08-2 有效值与平均功率慕课视频播放-电路理论-MOOC慕课视频教程-柠檬大学

同学们好，本节学习

8.2正弦周期信号的有效值和平均功率

以非正弦周期信号形式的电源或激励，

输入到线性电路中，其产生的电路变量（如电压，电流）

也有个有效值的问题，以及电功率的问题。

我们先研究：

1.有效值

第5章曾经学习过，周期函数的有效值的问题，

它是以电功率等效的角度来定义有效值的，

即均方根的定义：如公式(*)所示。

那么在这里，针对非正弦周期信号，其有效值又是什么呢？

先看，假设非正弦周期信号描述的电流i（t），

其展开式如方程式（1）所示。

那么周期函数有效仍然用均方根来定义，

则i(t)的有效值仍然为均方根，

计算如下：见方程式（2）所示。

其中i(t)，采用傅里叶展开形式代入。

则计算公式（2）中括号内的i(t)，

其平方运算，会展开成很多项。

1）直流项I0，必然存在I0的平方，

它是一个常数，所以它积分后再平均仍然为I0的平方；

2）各个正弦项的平方，

即Imncos（nω1t+φn）的平方。

那么，这个正弦项在一个周期内积分后再平均，

结果为最大值Imn的平方/2，

或该正弦项的有效值In的平方。

3）直流项乘以余弦项的2倍：

这些项有个特点，是正弦波，

在周期内积分再平均，结果都会等于零。

4）不同正弦项相乘再乘以2的项，

这些属于两个不同频率正弦量相乘，

其结果在周期内积分再平均，也是零。

那么对于已经展开成傅里叶级数形式的电流i，

如展开式（1）所示，

其有效值为计算公式（2）所示。

即非正弦周期电流的有效值，与展开式中各次谐波的有效值和直流项均有关。

同理，非正弦周期电压u(t)如展开式（1’）所示，

其电压有效值为，公式（2'）所示。

看一个例题，已知函数u（t）为脉冲波电压，

如图（a）所示，求该函数的有效值。

解法一：参照数学工具用书，

可以查出该波形对应的傅里叶级数，展开式为方程（1）所示。

那么对于该展开式，进行有效值计算，

即直流项平方，再加上各个交流项的最大值的平方/2，

最后开根号，

根据级数收敛特性，最后得到结果为，根号2倍的Um。

其实还可以采用方法二进行计算：

即把u（t）波形在一个周期内的时域表达式写出，

为（2）式所示。

把（2）式中电压u(t)代入有效值定义式，即均方根运算的公式中进行计算，

也还是比较容易计算的，

如公式代入后，计算的结果与方法一计算的相同，

但过程更为简单。

2.平均功率

设无源一端口网络P，其电流和电压关联参考方向，如图1所示。

取电压电流的形式均为傅里叶级数展开式，

如方程（1）和（2）所示。

那么该网络吸收的功率p(t)，即瞬时p=u×i=什么呢？

（1）先计算瞬时功率：p=u×i，

代入电流电压傅里叶展开式相乘。

显然，两个无穷多项的因式相乘，会产生也是无穷多的项，分析不方便。

（2）平均功率（也叫有功功率、或者实际功率）

计算一个周期内的总能量后除以周期的时间，

即利用公式（1）来计算这个平均功率。

将瞬时功率代入，

并利用三角函数的正交性，

可以得到：平均功率为方程式（2）的形式。

关于平均功率，其计算表达式（1）或表达式（2），

有必要讨论一下以便加深对它的理解。

1）表达式中，除前面第一项，与功率因数无关，

后面的每一项，都有一个功率因数。

因为功率因数角，在不同谐波的频率作用下，

负载端会呈现不同的相位差，

而且还会出现，有的相位差的角度会在|90°|到|180°|之间，

从而出现cosφ<0的情况。

2）结论：非正弦周期电流电路中，

无源一端口负载吸收的平均功率，

是直流分量的功率与各次谐波分量的平均功率的代数和。

3）在非正弦周期（电流）电路的分析中，

平均功率公式，似乎呈现为功率也适用叠加定理。

我们要理解，这只是一个巧合，

不能认为线性电路中，功率适用于叠加定理。

只有电流、电压变量适用于叠加定理。

看一个例题8-3，

已知图1中纯电阻R，

流入电流为非正弦周期信号。

展开式中含有直流项、基波项和二次谐波项共三项。

计算该电流的有效值和电阻两端电压的有效值

以及该电阻吸收的平均功率。

解：本例题十分的基础，直接运用有效值的计算公式和平均功率的计算公式即可计算。

先计算电流的有效值：

即根号下直流量的平方，加上基波项有效值的平方，

再加上二次谐波项有效值的平方。

最后代入数值，得出结果为5倍根号6（安培）。

计算端口的电压u（t）=5i（t）。

再计算这个量的有效值，与计算电流有效值的方法一样，

得出结果为25倍的根号6（伏）。

或者直接用欧姆定律公式，

电压有效值U=R乘以电流有效值I。

即U=5I=5×5倍根号6=25倍根号6（V）。

在来计算一下平均功率。

方法一：用平均功率计算公式，即直流项的电流电压相乘，

再加上同频率的正弦量之间的平均功率（含基波项和二次谐波项），

因而共有三项，

由于是纯电阻，同频率正弦量电流和电压之间无相位差，

所以功率因数为1。

三项相加为25×5+50×10cos0°+25×5cos0°，

等于750（瓦）。

方法二：也可以采用P=电流的有效值平方×电阻R的方式进行计算。

由于之前计算的电流的有效值为5倍根号6 ，

因此P=I平方×R，也等于750（瓦），

与方法一计算结果相同。

再来看一个ui展开式中缺项的情况计算。

例8-4，无源的负载，其输入电压项含有四项，

有直流项、基波、二次谐波项和三次谐波项，

但是电流则仅为两项，为基波项和3次谐波项。

分析该端口吸收的平均功率为多少？

先分析一下，显然该端口内部较为复杂，

也不可能等效成纯电阻。

则计算平均功率，只能用平均功率计算的通用格式，

同频率项相乘的平均功率逐一计算，再相加来获得。

计算如下：

1）直流项，电流为0，电压虽有U0=100（V），但是该项平均功率P0=0；

2）基波项：U1=100/根号2，I1=10/根号2，

相位差φ1=0°-（-60°）=60°。所以P1=U1×I1×cosφ1=250（瓦）。

3）二次谐波项：有电压，却没有电流，所以P2=0；

4）三次谐波项：有电压、也有电流，也有相位差。

则计算P3=U3×I3×cosφ3 = -21.2（瓦）

最后把这四项的功率相加，

即：P=250+0+0-21.2=228.8（瓦）。

这里发现，三次谐波项计算的功率为负值，

说明该次谐波，作用到电路中，

电路能向外发出功率。

这个可以去探讨，应该非常有趣，

同学们感兴趣的话，课后自行搜索相关的内容，提升认识。

好的，本节就到这里，下节再见。

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