当前课程知识点:电路理论 > 04 动态电路 > 04-3 二阶电路 > 04-3-2二阶电路分析-2
同学们好!本节继续分析特征根对二阶电路响应的影响。
二、△=0时,即特征根为两个相等的负实根,
此时电阻R和LC的关系为R=2倍根号下L/C。
即特征根p1=p2=p=-R/2L=-δ;
则此时uC用表达式(y)来表示,
存在待定系数为A3、A4。
同样,代入初始条件uc(0+)和iL(0+),能够解出来A3、A4的值。
于是代到(y)表达式中,到uc为表达式(1)所示。
可以通过波形图来描述它,如图(b)所示。
Uc的波形,仍然表现为非振荡、单调衰减特性。
即函数表达式(1),为两个函数相乘积的形式,
其中(1+δt)为线性增长函数,但是e-δt为指数衰减函数,
显然两者的乘积后,仍然表现为单调衰减,
是因为指数衰减的速度,快于线性增长。
与前面的过阻尼情况,作比较的话,
也是快于过阻尼的衰减速度!
这个比较,同学们可以课下通过仿真软件作出分析。
由于此时,微分方程的特征根为两个相等的负实根,
电阻值等于2倍根号下L/C,
被称为临界阻尼的过渡过程。
再由uc与i的关系,
得到i的解为表达式(2)所示,作出其波形图见图(b);
同理,uL与i的关系,得到uL的解如表达式(3),
也可以作出其波形图,见图(b)。
对于特征根为相等负实根的情况分析,
可知,uc、i、uL三条波形图,
与过阻尼情况下,得出它们三者的波形曲线趋势基本相同,规律也类似。
区别在于在临界阻尼情况下,衰减到零的用时要短一些而已。
而电流最大值的时间和电感拐点的时间,计算方法与过阻尼情况相同。
三、Δ<0 时,即R小于2倍根号下L/C。
此时,特征个为一对共轭复根。
我们取这一对共轭复根p1、p2=-δ±jω,
其中δ和ω可以用一个直角三角形来描述,如图(1)所示。
uC的解答如表达式(z)所示,待求量A5、A6,可以代入初始条件求出。
如表达式(1)和(2)所示。由于p1、p2为复数,因此A5、A6也是复数。
这样代入表达式(z)中,得出uC的解,就会出现复数的指数形式,
如表达式(3)所示。
而复数指数,利用欧拉公式,可以转换为正弦函数,
于是,表达式(3)可以转化为表达式(4)的形式,
即把(z)表达式中待定系数A5、A6,变成(4)表达式中K和θ,
只要根据初始条件,
把特征根中δ和ω解出,
再根据图(1)中三角形,求出ω0,就能够得到K和θ。
其中K=ω0/ω×U0;θ为三角形的角,等于ω/δ的反正切。
对应的波形,由图(a)可知δ 和 ω构成的三角形中,
δ 是衰减的指数系数,它越大,则衰减越快;
ω是振荡角频率,越大,振荡周期越小,振荡越快;
ω0是指电路“谐振”的角频率,这里对应的是δ =0时的ω;
θ是正弦量的初相角,也称初相位。
于是,电容电压uc表达式(4),可以写出表达式(a)形式,
画出其对应的波形,如图(b)所示。显然其变化规律不再是单调递减啦。随时间推移,呈现上下波动的规律,最终会在衰减的包络线界定的区间逐步衰减到零。
显然,其变化规律不再是单调递减了,
随时间推移,呈现上下波动的规律,
最终,会在衰减的包络线界定的区间逐步衰减到零。
同理,得到i表达式(b)及其波形图,和UL的表达式(c)及其波形图,
见图(b)中蓝色和紫色的波形曲线。
再来研究一下能量再分配过程:
图(2)中,的三个待求量的波形图表明,
1)在0 < ω t < θ 区间,
uc在减小,i在增大,则电容向外释放能量,
电感在吸收能量,电阻在消耗能量。
如图(a)示意图所示,电容向两个元件提供能量。
2) θ< ωt < π-θ区间,
uC 在减小,i 也在减小,
但电感(电压)变成反方向了,
于是,电容电感都向电阻释放能量,如图(b)示意图。
3)π-θ < ω t < π ,
|uC |在增大,i 仍然在减小,电容反向电压。
因此电容开始吸收能量,并储存;
而电感仍然释放能量,电阻始终消耗能量,
如图(c)示意图。
之后的半个周期,可以根据电流电压参考方向
分析能量的再分配过程,请大家自行分析!
显然,电容最终释放能量到零,过程曲折又漫长。
(电压)先正,后负,再正,再负,反反复复,
呈现振荡的波形图,但最终还是衰减到零。
此种过程,我们称为欠阻尼过渡过程。
原因是,电阻小,
电路中存储的能量,通过电阻消耗完毕,
不再是持续地单调衰减,而是有波动,
需要来回振荡好几次,或更多次反反复复才能把能量消耗完。我们称这种过渡过程为欠阻尼过程。
或更多次反反复复才能把能量消耗完。
我们称这种过渡过程为:欠阻尼过程。
在欠阻尼情况下,继续减小电阻(值),
到R=0时,则δ=0 ,p1、p2为±jω。
其中ω=ω0=根号下LC分之一,θ=90°。
于是欠阻尼下,三个待求量(a)、(b)、(c)表达式中,
代入ω=ω0、θ=90°,
我们得到,uc=uL,
即两种波形图完全重合,如图(1)所示。
而电流与电容电容延迟了一个90度的相位,
且大小也不同。即不同正弦波:
由系数大小、角频率、还有初始相位三个指标来区分。
而这个时候串联电路RLC仅剩两个储能元件,
两者相互释放和存储能量,等幅振荡,一直持续到无穷的未来,
如图(b)所示。
当然工程实际中,线路有损耗电阻的,不会出现这种无限振荡下去的理想状态。
小结一下:RLC串联的二阶电路,分析过程:
第一步:列写电路换路后的待求量的微分方程
(通常找电感电流或电容电压作为待求量);
第二步:列写微分方程的特征方程,求解特征方程的根。
特征方程与外激励无关,这点很重要!
后续的分析中,零状态响应、全响应,特征根与之相同,
特征方程与之相同。
第三步:联系特征方程的根,与RLC串联的参数关系。
从而写出电路方程的解的形式,包括下列三种类型:
1)R大于2倍根号下L/C,即方程的根为不等的负实根。
方程的解形式为:表达式(x)形式,待求常数为A1、A2。
2)R等于2倍根号下L/C,即方程的根为相等的负实根。
方程的解形式为:表达式(y)形式,待求常数为A3、A4。
3)R小于2倍根号下L/C,即方程的根为共轭复数根。
方程的解形式为表达式(z)形式,待求常数为K和θ。
这些待定的常数,需要由电路的初值来求解。
对应一般的电路,只会符合上述的一种情况。
这个小结的规律,仅是针对RLC串联的二阶电路而言,
如果二阶电路的形式,可能混联或者并联,
其求解的过程,与之大致相同,
只是在分析特征根的时候,得参数大小的规律,
不一定再是R大于2倍根号下L/C,就是过阻尼的过渡过程,
有可能是相反。
看一个例题4-6,图(a)电路为零输入,电感电流初值和电容电压初值已知。
uC(0-)=4V,iL(0-)=-2A,L=1H,
C=0.25F。求电阻在R=5、4、2、0Ω时,
开关S闭合后,电容电压uC(t)。
解:先列写S闭合后,电路的微分方程。如表达式(1)所示。
电路的2倍根号下L/C等于4欧姆,
为临界电阻R0,即方程微分(1)的特征方程
的特征根为相等负实根时,对应的参数
R0=2倍根号下L/C。
情况(1),R=5Ω,则大于临近电阻R0,称为过阻尼,
可以代入参数,求取特征根p1=-1;p2=-4;
对应的方程的解的形式为表达式(x),
待定常数为A1、A2。
求出待定常数A1、A2,即可。
(x)表达式中A1、A2待定量,
根据初始值条件uc(0-)=uc(0+)=4V,
以及iL(0-)=iL(0+)的关系,求得duC/dt(t=0+)=8;
分别代入(x)表达式中,
能够求得A1=8;A2=-4。
最终得出在过阻尼时,uc的响应为表达式(1)所示。
(2)再来分析电阻R=4Ω时,即临界电阻时,uc的解。
先求出特征根p1=p2=-2,对应的uc表达式为(y),需要待定常数为A3、A4。
代入初始条件(a)和(b)到(y)表达式中,则可以求得A3=4,A4=16。
从而得出在临界阻尼时,uc的解为表达式(2)所示。
再来看,(3)当电阻值继续减小,即R=2Ω时,先求出此时的特征根p1p2为共轭复根-1±j根号3,显然此时对于uc的解得
先求出此时的特征根p1p2,为共轭复数根
-1±j根号3
显然此时uc的解的形式为(z)表达式所示,待定常量为K和θ。
则根据初值条件,得Ksinθ=4和-Ksinθ根号3+Kcosθ=8。
求取K=8,θ=30°。
从而求得欠阻尼情况下,uc(t)为表达式(3)所示。
再进一步分析,(4)当R=0 ,即无阻尼时,
求解特征根为纯虚数,p1、p2=±j2。
因此此种情况,uc的解可以用(z’)的形式表示。
代入初始条件,Ksinθ=4,2Kcosθ=8,
从而得到K=4倍根号2,θ=45°,最终得出uc如表达式(4)所示。
最终得出uc如表达式(4)所示。
好的,本节就到这里,下节再见!
-00绪论
-01-1 电路模型与集总假设
--01-1作业
--讨论01
-01-2 电路变量
--01-2作业
-01-3 基尔霍夫定律
--01-3作业
-01-4 电路基本元件及方程
--01-4-1作业
--01-4-2作业
--01-4-3作业
--讨论02
--01-x自测题
-02-1 电阻电路的化简与等效
--02-1作业
-02-2 电阻△-Y等效变换
--02-2作业
-02-3 含受控源的等效电阻
--02-3等效电阻
--02-3作业
-02-4 电路的拓扑图和电路方程 的独立性
--02-4-1作业
--02-4-2作业
-02-5 支路法
--02-5作业
-02-6 网孔电流法和回路电流法
--02-6作业
-02-7 结点电压法
--02-7作业
--讨论03
-03-1 叠加定理
--03-1叠加定理
--03-1作业
-03-2 齐性定理和替代定理
--03-2作业
-03-3 戴维南定理
--03-3作业
-03-4 诺顿定理与最大功率传输定理
--03-4作业
-03-5 特勒根定理
-03-6 互易定理与对偶原理
--3-56作业
-04-1 动态电路概念和换路定则
--04-1-1作业
--04-1-2作业
-04-2 一阶电路
--04-2作业
-04-3 二阶电路
--04-3作业
-04-4 阶跃与冲激
--04-4作业
-05-1 正弦量
--05-1作业
-05-2 正弦量的相量表示
--05-2作业
-05-3 电路定律和元件方程的相量形式
--05-3作业
-05-4 阻抗与导纳
--05-4-1作业
--05-4-2作业
-05-5 正弦稳态电路的相量法分析
--05-5作业
-05-6 正弦稳态交流电路的功率
--05-6作业
-06-1 三相电源
--06-1作业
-06-2 对称三相电路的线值与相值
--06-2作业
-06-3 对称三相电路一相法计算
--06-3作业
-06-4 不对称三相电路
--06-4作业
-06-5 三相电路功率
--06-5作业
--期中考试01
-07-1 耦合电感的电路模型
--7-1作业
-07-2 耦合电感的串并联
--7-2作业
-07-3 空心变压器
--7-3作业
-07-4 理想变压器
--7-4作业
-08-1 非正弦周期信号
--8-1作业
-08-2 有效值与平均功率
--8-2作业
-08-3 谐波分析法
--8-3作业
-09-1 网络函数与频率响应
--9-1作业
-09-2 串联谐振
--9-2作业
-09-3 并联谐振
--9-3作业
-10-1 拉普拉斯正变换
--10-1作业
-10-2 拉普拉斯反变换
--10-2作业
-10-3 运算模型
--10-3作业
-10-4 运算法
--10-4作业
-10-5 网络函数与冲激响应和卷积
--10-5-3课件
-11-1 无源线性二端口网络的方程和参数
--11-1作业
-11-1 二端口的端接
--11-2作业
-11-3 二端口的有效性
--11-3作业
-11-4 含理想运算放大器电路分析
--11-4作业
-12-1 非线性元件
--12-1作业
-12-2 非线性电阻电路的折线分析法和小信号分析法
--12-2-1作业
--12-2-2作业
-考试3
-电路分析基础考试-1