04-1-2换路定则与初值确定在线视频

大家好，本节学习换路定则，

以及利用换路定则，来对电路的初始条件进行确定。

一、初始条件的确定:

对于常系数微分方程而言，

若求其全解，需要给定边界条件

如一个一阶常系数微分方程表达式（1），

可以看成两个电路变量，即duc/dt和uc。

求它的全解，必须再补充一个方程。

这里，特指补充uc(0+)为一个确定值，为该电路的初始条件，即式（2）

需要确定或给定。

我们知道，换路是在时刻t=0进行的。

在t=0-时刻，电路还未换路，应该处于原来的稳态。

此时某变量的值可以用式（3）来表示。

而在t=0+，则是已经发生了换路。

此时电路变量的0+时刻值，可以用式（4）来表示。

如果该函数在0-和0+时刻的值相等，

则称该变量在0点连续；

若如果该函数在0-和0+时刻的值不相等，则称该变量在0点不连续；

因此，电路的初始条件，也称初始值，

是指电路变量在t=0+的值。

对于n阶微分方程描述的电路方程，

需要确定其n-1阶微分变量、

n-2阶微分变量、

。。。直至初始状态，在t=0时刻的值。

如求一阶微分方程，

则需要确定待求量本身在t=0+时的值

而二阶微分方程，则需要确定两个初始值，

即一阶导函数t=0+时刻的值和该函数0+时刻的初始值。

那么，如何来确定电路变量的初值（或初始条件呢）?

二、换路定则

为了回答如何求解电路初始的值，

换路定则。

1）线性电容元件的变量约束关系。

看表达式（a），

令：积分上下限分别取t0=0-；t=0+。

则积分式（a）化简为积分式（b）。

若式（b）中被积分变量，电流i为收敛的值或有限的量，

则该项积分结果为零。

因此得出重要结论如式（☆）所示，

该结论说明：换路瞬间，若电容电流为有限值，

则电容电压换路前后瞬时的值保持不变。即电容电压是连续的函数。

2）线性电感

看表达式（a’），令积分上下限分别取t0=0-、t=0+。

则积分式（a’）化简为积分式（b’）。

若式（b’）中，被积分量变量电压u为收敛的值，或者有限的量，则该项积分结果为零。

因此得到重要结论如式（★）所示，

该结论说明：换路瞬间，若电感电压为有限值，

则电感电流换路前后瞬时的值保持不变，即电感电流是连续的函数。

总结这两个结论，即得换路定则。

式（a）和式（b）合在一起，是分析电流电压变量的换路定则。

它们是指，在电容中，电流在换路瞬间为有界的值时，

以及电感电压在换路瞬间也为有限值的时候，成立的规则。

推广一下，把线性电容中电荷变量、线性电感磁链变量加入，

得到式（c）和公式（d）也成立。

这四个式子和成立条件，合称动态电路的换路定则。

其中式（a）、式（b）非常重要，我们后续的分析中，经常用到这两个结论。

三、换路定则应用

由于换路定则，可以用来确定电容电压的初值

或电感电流的初值，甚至可以确定其他电路变量的初值。

请看例题ex1，

如图（a）所示，电路原已稳定。求开关在t=0时刻打开，电容中电流ic的初值。

解：先按照稳态，电容开路、电感短路的特点，画出0-时刻电路图。

其中电容电压在t=0-时，为分压，得uc（0-）=8V。

而根据换路定则有uc（0+）=uc（0+），

可在t=0+时刻等效电路图中，求取电流ic(0+)的值。

注意，在0+时刻图中，电容元件用一个等效电压源替代了。

这样轻松求出ic（0+）=0.2mA。

其实，我们还可以利用电容电压电流动态公式ic=cduc/dt，

变形后得到duc/dt（t=0+）=ic（0+）/c，来计算出duc/dt(0+)的初值。

注意：换路定则对电容而言，电压连续，而电容的中电流不一定连续。

如本题中ic(0+)就不等于ic(0-)。

再看一个例题，电路源已经稳定。在t=0时刻，开关闭合。求取电路变量初值uL(0+)。

解：先画0-时刻的等效电路图。

电感在稳态时，相当于短路。

电流iL(0-)=2A。

再利用换路定则iL(0+)=iL(0-)，

画出t=0+时刻等效电路图，把电感用电流源替换。

则轻松计算出电感两端电压uL(0+)=-8V。

(要注意给定参考方向吆！）

同时可以顺便求取一阶微分量，diL/dt在t=0+时刻的初值，

其初值为uL(0+)/L。

本题也发现，uL(0+)不等于uL(0-)。

接着我们再看例题3，求两个变量iC和uL的初值。

解题过程与前面一样，先作0-时刻等效电路图，

电感视作短路，电容视作开路。分别求得电感电流ic(0-)=Is，

电容电压uc(0-)=R×IS。

再作0+时刻等效图，并把原来电感和电容的位置换成电流源和电压源来替代，

标清待求量及其参考方向，

见0+时刻等效图。

根据KCL、KVL规律，分别求得图中uL(0+)=-R×IS和ic(0+)=0。

大家可以练习一下，

求得两个微分变量duc/dt和diL/dt在0+时刻的初值。

看看是否为0和-R×IS/L呢？

总结一下，动态电路中电路变量初值求解步骤：

第1步：计算换路前（即t=0-时刻），稳定电路中

电感短路、电容开路，求取iL（0-）和uC(0-)的值。

第2步：运用换路定则uC (0+) = uC (0-)、 iL(0+) = iL(0-)。

第3步，再作0+时刻等效电路，替代电感元件为电流源，

替代电容元件为电压源。

这里要注意：当电感iL(0-)=0，则用开路来替代。

若电容电压uC(0-)=0，则用短路线来替代。

第4步，再根据0+时刻图中其他独立的条件，

运用直流电路的KCL、KVL、VCR等规律，来求解待求量的0+时刻初值。

对于n阶电路，我们还要求（n-1）阶，（n-2）阶，…，1阶,一直至0阶微分变量的初值。

本课程，分析到二阶电路，

因此还要计算的是diL/dt、duC/dt这两个量在t=0+时刻的初值。

回顾我们上面讲的，其实比较简单，

只要运用公式（1）和公式（2）即可以把它们求出来。

所以，求电路变量的初值，并不困难。

我们再通过一个例题，来全面分析电路中许多变量的初值。

如图（a）电路，原来已经稳定，在t=0时刻换路。

求换路后，下列各个变量的初值，uC(0+)、 iL(0+)、 iC(0+)、

uL(0+)、iR(0+)，duC/dt、diL/dt。

解，第一步，作0-时刻等效图，如图（b）所示。

则得到iL(0-)=2A；uC(0-)=6V。

运用换路定则，替换电感为电流源2A，替换电容为电压源6V。

画出0+时刻等效电路图，如图（c）。

再计算各个待求量，分别为iR(0+)= 1A， iC(0+)= iR(0+) –2= –1A， uL(0+)=0V。

以及duC/dt（0+时刻时）为-24（V/s，diL/dt(0+时刻时)=0(A/s)。

要注意，关于duC/dt、diL/dt初值，其变量的国际量纲分别是V/秒和A/秒。

小结一下本节知识：

1）认知了动态电路的概念和特点，包括必须有动态元件（L或C）；

可以用微分方程描述的某电量的关系；电路变量是一个一维的时间函数。

2）产生过渡过程的原因，

包括内因是电磁关系；外因是换路；

以及实质是能量再分配不能瞬间完成，而是需要一定时间才能完成。

3）换路定则十分基础和重要，来自电容电感元件的电磁特性。

4）我们也学习了动态电路0+时刻的初值求解方法和分析步骤。

好的，本节就到这里，下次再见！