10-1拉普拉斯正变换及性质在线视频

同学们好！

本节学习一点数学知识，拉普拉斯变换及其相关。

引言，了解一些数学中的变换

例1，对数变换。如图（a）所示，它可以将乘法运算，简化成加法运算；

例2，相量法变换，如图（b）所示。可以将正弦量运算简化为复数运算。

显然，变换的好处是可以实现运算的简化。

10.1.1拉普拉斯变换的定义和收敛域

1.双边拉普拉斯变换

时域函数f(t)的双边拉普拉斯变换，为方程式（1）所示。

称时域函数f（t）为原函数，而F（s）则为象函数。

原函数与象函数的关系，如图（a）所示。

在方程式（1）中，s=σ+jω，称为复频率；

σ为奈培频率，ω为角频率。

如果s=jω，则方程式（1）就可以变成傅里叶变换，

如方程组形式（2）。

单边拉普拉斯变换

在双边拉普拉斯变换中，对于那些时间t<0时，

f（t）=0，或者不存在的函数，

或者不关心其等于何值的函数，就可以写成f(t)ε(t)。

这样就构成了单边的拉普拉斯变换，如公式（1）所示。

其积分下限为0-，也称为0-拉普拉斯变换。

如果把积分区域，拆成0-到0+和0+到∝相加，

则可以0-拉普拉斯变换，可以拆成方程式（2）所示。

其中，第一项为为f（0）在0-—0+之间的积分。

当f（t）=δ（t）时，积分后非零。

第二项，积分的下限从0+开始，

称为0+的单边拉普拉斯变换。

本课程后续的分析，都是从0-开始的单边拉普拉斯变换。

拉普拉斯逆变换

是指由F（s）求f（t），称为拉普拉斯逆变换（或反变换）。

其计算公式为方程式（1）所示。

F（s）和f（t）是一一对应的关系，

但定义域是不同的，可以相互的求解，但不是相等的关系！

拉普拉斯正变换，可以简写为L[f（t）]；拉普拉斯逆变换，也可以简写为L-1[F(s)]。

象函数F（s），用大写字母描述，如I（s），U（s）等；

原函数是时域函数，用小写字母表示，如i，i（t）等。

2、拉普拉斯变换的收敛域——存在条件

不是所有f(t)的拉普拉斯变换后，象函数F（s）都存在。

在拉普拉斯变换公式中，被积分的函数f（t）×e-σt，

要符合狄里赫利条件，才能使得其变换后的F(s）在s域中收敛。

其中e-σt为衰减因子，

其目的就是把f（t）函数，在时域中进行衰减，

力求使其在t趋于无穷大时，

为一个有界的量，即方程式（2）的含义。

在电路分析课程中，常见的电路变量，

基本都符合收敛或有界的特点。

如直流变量、正弦量、阶跃函数、冲激函数、负指数函数等。

也可以这样理解：就是单边拉普拉斯变换中，

f（t）被乘以了e-st的目的，

是把有可能不收敛的函数，强制成收敛的的函数，

再求其象函数F（s）。

因此，遇到自然指数eαt函数时，会要求σ>α。

3.常见几个电路变量函数的拉普拉斯变换

1）单位阶跃函数

L[ε（t）]，经过计算，等于1/s；

2）指数函数，如L[e-αt]，经过计算，等于1/（s+α）；

3）冲激函数，如：L[δ（t）]，经过计算，其结果等于1。

其结果中不含有s变量，这个特点将会十分有用。

为了后续电路分析中的需要，我们在学习拉普拉斯变换时，

还应该掌握以下几种常见的函数的拉普拉斯变换后的象函数。

如：常数量、时间t的n次指数函数、正弦函数sinωt和余弦函数cosωt，这四类函数的象函数和原函数的变换对。

这四类函数的象函数和原函数的变换对。

即常数项的象函数，为常数除以s，t

t对应的象函数为1/s平方；

t平方的象函数为2/s三次方；

正弦函数sint的象函数为1/（s平方+1平方），

cost的象函数为s/（s平方+1）。

10.1.2拉普拉斯变换的基本性质

作为数学知识，拉普拉斯变换的原函数f（t）

和象函数F（s）之间，还有一些十分有用的性质，

如表格所示。

这里选在几个在电路分析中会用到的性质强调一下，

它们分别如表格中的1-3这几个性质。

1.线性性质（是指齐性和叠加）

指f（t）与F（s）变换对，

其时域函数乘以一个常系数，

或者加减另一个f（t）函数，

其象函数也会乘以一个常系数，

和加减另一个函数的象函数。

该性质可以由方程式（1）表示。

这个性质很有用，可以求一些复杂的f（t）函数的象函数。

例1：求一个常量拉普拉斯变换。L[U]=UL[ε（t）]=U/s。

L[Uε（t）]=U×L[ε（t）]

=U/s

例2、求余弦函数cosωt的拉普拉斯象函数。

已知cosωt的自然对数e的指数形式为

cosωt=1/2（ejωt+e-jωt），

所以L[cosωt]=s/（s平方+ω平方），

同理也可以计算，正弦函数sinωt的拉普拉斯变换后的象函数，

即L[sinωt]=ω/（s平方+ω平方）。

2.时域的微分性质

可以用方程式（2）来描述。

这个性质体现了时域函数f（t），

求一次时间的微分，

其象函数F（s），则需乘以s的一次幂，

然后再减去原函数在0-时的值。

这个特性也可以用来简化一些时域函数的象函数计算。

当然还需要知道该时域函数在0-时的值。

补充例题1，求cosωt的拉普拉斯变换象函数。

因为知道cosωt=1/ωd(sinωt)/dt，

所以L[cosωt]

=s/ω再乘以ω/(s平方+ω平方）-sin0

=s/(s平方+ω平方）

补充例题2：求δ（t）的拉普拉斯变换。

已知冲激函数是阶跃函数ε(t)求微分的结果。

因此，L[δ（t）]=L[dε(t)/dt]=s×1/s-ε(0-)=1。

时域函数的微分，可以推广一下，

若时间函数二阶微分，或更高阶微分，

则其对应的象函数的特性，为表达式（3）和表达式（4）所示的规律。

看一个联系电路分析的例题，例10-2。根据图（a）电容时域模型，

请求出电容电流的拉普拉斯变换，已知电压电流参考方向为关联。

解：对于电容中电流其时域表达式，为方程式（1）所示。

表达式（1）中有两个时域量，ic（t）和uC（t）。

它们对应的象函数分别为IC(s）和UC（s）。

由于时域表达式为微分关系，

因此，根据时域微分，到象函数乘以s的特性，

得到象函数表达式，为方程式（2）所示。

这个表达式，很明显，变成代数运算形式，

不再有微分运算，显然计算要简单的多。

这里大伙能否可以根据方程式（2），来作出一个新的电路模型？

思考一下，后面我们会学习采用这个模型。

其实，这个方程式（2）表达的是一个电流

等于两个电流的代数和，

即可以用诺顿等效电路来替代它或描述它。

3.时域的积分性质

这个性质，可以用方程式（3）来描述。

这个性质，提示了f（t）在时域中一重积分，

其对应象函数F（s），则除以s的一次幂。

这个性质也非常有用。

相应的计算，如f（t）=t这个函数，

是常数1在0-∞区间的一重积分，

因此时间t的拉普拉斯变换，

等于1的象函数再除以s，等于s平方分之一。

再例如t平方这个函数，则是t函数的积分乘以2。

或者说是常数1的二重积分以后乘以2，

因此1的象函数，除以s平方再乘以2，

等于s三次方分之2。

推广一下，f（t）=t的n次方函数，

其拉普拉斯变换后，

为n的阶乘，除以s的n+1次幂，如方程式（6）所示。

特别说明，当非单边拉普拉斯变换时，

则方程式（5）应该为方程式（7）所示。

其中方程式（7）中的f（-1）（0-）这一项，是积分的初值，

如方程式（8）所示。

看一个电路中的应用，

例题10-3，已知图（a）为电感元件在时域中的模型，

（电压电流）关联参考方向。

设其电流iL（t），为非单边时域积分，

如方程式（1）所示。

试分析该电流在拉普拉斯变换后的象函数。

解：根据时域量与象函数一一对应，

以及时域函数非单边积分的性质，

对于电流表达式（1），两边同时求取拉普拉斯变换，

得表达式（2）和表达式（3）。

这里说明一下，表达式（3）中的iL（0-），

是来自表达式（2）中的uL（-1）（0-）/L。

这个计算公式，它是电感中电流的初值。

最终把方程式（3）式整理，得到方程式（4），

表现为电感中的电压象函数，

等于电流象函数除以sL，再减去一个Li（0-）的量。

应该可以理解为一个戴维南模型的电路。

其实拉普拉斯变换中，还有一些性质也十分的有用，

这里就不再一一赘述了，

等后续电路分析遇到时再介绍。

好的本节就到这里，下节再见。