微分方程。

针对非齐次微分方程，

解题方法是采用特解加通解的方式来处理，

为表达式（y）所示。

分析的第二步：1）先求通解UCh。

通解是针对齐次微分方程而言的，

由齐次方程对应的特征方程，可以求得特征方程的两个根p1、p2，

与零输入类似。

对应的通解uch为表达式（b）所示，有两个待定常数A1、A2。

注意这里的A1、A2，只是通解中的量，

与前面介绍零输入响应中的解是有区别的。

第二步：2）求特解ucp。

特解ucp为待求量的稳态解，

通常由非齐次微分方程或电路图比较容易获得，比如图(a)所示。

电路过渡过程完成后，稳态解uc=us。

所以，本例题中特解ucp=us，即等于外加激励。

第三步：再来确定通解中的待定系数A1和A2。

由零状态的条件，代入到由通解表达式（a）

和特解表达式（b）相加构成的解中，求出待定常量A1、A2。

第四步，写出全解。

即有了具体A1、A2以后，uc的解为表达式（x’）所示。

看一个例题4-7 ，如图（b）电路，

求换路后电感电流i和电容电压uC，

已知电容电感初始能量为零。

解，按照前面的介绍，该题的分析步骤按照四步进行。

第一步，列写换路后电路微分方程，得到表达式（x），

代入参数的数值，得到微分方程具体式子为（y）所示。

第二步，1)求解通解:

由微分方程（y），得到特征方程的特征根p1=-1,p2=-3。

从而得到通解uch为表达式（z’），其中含有待定量A1和A2。

第二步，2）求特解ucp。

根据图（c）所示，特解是电路换路后，达到稳态后的解，即：ucp=us=16V。

第三步，确定待定常量A1、A2。

把通解和特解组成的全解，表示出来，如表达式（y’）所示。

然后把两个零状态的条件UC（0-）=0、i（0-）=0

转换成duc/dt=0，代入到表达式（y’）中，

得到A1A2的线性方程组，从而求出：A1=-24，A2=8。

第四步，写出uc的最终解

和根据uc与i的关系，求出i的解，如表达式（a）和（b）所示。

二、全响应

概念：如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，

则换路后电路的响应，称为二阶电路的全响应。

二阶电路的全响应也是零输入响应和零状态响应的叠加，

也可以通过求解二阶电路非齐次微分方程方法，求得全响应。

全响应分析举例。

我们来分析一个混联形式的二阶电路的全响应。

如图（d）所示，RLC参数已知，

电容电压0状态，电感电流非零状态。求开关闭合后，全响应iL和iR。

解，第一步：

列写首要电路变量的微分方程。

本题中首要电路变量是，电感电流iL（t）。

根据S闭合后，电路的KCL、KVL和VCR，

可以列写电路电流的微分方程，为表达式（1）所示。

代入参数和必要的运算，得到（2）的微分方程。

第二步：1）先求解微分方程(2)

特征方程的根，得p1、p2为一对共轭复根。

从而得出通解表达式，为（z）所示。

第三步，再求特解。

利用图（e）的时间到无穷大以后，稳定的电路，

求得特解：iLp=1A。得到全解为通解和特解的和，如表达式z’所示。

得到全解为通解和特解的代数和，如表达式（z’）所示。

第四步：求全解（z’）中的待定量K和θ。

由已知条件iL（0-）=iL（0+）=2，uc（0+）=uc（0-）=0，

代入到（z’）方程中，可以解得K和θ。

最终得到iL(t)解，为表达式z‘’所示。

继续求解电阻R中的电流。

如图（f）所示，iR（t）可以由iL和iC的和来求得。

根据iL的结论，先把它求导得出电感电压uL，

如表达式（a）所示。

再把uL求导，可以得出iC，如表达式（b）所示。

最后把iL和iC相加，得到iR，为表达式（c）所示。

至此，我们分析了二阶动态电路的零状态响应和全响应，

也分析了混联形式的二阶动态电路过渡过程。

这些电路的分析过程，基本按照四大步骤进行。

第一步：先列写待求量的微分方程；

第二步：1）分析微分方程的特征方程，求解特征方程的根。

再根据特征方程的根，来描述待求量的通解形式。

第二步：2）根据零输入、零状态、全响应等（条件），来找出特解。

第三步：根据初始条件来把待求量中待定常数解出。

第四步：最后得出待求量的解，

或其他可以由待求量转换，求得的感兴趣的量。

好的，本节到此结束，下节再见。