04-2-1一阶零输入响应在线视频

同学们好！本节学习一阶电路分析。

所谓一阶电路，是指描述电路换路后，其变量的方程为一阶常系数微分方程的电路。

一阶电路，通常电路中，仅含有一个独立的动态元件。

由电阻与一个电容形成的动态电路，简称为RC电路；

或者由电阻和一个电感组成的电路，简称RL电路。

在一阶电路的时域分析法中，我们将按照动态元件是否原先存储能量

和外界是否给该电路加有激励两个方面，

来分析零输入响应、零状态响应和全响应三种情况。

它们所对应的微分方程为，一阶齐次微分方程和一阶非齐次微分方程。

4.2.1 零输入响应

先看一下零输入响应的概念:

是指电路外激励为零，换路后，仅由储能元件的初值引起的过渡过程（或称产生的响应）。

我们分RC电路和RL电路来逐一介绍。

1、RC电路的零输入响应——也称RC放电电路。

如图所示，已知电路换路前，电容电压 uC (0-)=U0 ，求换路后 uC (t)。

分析过程，电路中待求变量为两个即i和uc。

可以列写换路后方程为：uR=uC;而uR=电流与电阻的乘积；

i=-Cdu/dt，

整理后得到方程如式（1）所示。

它为一个有边界条件的常系数一阶齐次微分方程。

解微分方程（1）的方法是，设定一个待求解为含有待定系数的指数函数来表示，即uc=A×ept。

然后把此设定变量代入方程式（1）中，逐步化简，整理得到方程（RCp+1）乘以A×ept=0。

定义RCp+1=0为特征方程。

得到特征方程的解p=-1/(RC），称其为特征根。

代回设定的解，即uc=Ae-t/(RC)。

此时，方程的解中还有一个待确定的系数A。

要解出它，还要看本电路的初始条件。根据换路定则，uC (0+)=uC(0-)=U0，

把它代入uc=A×ept中，并把时间t=0代入，求得A=U0。

至此，可以把待求量uc解出，即：uc=U0×e-t/(RC)(V)。
顺便把电流i也求出来。

注意，表达式uc和i最后要加上t≥0，是表明待求变量是一个有定义域的时间函数，

其定义域为换路以后。

再来分析一下这两个变量的表现，用一个波形图来描述则更直观。

如式（1），uc可以用图（a）来表示，整个时间域t=（-∝，+∞），

表现为一个连续的函数，

t>0后，单调指数衰减。

而电流变量，如图（b）所示的波形。

显然，电流在这个时间段从（∝，+∞）内，非连续，过时刻0点时，出现了跃变。

如果仅分析时刻大于0+后，

则两者按照相同的规律单调指数衰减，衰减的快慢取决于指数中的RC乘积的大小。

我们来认识一下这个重要的量——时间常数。

令τ=RC,称为时间常数，它的国际量纲为秒。这个也可以通过RC本身的国际单位代入并化简而得来。

如公式推导过程所示。

τ也与求解uC特征方程中的特征根p有关，τ=-1/p。它反映了过渡过程时间长短。

τ越大，则过渡过程时间越长；反之，则过渡过程时间越短。

假设本例题中，电容的初始电压U0为定值，

若电容C值越大，则其存储能量就越大。电阻R若定值，RC乘积越大，则需要完成过渡过程的时间就越长。

若是电阻值越大，而电容值为定值，也会RC乘积越大。放电的电流则因U/R越小，也会导致过渡过程时间较长。

总之，RC一阶电路，时间常数，与R和C参数成正比。

再来定量分析一下，时间常数与过渡过程快慢的关系。

作个列表，取时间t分别为（0,1,2,3,4,5）倍的τ，

而电容电压uc对应这些时间点得到的值分别为（1,0.368,0.135,0.05,0.018,0.005）倍的U0。

在工程实际中，通常认为衰减到原值的10%以下，可以任务过渡过程结束。

所以τ越小，过渡过程就越短。

从定量分析的角度，我们来理解RC放电电路的τ物理含义是，衰减到原值的36.8%所需要经历的时间，即为τ。

关于时间常数τ 的计算，有两种方法。1）可以通过RC电路在换路后的结构和参数来计算，即τ=ReqC。

如图（1）为换路后的RC结构电路，其时间常数为式（1）所示。

2）可以通过电路的微分方程，得到微分方程的特征方程，

求解特征方程的特征根p来求取，即τ=-1/p来获得。

再来从能量再分配的角度，研究该RC零输入响应。

因为储能元件的初始电压uC=U0，电路单调衰减放电。

在整个过渡过程中，电容一直向电阻释放存储的电能，直至释放完毕，结束过渡过程。

其存储的总能量为1/2CU0的平方。

电阻在时间0+——∝区间内，吸收的电能，可以用公式（1）来计算如图所示。

我们分析完毕后，发现这个过程中，电阻吸收的总能量为1/2CU0平方。

可见，电路在任何时刻保持着能量守恒的规律。

2、RL电路的零输入响应分析

先看典型电路，

当电路换路后，其等效电路如图（b）所示，

储能元件电感有电流初值iL(0-)=U0/R0=I0。

要分析电感电流iL和电感电压uL的过渡过程，

我们需要建立以iL为变量的微分方程如式（1）。

对其进行解分析，得到特征根p=-R/L，待定系数A=I0。

从而得电路的iL解为式（2），以及电感电压uL为式（3）所示。

在波形图显示和时间常数方面分析，可以按照电路的对偶原理来分析。

显然，电流为单调衰减的连续函数，过时刻0点不突变；

而电压过时刻零点不连续，出现突变。

时间常数的物理含义也是一样，

是指该电路电流变量衰减到原值的0.368倍所需要经历的时间。

时间常数τ 与参数L成正比，与R成反比。

看一个附件例题，分析图（a）电路中，已知电压表最大量程为50V，内阻为10000Ω。

开关断开瞬间，电压表还能否正常工作？

解：断开开关后，电感中的能量将通过限流电阻R和电压表的内阻Rv，形成L、Rv放电回路。

于是，建立方程。求解电感电流方程式（1），

电路的时间常数为式（2）。

电压表内阻两端电压为方程式（3）。

0+时刻，电压表内阻的两端电压为uV (0+)= - 10000V !

显然，此时电压表超量程了，将可能损坏电压表。

这种现象，有时候反利用。

瞬间高压可以作为汽车或摩托车的发动机点火装置，

把接电压表的位置换成火花塞，在汽车或摩托车的工作环境下，启动燃气机。

当然，人们也可以通过在接电压表位置上接上一个反向二极管装置，

利用二极管的单向导通性质，消除这个瞬间高压，如图（b）所示。

小结：

关于一阶零输入响应分析

步骤：1）

电路的响应可以用表达式（1）来描述，其中y（t）为待求量，y(0+)为待求量的初始值。

在RC或RL电路中，通常指uc(t) 和iL(t) 。

2）电路变量的衰减快慢，取决于时间常数。

要注意RC电路和RL电路时间常数的表达式不同，其中R都为等效电阻。

3）同一个电路中，其他的电路变量也按照相同的衰减规律变化。

4）一阶零输入响应的这种初值乘以衰减指数的规律，

如式（1）所示，被称为对初始值的线性性或齐次性。

好的，本节就到这里，下一讲再见！