10-5-2 网络函数与冲激响应-2在线视频

同学们好！本节学习s域网络函数的

零点、极点分布位置与时域响应的关系

1、网络函数的零点、极点的计算和零极点分布图

1）先看网络函数的零点、极点计算

这个十分简单。前面讨论过，s域网络函数，

是一个H（s）关于s的多项式，

而且对于电路分析而言，这个H（s）多项式，

一般而言都是有理真分式。

不妨设H（s）表达式，如方程式（1）所示。

其中：式（1）中分子的zi为分子多项式N（s）=0的根，

是网络函数H（s）的零点；

分母中的pj为分子多项式D（s）=0的根，是网络函数H（s）的极点；

系数H0为常量。

网络函数H（s）的极点和零点，可以是实数，也可以是复数。

因为s域中，s=σ+jω。

2)再看零点极点分布图

即将这些零点、极点标注在s域平面内，

平面中零点用“o”表示，极点用“x”表示，

便得到H(s)的零点和极点分布图。

例如看例题10-19，求某网络函数H（s）的零点、极点分布图。

解：先计算零点。求网络函数分子多项式，s平方-5s+6=0。

得到两零点：z1=2，z2=3。

再计算极点，即分母多项式=0 。

则计算得出极点：p1,2为-1，是一个二重的根，P3和4则为共轭复根，P3=-1+j2，P4=-1-j2。

2)绘画出零极点分布图

如图（a）所示，先作好s域平面，

它是一个复平面。根据零点Z1、Z2的值，可以在复平面上对应的位置中，

找到坐标点，画出“o”标记。

同理，列出四个极点的值，并在复平面上找到对应的位置，

画出“x”标记即可以。

注意，二重根，应画两次“x”标记，或注明该极点为二重。

2.网络函数的极点分布与（时域）冲激的响应关系

由于网络函数H(s)与单位冲激响应h(t)，构成拉普拉斯变换对,

因此，从H(s)的零、极点的分布情况

就可以预见冲激响应的时域特性。

以H（s）仅具有一阶极点函数为例，来进行分析：

如某网络函数，表达式（1），

经过部分分式展开，并取反变换，得到其冲激函数如表达式（2）所示。

显然，表达式（2）中，kiept表明，单极点的位置pi，

是决定时域冲激响应规律的核心，

而系数ki只是影响响应的幅值。

几种典型的极点位置，预测时域响应规律的对应关系介绍

根据公式（2）的分析，极点pi的分布，可以预测

或定性分析冲激函数的规律。

（1）当仅有单一极点，

且位于坐标原点时，即pi=0，

则hi（t）为阶跃函数。

如图（a）所示，极点的位置，

对应的网络函数，定性的表达式为

H1（s）=k1/（s-0)=k1/s。

则其对应的原函数，h1（t）为k1ε（t）。

为阶跃响应，其对应的时域响应如图（b）所示。

（2）若单极点位于负实轴上（p2<0）或正的 实轴上（p3>0），

则对应的h2（t）和h3（t）的定性预测分析为：

单极点在负实轴上，如图（1）中p2所示。

则对应的网络函数H2（s），如方程式（2）所示。

其反函数h2（t）为方程式（2’）所示。

由方程式（2’），可以定性的作出时域的波形图，如图（2）所示，

显然是一个指数衰减，且能够收敛的函数规律。

再分析：单极点在正的实轴上，如图（1）中p3所示。

则对应的网络函数H3（s）如方程式（3）所示。其反函数h3（t）为方程式（3’）所示。

由方程式（3’），可以定性作出时域波形图，如图（3）所示，

显然是一个指数增长函数，不能收敛。

（3）虚轴上一对共轭点作为极点的情况

（在电路分析中，虚轴上一般会形成一对共轭根），如图（a）所示：

则其对应的定性分析，网络函数和时域函数分别如表达式（4）和表达式（4’）所示。

而由表达式（4‘）描述的时域函数规律，如图（b）所示。

显然，虚轴位置上成对极点的分布，

对应的时域冲激响应的规律，是一个等幅振荡的函数规律，即稳态的正弦规律。

（4）如p6，7 = -σ±jω,成对出现，其中σ>0时：

如图（1）所示，两个成对出现共轭复根的极点，分布在左半平面，

则其对应的定性分析网络函数、时域原函数分别为表达式（5）和表达式（5’）所示。

由表达式（5’）作出时域函数的波形规律，如图（2）所示。

显然，分布在s域左半平面，成对出现的共轭复根，

预测其时域中，冲激响应，为衰减振荡的变化规律，最终收敛到零。

（5）当极点为右半平面内的共轭极点时,

（即：p8 ，9=σ±jω，其中σ>0）

如图（1）所示，两成对出现共轭复根的极点，分布在右半平面。

则其对应的定性分析网络函数、时域（原）函数分别为方程式（6）和表达式（6’）所示。

由表达式（6’）作出时域函数的波形规律，如图（2）所示。

显然，分布在s域右半平面共轭极点，

预测其时域中，冲激响应为指数增长且振荡的变化规律，最终不收敛。

我们来推敲一下，非冲激激励引起的，时域中冲激响应的表达，即E（s）≠1时。

设已知象函数中，网络函数H（s）和激励函数E（s）分别为表达式（x）和表达式（y）所示。

令D(s)=0可得极点pi ( i = 1, 2, …, n),

令Q(s) = 0，也可得极点pj ( j = 1, 2, …, m),其中各极点均不相同。

而电路的零状态响应的象函数：R（s）=H（s）×E（s），可以展开成表达式（a）所示。

由此导出其原函数，即时域中的冲激响应，为表达式（b）所示。

可以看到，时域响应中有两类表达式，

其中∑kiepit的所有项，都是网络函数的极点对应的响应，与激励无关，

这里的pi极点，称为时域响应中的自由频率（也称电路系统的固有频率），

其引起的响应是自由响应。

而后一项∑kjepjt的所有项，都是激励函数的极点对应的响应，

这里的pj极点，是电源的强制频率，其引起的响应是强制响应。

系数ki和Kj为与H(s）和E（s）相关的量。

看一个特殊电源激励下的动态全响应分析。

例10-20，图（a）所示为RC一阶电路。

电源u1(t)=1-e-αt)ε(t)。u2（0）非零状态。求全响应u2（t）。

解：先将u1（t）换成象函数U1(s)如表达式（1）所示。

再构建一个网络函数H（s）=U2（s）/U1（s）如方程式（2）所示。

其中可以看到H（s）的极点为-1/RC，是该电路的固有频率。

动态电路的全响应=零状态响应+零输入响应。

本题由于待求量为非零状态，而利用H（s）来求R（s）=H（s）×E（s）的仅是零状态响应。

因此由表达式（1）和（2）相乘，能够得到的象函数，仅是U2的零状态响应，

如方程式（a）所示。

由（a）而求得原函数为方程式（b）所示。

原电路图（a）中，u2（0-）非零，因此，可以写出其零输入响应为方程式（1）。

把前面利用H(s）×E（s）求得的零状态响应，与之相加，得到全响应。

它们可以展开成表达式（x）的形式，即全响应=零状态响应+零输入响应；

也可以描述成表达式（y）所示，即全响应=强迫响应+自由响应；

还可以描述成表达式（z）的形式，即全响应=稳态响应+暂态响应。

好的，本节就分析到这里，下节再见。