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04-3-2二阶电路分析-2课程教案、知识点、字幕

同学们好!本节继续分析特征根对二阶电路响应的影响。

二、△=0时,即特征根为两个相等的负实根,

此时电阻R和LC的关系为R=2倍根号下L/C。

即特征根p1=p2=p=-R/2L=-δ;

则此时uC用表达式(y)来表示,

存在待定系数为A3、A4。

同样,代入初始条件uc(0+)和iL(0+),能够解出来A3、A4的值。

于是代到(y)表达式中,到uc为表达式(1)所示。

可以通过波形图来描述它,如图(b)所示。

Uc的波形,仍然表现为非振荡、单调衰减特性。

即函数表达式(1),为两个函数相乘积的形式,

其中(1+δt)为线性增长函数,但是e-δt为指数衰减函数,

显然两者的乘积后,仍然表现为单调衰减,

是因为指数衰减的速度,快于线性增长。

与前面的过阻尼情况,作比较的话,

也是快于过阻尼的衰减速度!

这个比较,同学们可以课下通过仿真软件作出分析。

由于此时,微分方程的特征根为两个相等的负实根,

电阻值等于2倍根号下L/C,

被称为临界阻尼的过渡过程。

再由uc与i的关系,

得到i的解为表达式(2)所示,作出其波形图见图(b);

同理,uL与i的关系,得到uL的解如表达式(3),

也可以作出其波形图,见图(b)。

对于特征根为相等负实根的情况分析,

可知,uc、i、uL三条波形图,

与过阻尼情况下,得出它们三者的波形曲线趋势基本相同,规律也类似。

区别在于在临界阻尼情况下,衰减到零的用时要短一些而已。

而电流最大值的时间和电感拐点的时间,计算方法与过阻尼情况相同。

三、Δ<0 时,即R小于2倍根号下L/C。

此时,特征个为一对共轭复根。

我们取这一对共轭复根p1、p2=-δ±jω,

其中δ和ω可以用一个直角三角形来描述,如图(1)所示。

uC的解答如表达式(z)所示,待求量A5、A6,可以代入初始条件求出。

如表达式(1)和(2)所示。由于p1、p2为复数,因此A5、A6也是复数。

这样代入表达式(z)中,得出uC的解,就会出现复数的指数形式,

如表达式(3)所示。

而复数指数,利用欧拉公式,可以转换为正弦函数,

于是,表达式(3)可以转化为表达式(4)的形式,

即把(z)表达式中待定系数A5、A6,变成(4)表达式中K和θ,

只要根据初始条件,

把特征根中δ和ω解出,

再根据图(1)中三角形,求出ω0,就能够得到K和θ。

其中K=ω0/ω×U0;θ为三角形的角,等于ω/δ的反正切。

对应的波形,由图(a)可知δ 和 ω构成的三角形中,

δ 是衰减的指数系数,它越大,则衰减越快;

ω是振荡角频率,越大,振荡周期越小,振荡越快;

ω0是指电路“谐振”的角频率,这里对应的是δ =0时的ω;

θ是正弦量的初相角,也称初相位。

于是,电容电压uc表达式(4),可以写出表达式(a)形式,

画出其对应的波形,如图(b)所示。显然其变化规律不再是单调递减啦。随时间推移,呈现上下波动的规律,最终会在衰减的包络线界定的区间逐步衰减到零。

显然,其变化规律不再是单调递减了,

随时间推移,呈现上下波动的规律,

最终,会在衰减的包络线界定的区间逐步衰减到零。

同理,得到i表达式(b)及其波形图,和UL的表达式(c)及其波形图,

见图(b)中蓝色和紫色的波形曲线。

再来研究一下能量再分配过程:

图(2)中,的三个待求量的波形图表明,

1)在0 < ω t < θ 区间,

uc在减小,i在增大,则电容向外释放能量,

电感在吸收能量,电阻在消耗能量。

如图(a)示意图所示,电容向两个元件提供能量。

2) θ< ωt < π-θ区间,

uC 在减小,i 也在减小,

但电感(电压)变成反方向了,

于是,电容电感都向电阻释放能量,如图(b)示意图。

3)π-θ < ω t < π ,

|uC |在增大,i 仍然在减小,电容反向电压。

因此电容开始吸收能量,并储存;

而电感仍然释放能量,电阻始终消耗能量,

如图(c)示意图。

之后的半个周期,可以根据电流电压参考方向

分析能量的再分配过程,请大家自行分析!

显然,电容最终释放能量到零,过程曲折又漫长。

(电压)先正,后负,再正,再负,反反复复,

呈现振荡的波形图,但最终还是衰减到零。

此种过程,我们称为欠阻尼过渡过程。

原因是,电阻小,

电路中存储的能量,通过电阻消耗完毕,

不再是持续地单调衰减,而是有波动,

需要来回振荡好几次,或更多次反反复复才能把能量消耗完。我们称这种过渡过程为欠阻尼过程。

或更多次反反复复才能把能量消耗完。

我们称这种过渡过程为:欠阻尼过程。

在欠阻尼情况下,继续减小电阻(值),

到R=0时,则δ=0 ,p1、p2为±jω。

其中ω=ω0=根号下LC分之一,θ=90°。

于是欠阻尼下,三个待求量(a)、(b)、(c)表达式中,

代入ω=ω0、θ=90°,

我们得到,uc=uL,

即两种波形图完全重合,如图(1)所示。

而电流与电容电容延迟了一个90度的相位,

且大小也不同。即不同正弦波:

由系数大小、角频率、还有初始相位三个指标来区分。

而这个时候串联电路RLC仅剩两个储能元件,

两者相互释放和存储能量,等幅振荡,一直持续到无穷的未来,

如图(b)所示。

当然工程实际中,线路有损耗电阻的,不会出现这种无限振荡下去的理想状态。

小结一下:RLC串联的二阶电路,分析过程:

第一步:列写电路换路后的待求量的微分方程

(通常找电感电流或电容电压作为待求量);

第二步:列写微分方程的特征方程,求解特征方程的根。

特征方程与外激励无关,这点很重要!

后续的分析中,零状态响应、全响应,特征根与之相同,

特征方程与之相同。

第三步:联系特征方程的根,与RLC串联的参数关系。

从而写出电路方程的解的形式,包括下列三种类型:

1)R大于2倍根号下L/C,即方程的根为不等的负实根。

方程的解形式为:表达式(x)形式,待求常数为A1、A2。

2)R等于2倍根号下L/C,即方程的根为相等的负实根。

方程的解形式为:表达式(y)形式,待求常数为A3、A4。

3)R小于2倍根号下L/C,即方程的根为共轭复数根。

方程的解形式为表达式(z)形式,待求常数为K和θ。

这些待定的常数,需要由电路的初值来求解。

对应一般的电路,只会符合上述的一种情况。

这个小结的规律,仅是针对RLC串联的二阶电路而言,

如果二阶电路的形式,可能混联或者并联,

其求解的过程,与之大致相同,

只是在分析特征根的时候,得参数大小的规律,

不一定再是R大于2倍根号下L/C,就是过阻尼的过渡过程,

有可能是相反。

看一个例题4-6,图(a)电路为零输入,电感电流初值和电容电压初值已知。

uC(0-)=4V,iL(0-)=-2A,L=1H,

C=0.25F。求电阻在R=5、4、2、0Ω时,

开关S闭合后,电容电压uC(t)。

解:先列写S闭合后,电路的微分方程。如表达式(1)所示。

电路的2倍根号下L/C等于4欧姆,

为临界电阻R0,即方程微分(1)的特征方程

的特征根为相等负实根时,对应的参数

R0=2倍根号下L/C。

情况(1),R=5Ω,则大于临近电阻R0,称为过阻尼,

可以代入参数,求取特征根p1=-1;p2=-4;

对应的方程的解的形式为表达式(x),

待定常数为A1、A2。

求出待定常数A1、A2,即可。

(x)表达式中A1、A2待定量,

根据初始值条件uc(0-)=uc(0+)=4V,

以及iL(0-)=iL(0+)的关系,求得duC/dt(t=0+)=8;

分别代入(x)表达式中,

能够求得A1=8;A2=-4。

最终得出在过阻尼时,uc的响应为表达式(1)所示。

(2)再来分析电阻R=4Ω时,即临界电阻时,uc的解。

先求出特征根p1=p2=-2,对应的uc表达式为(y),需要待定常数为A3、A4。

代入初始条件(a)和(b)到(y)表达式中,则可以求得A3=4,A4=16。

从而得出在临界阻尼时,uc的解为表达式(2)所示。

再来看,(3)当电阻值继续减小,即R=2Ω时,先求出此时的特征根p1p2为共轭复根-1±j根号3,显然此时对于uc的解得

先求出此时的特征根p1p2,为共轭复数根

-1±j根号3

显然此时uc的解的形式为(z)表达式所示,待定常量为K和θ。

则根据初值条件,得Ksinθ=4和-Ksinθ根号3+Kcosθ=8。

求取K=8,θ=30°。

从而求得欠阻尼情况下,uc(t)为表达式(3)所示。

再进一步分析,(4)当R=0 ,即无阻尼时,

求解特征根为纯虚数,p1、p2=±j2。

因此此种情况,uc的解可以用(z’)的形式表示。

代入初始条件,Ksinθ=4,2Kcosθ=8,

从而得到K=4倍根号2,θ=45°,最终得出uc如表达式(4)所示。

最终得出uc如表达式(4)所示。

好的,本节就到这里,下节再见!

电路理论课程列表:

00绪论

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01 电路概念与基本定律

-01-1 电路模型与集总假设

--01-1 电路模型与集总假设

--01-1作业

--讨论01

-01-2 电路变量

--01-2 电路变量

--01-2作业

-01-3 基尔霍夫定律

--01-3 基尔霍夫定律

--01-3作业

-01-4 电路基本元件及方程

--01-4-1电路元件-1

--01-4-1作业

--01-4-2电路元件-2

--01-4-2作业

--01-4-3电路元件-3

--01-4-3作业

--讨论02

--01-x自测题

02 电阻电路分析方法

-02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1 电阻电路的化简与等效

--02-1作业

-02-2 电阻△-Y等效变换

--02-2电阻Y-△连接的等效变换

--02-2作业

-02-3 含受控源的等效电阻

--02-3等效电阻

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-02-4 电路的拓扑图和电路方程 的独立性

--02-4-1图论初步-1

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-02-5 支路法

--02-5-1支路法1

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-02-6 网孔电流法和回路电流法

--02-6-1网孔电流法

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--讨论03

03 电路定理

-03-1 叠加定理

--03-1叠加定理

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-03-2 齐性定理和替代定理

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-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理

--03-4诺顿定理与最大功率传输定理

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-03-6 互易定理与对偶原理

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--05-4 阻抗与导纳

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考试3

-考试3

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