02-4-1图论初步-1在线视频

大家好！

本节来学习电路的拓扑图初步知识，

并得出结论，完整的电路结构，必然存在的自然条件：

KCL方程独立数目为n-1；

和KVL方程的独立数目为b-n+1。

引言：对于复杂结构的电路，

一般不采用化简等效方法求解。

电路理论中，有一套完整的系统分析法。

它们都是基本不改变电路的结构，

只是通过巧妙的设置电路变量，

并列写线性无关的方程组，

再求解方程组，来进行分析。

这些分析方法的共同特点如下：

1）设置合适的变量；

2）列写线性无关方程组；

3）求解方程组而求解变量。

那么：

1）这些变量，设置得合适不合适？

2）这些方程，怎样才能够线性无关？

为了回答这样的问题，我们下面通过学习

网络的拓扑知识，将能够找到答案。

1、图论知识初步：

第一个概念，图论中的“图”的概念：

这是一个专有名词，可以用英文字母G（Graph）来表示。

我们从四个角度来认识它：

A、是点和线的集合，

每条线两端都有点。

B、是一种几何图形，类似于素描，

只反映点和线的连接关系。

C、点和线各自为一个整体

点是图的要素，可以孤立的存在，不一定要接线；

把点移走，接在该点上的线都不在了。

线也是图的要素，线的两端必须接在点上；

线移走，两端的点还会存在。

D、与前面研究的电路图（简称F，figure）区别与联系：

F图中，支路是具体的元件构成；

结点，是支路汇接处的点。

而G图中的线，是抽象的支路；

G图中的点是抽象的结点。

初步认识G图（拓扑图）

对于一个电路分析的模型图，

是由集总元件组成，即F图，

具有具体的元件符号，

通常我们可以取每一个单一元件，作为一条支路，

当它抽象成一个G图，呈一条线段。

电路分析中，常对有伴电压源或有伴电流源，

也可以抽象成一条线段。

这些线段，可以直，也可以弯，

如图所示。

因此，前面的F图，就可以抽象成右侧的G图。

好，做个练习，画G图。

要求：1）每个元件当成一条线段，

这样，找到F图中，有8个元件，则画出8线段，

按照原有F图的形状，画出G图1。

2）要求把有伴的电压源和有伴的电流源当一条支路，

则，我们可以画G图2。

再介绍：连通G图和有向G图的概念。

路径的概念：

在学习基尔霍夫定律时介绍过，这里重提的目的，

在于定义连通图的概念。

所谓连通图，是指在G图中，

任意两点之间，至少存在一条路径时，

则：该G图为连通图。

如图所示：

一个连通图

在实际的电路分析中，若存在隔离变压器等结构时，

将会出现非连通图的情况。

如图所示，是一个非连通图。

再介绍一个有向G图的概念：

是指标明G图中支路方向（用箭头来表示），即为有向G图。

而未标明方向的G图，称为无向G图。

大家请看图中的有向G图，

和无向G图。

在基尔霍夫定律学习时，提到过闭合路径是回路的概念，

这里仍然遵循。在连通的G图中

将会有很多回路。

我们来找回路：该图可以找到7个符合要求的回路。

讨论一下：回路的作用是什么？

答，回路可以用来列写KVL方程。

那么刚刚这个G图，有这么多回路，

是否都要列写这些回路的KVL方程呢？

还有：这样找回路，也比较麻烦！

如果说换一个G图，

可能我们在找回路的时候，会找丢了一些回路。

因此就涉及到一个问题：

要不要这么多回路？

即：哪些回路有用？

为了回答这些问题，我们下面将介绍一个树的概念，

从中就可以找到答案。

2、树和基本回路

1）树的概念：树是这样定义的，在连通G图中，

（1）包含所有结点和部分支路；

（2）支路不能构成回路。

（3）仍然为连通图。

如图所示，

一个6条支路和4个结点的连通G图，

选1,2,5支路，是一个树，

若选2,4,5支路，则也能形成一个树。

若选择支路2、3、5、6，则不是树！

（因为2356已经形成回路了！）

好的，至此，我们大概认识了树的概念；也知道非树的概念。

再从树的认识中，我们介绍树余的概念。

对于组成树的支路，我们称为树枝（或树支）。

树枝（即支路）的数目是一个定值，

对于含n个结点的G图，其树枝的数目为（n-1）条。

如果一个完整的G图，

移走了某个树之后，则剩下的东西叫“树余”，

它们通常用虚线来表示，

如图所示。

树余，也是由部分支路构成的，

又称这些支路为“连枝” 。

这些连枝的数量也是确定的，

即等于G图支路的总数b-n+1。

如图中，3,4,6为连枝（树余）。

那么这些连枝（树余）有什么用呢？

2）基本回路

看树，是没有回路的连通G图。

而树余：则是虚线存在的支路，

它们合在一块才能构成完整的G图。

不过，树，每加上一条连枝，就能构成一条（且唯一的一条）回路。

于是这些连枝，有多少条，

就可以构成多少个唯一的回路。

即线性无关。

因此，这里，我们就可以回答前面提出的问题，

即：相互独立回路，可以通过找连枝来找。

而连枝的确定前提要指定树。

通过指定树，来找独立回路，方法较为简单，

也不怕找丢了回路。

这种回路被称为

单连枝回路（又称为基本回路），

它们具有两大特点：

1、回路的数目是确定的，

即：b-n+1。

2、回路之间相互独立。

存在一个前提，就是必须要先指定树！

再介绍一个概念，也是支路的集合，

我们称之为：割集。

定义：这样的一些支路被称为割集（简称c）

（1）这些支路全移走以后，G图剩下两部分。

（2）少移走一条支路，则G图连通。

这两个特点还不足以理解割集的概念。

下面我们介绍一种实用的方法，来认识割集。

即用一个闭合的线圈（对平面图）

或一个高斯面（对非平面电路），

来包住一个或多个结点（超结点），

将切割连接在这个结点（或超结点）的所有支路，

所有被切割一次的支路，

它们的集合，就叫割集！

如图所示。

如c1，这个虚线圈切割1,4,6支路，这就是一个割集。

这样找割集，对一个G图而言，会找很多不同的割集。

通常单结点，连接的支路，都能算一个割集；

多结点连接的支路，也可以算一个割集；

不过，有时也会有例外！

下面介绍多结点连接的支路，不算割集的特例。

同时再介绍另外一个概念，割集的方向。

看下图，我们通过画圈来找割集。

比如：包住3,4结点和8支路的一个圈，

切割的支路集，就是非割集。

因为：1）去掉这些支路，电路将会被分成三部分；

2）少移走一条支路，电路它不连通。

而包住2结点的圈，切割的支路集，是割集；

包住4,5结点和4支路的圈，切割的支路集也是割集。

再介绍概念：割集方向。

以画包住结点的圈为依据，

把空间或自然界分成圈内和圈外两部分。

是这样来定义割集的方向：

从圈外指向圈内，算一个方向（又称朝内）；

从圈内指向圈外，算割集的另一个方向（又称朝外），

那么：割集的方向就两个！

割集方向很有用，后面会用到。

我们总结一下，割集具有以下三个特点：

A，割集支路全移走，电路被为成两部分，

如图所示，

去掉356支路，剩下124支路和所有结点，

即NO1部分和NO2部分。

而少移走一条支路（如5支路保留），

则电路结构还是连通的。

B，割集支路共同连接在一个结点上。

或者一个超结点上。

这意味着割集似乎与KCL有关。

C、一个G图可以有很多不同的割集。

与前面介绍的回路一样，

很多的割集，寻找的规律也不好掌握。

我们来定义一种比较好找的割集。

这种割集称为单树枝割集。

即这个割集里面只能有一个树枝，其余的用连枝来构成。

这样就把前面重要的树，用上了。

如图所示，

按照画虚圈，包住一个结点的切割支路集，为割集的思路，

图中，1、2、4是树枝，

1是c1虚圈，切割的单树枝，

因此，c1切割支路集{1,4,6}，为单树枝割集；

同理：c2切割单树枝，支路集{3,5,6}为单树枝割集。

而要只切割2树枝时，可以画更大的虚圈，

得支路集{2,4,6,3}为单树枝割集。

共3条树枝，

单树枝割集的数目是固定的，即为树枝数目（n-1）个，

且这些割集相互独立。

这种割集，我们又称之为基本割集。

好的，本节就到这里。